Решим уравнение (3.12)

V1 - k V = 0   ®   dV/dt = k V 

сделаем разделение переменных         dV/V =k dt    ®   ln V = k t

результат  V = ekt    (3.13)

   Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :

U1 ekt  = k1

  - это то же самое , что        dU/dt = k1e-kt      ,  dU = k1e -kt dt       выразим отсюда  U  , получим

      (3.14)

По уравнению Бернулли мы делали замену  Z = U V   подставляя уравнения (3.13) и (3.14) в эту замену , получим

   Ранее вводили функцию        Z = n-1    , следовательно

        (3.15)

   Начальное условие      n0=1/(c-k1/k)  , из этого условия мы можем определить константу   с  следующим образом

   Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим

       (3.16)

   Исследуем функцию (3.16) при  k = 0 , k < 0 , k > 0 .

   При  k®0 ; ekt ® 0 ;  (ekt - 1)®0  , то есть  (ekt - 1)×k1/k®0×¥ (неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя . Эту неопределенность вида   0×¥   следует привести к виду     . При этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :

n(k)при  k®0 ® 0  , следовательно   

   Перепишем  (3.16) в следующем виде

   Линеаризуем нелинейное уравнение , получим

ln n = - kt + c   Þ  

   Построим график для этих условий

      Рис. 3.3    К самоорганизации в одномодовом лазере :

кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации

кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог

кривая 3 : k > 0 , режим лампы.

   При  k = 0  уравнение (3.8)  примет вид

решая его , получим

            (3.8)

   При условии   ; n(t) = const  , функция (3.8) приближается к стационарному состоянию , не зависимо от начального значения  n0 , но в зависимости от знаков  k и k1 (смотри рисунок 3.3).  

   Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение

3.3.      ДИНАМИКА  ПОПУЛЯЦИИ .

   О распространении и численности видов была собрана обширная информация . Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина : выживает наиболее приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшую аналогию , существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ). Если имеются однотипные пищевые ресурсы , то становится возможным сосуществование видов . Численность видов может быть подвержена временным колебаниям.

ОДИН  ВИД.

   Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней  n . При наличии пищевых ресурсов  А особи размножаются со скоростью :

и гибнут со скоростью :

   Здесь   k  и  d  - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы так :

   Введем обозначение       a = kA - d

   Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный рост (при  kA > d), либо экспериментальную гибель (при  kA < d) популяции.

   Рис. 3.4     Кривая 1:  Экспоненциальный рост ; a>0 , kA>d

                   Кривая 2:  Экспоненциальная гибель ; a>0 , kA>d.

    В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость потребления пищи

   Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со скоростью :

   Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного количества органического вещества

A + n = N = const ,

N - способность среды обитания поддерживать популяцию.

   Тогда с учетом  A = N - n  получится следующее уравнение эволюции популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :

     (3.17)

   Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом

   , обозначим   kN - d = k1

   Получим :

   Воспользуемся табличным интегралом ,  ,полученное уравнение примет вид :

решим это уравнение , преобразуя

сократим полученное выражение на  k  , и перенесем переменную  k1  в правую часть , получим

отсюда    n(t)  ® 

   Начальные условия :

откуда

   Подставляя   с   в решение , получим уравнение в следующем виде

ранее мы обозначали , что   , подставляем и преобразуем

сократим на   k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение уравнения (3.17)

   Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения   -   это решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором конечном стационарном уровне:

то есть параметр   n1  указывает высоту плато насыщения , к которому стремится  n(t)  с течением времени .

   Параметр  n0  указывает начальное значение численности одного вида популяции : n0 = n(t0) . Действительно ,   ,то есть  n1 - предельная численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр  n1 характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец , параметр (kN - d)  задает крутизну начального роста .

   Отметим , что при малой исходной численности  n0  (начальное число особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным

Рис. 3.5.          Логистическая кривая.

               (эволюция популяции одного вида)

   Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным .

   Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4  Кривая 1) сменяется кривой с насыщением .

   Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной термодинамики.

   Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах , новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами  k,N и d) . В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной устойчивости : новые виды могут либо исчезнуть , либо вытеснить первоначальных обитателей . Пользуясь линейным анализом устойчивости , не трудно показать , что новые виды вытесняют старые только в том случае , если 

   Последовательность , в которой виды заполняют экологическую нишу , представлена на рисунке 3.6.

             Рис. 3.6.     Последовательное заполнение экологической

                                ниши различными видами .

   Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о том , что «выживает наиболее приспособленный» , в рамках задачи о заполнении заданной экологической ниши .

3.3.2. СИСТЕМА  «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».

   Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник» (например , зайцы и лисицы) , то эволюция системы и ее самоорганизация выглядят иначе , чем в предыдущем случае.

   Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики (К) , и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и Л .

   Проведем теперь рассуждение , которое позволит нам объяснить существование диссипативных структур .

