Экспериментальные исследования показали, что диаметр dЭt контакта электрод–деталь при точечной сварке изменяется подобно изменению диаметра dПt контакта деталь–деталь (рис.3.32). При этом установлено, что в начале процесса КТС dЭt, на 5...15 % больше dПt, а в конце процесса — наоборот, dПt примерно на столько же больше, чем dЭt. Поэтому, для приближенных расчетов можно принять, что dЭt и dПt изменяются при сварке одинаково. Тогда изменение значений глубины вмятин от электродов в поверхностях деталей ct в процессе сварки электродами со сферической рабочей поверхностью при расчетах вытесняемого ими объема металла  по зависимости (3.74) можно выразить через изменение диаметра уплотняющего пояска следующим образом:

.                    (3.77)

Практика сварки электродами со сферической и плоской рабочими поверхностями показывает, что при сварке на режимах близких к оптимальным, например, рекомендованных в работах [3, 9, 11, 15...17], глубина их вдавливания в поверхности деталей в процессе формирования соединения изменяется примерно одинаково. Поэтому, при приближенных технологических расчетах значений  по зависимости (3.76) величину ct можно определять по зависимости (3.77) и для условий сварки электродами с плоской рабочей поверхностью, если подставить фиктивное значение RЭ, рекомендованное для этой же толщины деталей, например, в работах [3, 11, 16].

Тогда зависимость (3.68) для расчета степени пластической деформации металла в зоне сварки εt в любой момент t процесса формирования соединения на стадии нагрева с учетом сказанного выше и зависимостей (3.71), (3.73) и (3.77) можно преобразовать к следующему окончательному виду, удобному для практических расчетов [210, 217]:

 (%), (3.78)

где для момента времени t, αТ — температурный коэффициент линейного расширения; azt, art и с — коэффициенты (см. зависимость 3.36); tНП — время начала плавления металла (см. зависимость 3.37);  — функция ошибок (см. зависимость (3.42)... (3.44)); s — толщина деталей; dПt — диаметр уплотняющего пояска; β* — коэффициент увеличения объема металла ядра при его плавлении;  — приращение степени пластической деформации εt металла зоны сварки при вдавливании электродов, равное:

при сферической рабочей поверхности электрода

,

при конической и цилиндрической форме электрода

;

RЭ и dЭ – радиус (при сферической) и диаметр (при плоской) рабочих поверхностей электродов; сt — глубина вдавливания электродов в поверхности деталей (см. зависимость 3.77).

Таким образом, зависимость (3.78) позволяет при технологических расчетах приближенно определить степень пластической деформации εt металла в процессе формирования точечного сварного соединения в любой его момент t на стадии нагрева.

Скорость деформации, как это общепринято в теориях пластичности и обработки металлов давлением — это изменение степени деформации εt в единицу времени [220, 221, 227,228], т. е.:

.                                               (3.79)

Размерность скорости деформации зависит от размерности ее степени и может быть  или : .

В соответствии с выражением (3.79) скорость деформации можно определить как производную от функции, описывающей изменение по времени степени пластической деформации металла зоны сварки, т. е. производную от зависимости (3.78). Однако в связи с тем, что она содержит не дифференцируемую аналитически erf – функцию, то точное аналитическое определение скорости деформации по (3.79) невозможно. Даже при приближенном дифференцировании функции  [216] получается очень громоздкая и неудобная для практических расчетов зависимость скорости деформации от времени. Поэтому скорость деформации ut для любого момента t процесса сварки рациональнее определять численным дифференцированием зависимости (3.78) , т. е. [210, 217]:

,                                   (3.80)

где Δεt — приращение степени деформации за отрезок времени между текущим и предыдущим  моментами расчета скорости деформации .

3.5.3. Определение температуры металла в зоне пластических
деформаций

Методика, по которой рассчитывается изменение сопротивления пластической деформации металла при КТС, предопределяет осреднение температуры в объеме металла зоны интенсивных пластических деформаций. Рассчитать среднюю температуру металла пластически деформируемого в зоне сварки можно по зависимости (3.44).

