Введем понятие сечения Мx множества М при данном x. Сечением Мx будем называть множество всех y, при которых пара  принадлежит множеству М.

Введем понятие функционала, являющегося одним из главных в задачах оптимального управления. Будем говорить, что на мно­жестве М задан функционал F , если известно правило, которое каждому элементу ставит в соответствие определенное действительное число F(v).

В общем виде задача оптимизации формулируется как задача отыскания минимального (или максимального) значения функ­ционала F(v) на множестве М.

Предположим, что требуется минимизировать функционал F(v) на множестве М. Если решение этой задачи существует (обозначим его через ), то называется опти­мальным элементом множества M, а величина  - оптимальным значением функционала. Решения поставленной задачи F и  будем записывать следующим образом:

.

Аналогично формулируется задача о нахождении максималь­ного значения функционала.

Введем понятия точной нижней и верхней границы функцио­нала. Точной нижней границей функционала на множестве М назовем такое число т, если:

1)  для любого ;

2) существует последовательность , на которой .

Точная нижняя граница функционала обозначается

.

Последовательность {vs} называется минимизирующей последовате­ль­ностью.

Точно так же определяется точная верхняя граница n функ­ционала :

Назовем функционал  ограниченным снизу (сверху) на множестве М, если существует такое число A, что при всех   (). Если функционал является ограниченным снизу (сверху), то решение задачи о нахождении его точной нижней (верхней) границы существует, т. е. имеет место следую­щая теорема (приведем без доказательства): Пусть на множестве М задан ограниченный снизу функционал . Тогда реализуется одна из двух возможностей:

1) Существуют элемент  и число , при которых  и  при всех .

2) Существуют последовательность  элементов множе­ства М и число , удовлетворяющее условиям ,   и  при всех .

Данная теорема имеет важное значение для понимания сущности задачи оптимизации по двум причинам. Во-первых, она говорит о том, что постановка задачи об отыскании наименьшего (наибольшего) значения ограниченного снизу (сверху) функционала имеет смысл. Во-вторых, она объясняет природу решения такой задачи. А именно: решением будет либо определенный элемент  множества М, минимизирующий (максимизирующий) функци­онал , либо последовательность  элементов множества М, являющаяся миними­зи­рующей (максимизирующей) последо­вательностью. В первом случае можно говорить о точном решении задачи, а во втором - о приближенном.

Задачи оптимизации управляемых процессов (оптимального управления) являются частными по отношению к сформулированной выше общей задаче оптимизации. Рассмотрим постанову задач оптимального управления.

Введем некоторые понятия.

Важнейшими из них являются понятия состояния системы и управления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любой момент времени определено вектором х n-мерного пространства с координатами . Пространст­во Х будем называть пространством состояний системы.

Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность системы  называют ее траекторией.

Переменная t (называется аргу­ментом процесса) может быть некоторым отрезком числовой прямой () или отрезком натурального ряда (). В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, во втором случае - многошаговым, а системы - соот­ветственно непрерывными и дискретными.

Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить в результате управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного про­странства U:

, .

Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t, т.е. .

На допустимые состояния системы  и управ­ления  могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек  - совокупность  - мерных векто­ров в пространстве . Тогда ограничения на состояние системы и управление в самом общем случае могут быть записаны в виде

,

где  - некоторая область (подмножество) рассматривае­мого  - мерного пространства. Ограничения на величины ,  в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде

,

где Vt  -  сечение множества V при заданном значении t.

Пару функций  назовем процессом. Между функ­циями  имеется связь: как только задано управление  системой, последовательность ее состояний (траектория системы)  определяется однозначно. Связь между  и  моделируется по-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.

Для непрерывных систем модели процессов задаются системой дифференциальных уравнений вида

 ,

 или в векторной форме

.                                    (4.2.1)

Пусть задано состояние, в котором система находилась в начальный момент . Для простоты этот момент примем равным нулю, а момент окончания процесса - равным Т. Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах , а начальным состоянием системы будет вектор

,     (4.2.2)

где  - начальное значение i-й координаты вектора со­стояния системы.

Проанализируем, каким образом модель отражает связь между управлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть на промежутке  задано управление . Подставляя его в правую часть системы (4.2.3), получим

                                 (4.2.3)

Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неиз­вестной функции . Решая ее с учетом начальных условий (4.2.2), получим . Это решение и есть траектория, отвечающая заданному управлению .

Модель дискретной управляемой системы имеет вид системы рекуррентных уравнений:

, .

В векторной форме эту модель можно записать в виде

 ,       (4.2.4)

Здесь t принимает значение . Начальное зна­чение  будем считать известным.

В дискретной системе, как и в непрерывной, задание управляющих воздействий  при  позволяет однозначно определить отвечающую им траекторию системы. При подстановке значения u(t) в правую часть (4.2.4) получаем систему уравнений, которая позволяет при известном значении состояния  в момент времени t определить состояние  в следующий момент времени. Так как в начальный момент  состояние  известно, то, подставив его в правую часть (4.2.4), получим

.

Подставляя затем найденное значение  и  в (4.2.4), так же найдем значение . Продолжая этот процесс, через Т шагов получим последнее искомое значение .

Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели (4.2.4) позволяют однозначно определить траекторию системы , если задано управление .

Следовательно, процесс  должен удовлетворять следующим ограничениям:

1) при всех ;

2) Пара удовлетворяет системе уравнений процесса:

а) системе (4.2.1) в непрерывном случае при ;

б) системе (4.2.4) в дискретном случае при ;

3) Заданы начальные условия (4.2.2);

4) В непрерывном случае на функции ,  накла­дываются некоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемых здесь математических записей. Функцию  будем считать кусочно-непрерывной, а век­тор-функцию  - непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

Процессы , удовлетворяющие условиям 1) – 4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс - это управляющие воздействия  и соответствующая им траектория системы , удовлетворяющие перечисленным ограничениям.

Для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал F, задан­ный на множестве М. Задача оптимального управления будет состоять в выборе элемента  множества M, на котором функционал F достигает минимального значения. Такой процесс называют оптимальным процессом, управление  - оптимальным управлением, а траекторию  оптималь­ной траекторией.

Функционал  F, заданный на множестве допустимых процессов, описывает цель, согласно которой оптимизируется процесс.

В задачах оптимального управления для непрерывных систем будем рассматривать функционалы следующего вида:

,                 (4.2.5)

где ;  - задан­ные функции. Выражение (4.2.5) позволяет вычислить для каждого допустимого процесса  определенное значение и тем самым задать функционал на множестве допустимых процессов. Для этого необходимо подставить x(t), вместо аргументов функции , которая становится функцией времени, после чего вычислить ее интеграл. Затем к значению интеграла прибавляем значение функции  при .

Функционал  состоит из двух частей:  и . Первое из этих слагаемых оценивает качество процесса на  на всем промежутке , второе слагаемое - качество конечного состояния системы. Иногда в за­дачах оптимального управления конечное состояние системы  задается. В этом случае второе слагаемое функционала (4.2.5) есть величина постоянная и, следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами с фик­сированным правым концом траектории.

Для задач оптимизации в дискретных системах функционал имеет вид

.           (4.2.6)

К функционалу (4.2.6) относятся все замечания и комментарии, сделанные к функционалу (4.2.5).

Таким образом задача оптимизации управляемых процессов сводится к постановке задачи о ми­нимуме функционала (4.2.5) в непрерывном и (4.2.6) в дискретном случае на множестве М допустимых процессов , удовлетворяющих ограничениям 1)-4).

Эта задача может решаться в двух вариантах:

1. Определить оптимальный процесс , чтобы

;

2. Определить минимизирующую последовательность , чтобы

.

В теории оптимального управления термины «состояние» и «управление» имеют содержательный смысл. Он заключается в том, что, задавая управление , мы задаем и траекторию процесса , а изменяя управляющие воздействия   - «управляем» процессом.

Из условия можно выделить ограничения на состояние и управление:

 , ,         (4.2.7)

где  - проекция множества  на пространство X;  - сечение множества при данном

В задачах оптимального управления область  возможных состояний часто является постоянной или совпадает со всем пространством, а область  возможных управлений не зависит от x. Эти предположения выполняются в большом числе практических случаев, что упрощает решение задачи.

Выше предполагалось, что про­межуток времени  фиксирован, т. е. задан момент Т окон­чания процесса. Однако возможны постановки задач, где этот момент не задан, а определяется решением задачи. Это относится, в частности, к так называемым задачам о быстродействии, когда требуется перевести систему (4.2.4) из заданного начального состояния х(0)=х0 в заданное конечное состояние , минимизируя при этом время  протекания процесса.

 Классификация экономико-математических моделей. Примеры.

Математические модели  экономических  процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.

По целевому  назначению  экономико-математические  модели делятся на теоретико-аналитические,  используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических  процессов, и прикладные,  применяемые  в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа,  прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных  сторон  народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей.  При классификации моделей по исследуемым экономическим  процессам  и  содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления,  формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов,  ценообразования,  финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно на характеристике таких  классов экономико-математических моделей,  с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии  с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные  и  структурные,  а также включают  промежуточные  формы  (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели,  поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем.  Типичными структурными  моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в  экономическом регулировании, когда  на  поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа".  Примером может служить  модель поведения потребителей  в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная  модель, а на  народнохозяйственном  уровне  каждая  отрасль может быть представлена функциональной моделью.

Выше уже показывались различия между моделями дескриптивными и нормативными.  Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит?  или как это вероятнее всего может  дальше развиваться?, т.е.  они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?,  т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются  модели оптимального  планирования,  формализующие  тем  или иным способом цели экономического развития,  возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода в моделировании  экономики объясняется  необходимостью  эмпирического выявления различных зависимостей в экономике,  установления  статистических закономерностей экономического   поведения  социальных  групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных  моделей   являются   производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной,  когда  она  применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих  конечные  потребности  общества  при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математические модели сочетают  признаки дескриптивных и нормативных моделей.  Типична ситуация,  когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями.  Например, межотраслевая модель может включать  функции  покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов.  Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11