В разделе 2.5.2 экспериментально определено, что пластические деформации металла зоны сварки на стадии нагрева в основном локализованы в области, ограниченной контуром L1, диаметр которого dДt на 5...15 % больше диаметра dПt уплотняющего пояска, т. е.  
(рис. 3.33). При расчете же давления в ядре радиус внешней границы металла, находящегося в пластическом состоянии, определен и теоретически. Из зависимостей (3.58) и (3.59) получаем: . Поскольку эти результаты приближенно равны, при расчете средней температуры внешней границей зоны интенсивных пластических деформаций рационально принять окружность диаметром . Внутренней же границей пластических деформаций до начала плавления металла является ось электродов (рис. 3.33, слева), а после появления ядра расплавленного металла (рис. 3.33, справа) — окружность с диаметром dЯt. Поскольку приняты допущения, что зона интенсивных пластических деформаций при КТС осесимметрична по координате r и симметрична относительно плоскости свариваемого контакта по координате z, то среднюю температуру деформируемого металла можно определять только в одной четверти зоны точечной сварки. Следовательно, для определения ТДt по зависимости (3.44) в нее следует подставить следующие пределы интегрирования: , , , .

После подстановки этих пределов интегрирования, вычисления интегралов и преобразований по зависимости (3.44) получаем формулу для расчета средней температуры деформируемого в зоне сварки металла ТДt в любой момент t процесса формирования точечного сварного соединения при  [210, 217]:

, (3.81)

где для момента времени t, ТПЛ — температура плавления свариваемого металла; tНП — время начала плавления металла (см. зависимость 3.37);
azt, art и с — коэффициенты (см. зависимость 3.36);  — функция ошибок (см. зависимость (3.42)... (3.44)); s — толщина деталей; dЯt и dПt — диаметры ядра и уплотняющего пояска соответственно.

3.5.4. Определение высоты уплотняющего пояска в свариваемом
контакте

Для решения технологических задач точечной сварки с обжатием периферийной зоны соединений по уравнению (3.17) в любой момент процесса формирования соединения необходимо определять высоту уплотняющего пояска hПt (рис. 3.34), которая входит в зависимость (3.19).

В процессе формирования точечного сварного соединения происходит пластическое течение металла в зоне сварки к контакту деталь – деталь вследствие его температурного расширения, увеличения объема при расплавлении в ядре, неравномерного нагрева и сложного объемного напряженного состояния (см. п. 2.5.2). Как показано выше в п. 3.5.2, при пластической деформации металла в зоне сварки к контакту между деталями смещается объём VСМt в результате чего между свариваемыми деталями образуется рельеф (уплотняющий поясок) высотой hПt. Поскольку считается, что металл при пластической деформации не сжимается [200, 219...221, 224...230], высоту уплотняющего пояска hПt в любой момент t процесса формирования соединения можно определить следующим образом:

,                                             (3.82)

где в момент времени t, VСМt — объем металла зоны сварки, смещенный к свариваемому контакту; SКt — площадь контакта деталь–деталь.

Изменение смещённого объёма VСМt в процессе точечной сварки описывается интегральным выражением (3.67). Тогда, выразив площадь контакта деталь–деталь SКt интегральной зависимостью

                                            (3.83)

и подставив ее совместно с зависимостью (3.67) в формулу (3.82) получаем интегральное выражение, которое позволяет в любой момент времени t на стадии нагрева определить высоту уплотняющего пояска hПt, [204, 210]:

,  (3.84)

где обозначения полностью соответствуют зависимости (3.67).

Точные аналитические расчеты по зависимости (3.84) затруднительны, а для решения технологических задач может быть и не рациональны, по тем же причинам, что и зависимости (3.68). При допущениях же, которые были сделаны для зависимости (3.68), в частности, об осесимметричности зоны сварки и о ее симметричности относительно плоскости свариваемого контакта, по зависимости (3.82) можно производить приближённые технологические расчёты. В этом случае, вычислив интеграл в (3.83)

                             (3.85)

и подставив его, совместно с зависимостями (3.70)…(3.77), в выражение (3.84) после преобразований получаем формулу для расчетов высоты уплотняющего пояска в любой момент t процесса формирования соединения при сварке деталей одинаковой толщины [204, 243]:

, (3.84)

где для момента времени t, αТ — температурный коэффициент линейного расширения; ТПЛ — температура плавления свариваемого металла;
tНП — время начала плавления металла (см. зависимость 3.37); azt, art и с — коэффициенты (см. зависимость 3.36);  — функция ошибок (см. зависимость (3.42)...(3.44)); s — толщина деталей; dПt — диаметр уплотняющего пояска; β* — коэффициент увеличения объема металла ядра при его плавлении;  — приращение высоты уплотняющего пояска hПt за счет вдавливания электродов, равное:

при сферической рабочей поверхности электрода

,

при конической и цилиндрической форме электрода

;

RЭ и dЭ – радиус (при сферической) и диаметр (при плоской) рабочих поверхностей электродов; сt — глубина вдавливания электродов в поверхности деталей (см. зависимость 3.77).

Таким образом, описанные выше методики расчетного определения степени и скорости пластической деформации, температуры металла в зоне сварки, сопротивления его пластической деформации, а также изменения высоты уплотняющего пояска при формировании сварного соединения, позволяют проводить практические расчёты по уравнениям термодеформационного равновесия процессов сварки (3.11) и (3.17), как для традиционных способов сварки, так и для способов сварки с обжатием периферийной зоны соединений.

4. Математическое моделирование процессов
формирования точечных сварных соединений

Общеизвестно то, что величина (степень) объемной пластической деформации в зоне сварки значимо влияет на процесс нагрева, так как определяет плотность тока через площади ее сечений в плоскостях контактов деталь–деталь и электрод–деталь. Вместе с тем, общеизвестно и то, что нагрев металла в зоне формирования соединения, в свою очередь, тоже оказывает влияние на его пластическую деформацию, поскольку влияет на изменение его сопротивления пластической деформации. Таким образом осуществляется как бы саморегулирование процесса точечной сварки. Это предполагает, что при устойчивом процессе формирования соединения в зоне сварки должно существовать определенное соответствие между нагревом в ней металла и пластической его деформацией [3, 165, 185… 187], которое количественно характеризуется критерием жесткости режимов контактной точечной сварки [3, 15].

Однако указанные выше известные гипотезы и предположения лишь качественно определяют возможные взаимосвязи между основными термодеформационными процессами точечной сварки. Описанные же выше математические модели основных термодеформационных процессов, протекающих при КТС, позволяют количественно определить параметры основных термодеформационных процессов в зоне сварки и закономерности их изменений. Это, в частности, можно сделать при решении интегральных уравнений термодеформационного равновесия процессов контактной точечной сварки относительно диаметра уплотняющего пояска. Кроме того, решение этой задачи предопределяет необходимость расчетного определения параметров всех основных термодеформационных процессов, протекающих в зоне сварки.

Таким образом, решение уравнений (3.11) или (3.17) термодеформационного равновесия процесса контактной точечной сварки относительно диаметра уплотняющего пояска фактически позволяют моделировать процесс КТС. Возможность же варьировать при этом параметры режимов сварки фактически предопределяет возможность проведения численных экспериментов.

4.1. Методики расчета изменения диаметра уплотняющего пояска в процессе контактной точечной сварки

Математическое моделирование процессов контактной точечной сварки осуществляется решением уравнений термодеформационного равновесия процесса сварки (3.11) или (3.17) относительного диаметра уплотняющего пояска dПt в отдельные дискретные моменты времени t от начала до окончания импульса тока. При этом параметры внешнего силового воздействия на детали (усилия сжатия электродов FЭt) заданы, как параметры режима сварки. В силу использования для оценки теплового состояния зоны сварки расчетно-экспериментального метода, выраженного зависимостью (3.36), подразумевается, что величина сварочного тока заданна такой, чтобы обеспечивала получение заданных геометрических размеров ядра (высоты hЯ и диаметра dЯ). В процессе решения уравнений (3.11) или (3.17) относительно dПt для каждого момента времени t рассчитывается и все остальные его составляющие, которые отражают изменение термодеформационных процессов, протекающих в зоне сварки на стадии нагрева.

Расчет изменения диаметра уплотняющего пояска в процессе формирования соединения решением уравнений (3.11) или (3.17) относительно dПt осложняется тем, что эти уравнения относительно dПt являются трансцендентными. Поэтому в методиках расчета изменений диаметра уплотняющего пояска в процессе сварки, описанных ниже, решение уравнений (3.11) и (3.17) относительно dПt осуществляется методом итераций.

4.1.1. Методика расчета изменения диаметра уплотняющего пояска
при традиционных способах контактной точечной сварки

Расчет изменения диаметра уплотняющего пояска в процессе формирования соединения при традиционных способах контактной точечной сварки осуществляется решением уравнения (3.11) относительно dПt для условий сварки деталей одинаковых толщин из одного и того же материала. Алгоритм [206, 210, 253] решения поставленной задачи по моделированию КТС рассчитан на машинный счет и осуществляется следующим образом (рис. 4.1).

Блок 2 алгоритма осуществляет ввод исходных данных, которые рационально разбить на три группы. В особенности это целесообразно делать при расчетах нескольких вариантов одного и того же задания.

Первая группа исходных данных предназначена для управления работой программы. В ней задается, например, число шагов расчета по времени, условия вывода результатов расчетов и т. п.

Вторая группа исходных данных содержит параметры теплофизических и прочностных характеристик свариваемого материала (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Исходные данные для расчетов по уравнениям термодеформационного
равновесия процесса сварки