   Кролики (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас травы постоянен и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы и кроликов способствуют неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно символически изобразить так :

Кролики + Трава ® Больше кроликов

К + Т ® 2К

   Тот факт , что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы , вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками Бенара . Вскоре процесс , в целом , будет выглядеть как диссипативный (во многом аналогично процессу Бенара ).

   Реакция « Кролики  -  Трава » происходит спонтанно в направлении увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго начала термодинамики .

   Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики , прокрались хищные лисицы (Л), для которых кролики являются добычей . Подобно тому , как по мере поедания травы кроликов становится больше , за счет поедания кроликов возрастает число лисиц :

Лисицы + Кролики ® Больше лисиц

Л + К ® 2Л

   В свою очередь лисицы , как и кролики являются жертвами - на этот раз человека , точнее говоря происходит процесс

Лисицы ® Меха

   Конечный продукт - Меха , не играет непосредственной роли в дальнейшем ходе процесса . Этот конечный продукт можно , однако , рассматривать как носитель энергии, выводимой из системы , к которой она была в начале подведена (например, в виде травы ).

   Таким образом , в экологической системе также существует поток энергии - аналогично тому , как это имеет место в химической пробирке или биологической клетке .

   Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее (рис. 3.7).

Рис. 3.7.   Изменение численности популяций кроликов и лисиц

                  со временем. Наличие периодичности означает 

                  возникновение экологической структуры.

   С течением времени численность обеих популяций меняется в соответствии с последовательным прохождением точек графика . Через некоторое время (конкретное значение зависит от быстроты поедания лисицами кроликов , а так же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинается вновь.

   Поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать истребления можно изучить количественно с помощью программы : ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).

   Эта программа реализует решение уравнений для диссипативной структуры «кролики - лисицы». Результат решения изображается графически . Решается система дифференциальных уравнений

   Здесь буквы  К, Л, Т - означают соответственно количество кроликов , лисиц , травы ; коэффициенты  k1, k2, k3 - обозначают соответственно скорость рождения кроликов , скорость поедания кроликов лисицами и скорость гибели лисиц.

   В программе понадобится уточнить значение отношений (примерно равное 1), постоянное количество травы (так же принимаемое обычно равным 1), начальные значения популяции кроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла (типичное значение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).

   Программа популяции - это график. Он показывает поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать истребление.

   Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее, то есть видно , что система самоорганизуется.

   Программа прилагается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

   Мы видели , что необратимость времени тесно связана с неустойчивостями в открытых системах . И.Р. Пригожин определяет два времени . Одно - динамическое , позволяющее задать описание движения точки в классической механике или изменение волновой функции в квантовой механике . Другое время - новое внутренние время , которое существует только для неустойчивых динамических систем . Оно характеризует состояние системы , связанное с энтропией .

   Процессы биологического или общественного развития не имеют конечного состояния . Эти процессы неограниченны . Здесь , с одной стороны , как мы видели , нет какого-либо противоречия со вторым началом термодинамики , а с другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса) в открытой системе. Развитие связано , вообще говоря , с углублением неравновесности , а значит , в принципе с усовершенствованием структуры . Однако с усложнением структуры возрастает число и глубина неустойчивостей , вероятность бифуркации .

   Успехи решения многих задач позволили выделить в них общие закономерности , ввести новые понятия и на этой основе сформулировать новую систему взглядов - синергетику . Она изучает вопросы самоорганизации и поэтому должна давать картину развития и принципы самоорганизации сложных систем , чтобы применять их в управлении . Эта задача имеет огромное значение , и , по нашему мнению , успехи в ее исследовании будут означать продвижение в решении глобальных задач : проблемы управляемого термоядерного синтеза , экологических проблем , задач управления и других .

   Мы понимаем , что все приведенные в работе примеры относятся к модельным задачам , и многим профессионалам , работающим в соответствующих областях науки , они могут показаться слишком простыми . В одном они правы : использование идей и представлений синергетики не должно подменять глубокого анализа конкретной ситуации . Выяснить , каким может быть путь от модельных задач и общих принципов к реальной проблеме - дело специалистов. Кратко можно сказать так : если в изучаемой системе можно выделить один самый важный процесс (или небольшое их число) , то проанализировать его поможет синергетика . Она указывает направление , в котором нужно двигаться . И , по-видимому , это уже много.

   Исследование большинства реальных нелинейных задач было невозможно без вычислительного эксперимента , без построения приближенных и качественных моделей изучаемых процессов (синергетика играет важную роль в их создании). Оба подхода дополняют друг друга . Эффективность применения одного зачастую определяется успешным использованием другого . Поэтому будущее синергетики тесно связано с развитием и широким использованием вычислительного эксперимента .

   Изученные в последние годы простейшие нелинейные среды обладают сложными и интересными свойствами . Структуры в таких средах могут развиваться независимо и быть локализованы, могут размножаться и взаимодействовать . Эти модели могут оказаться полезными при изучении широкого круга явлений .

   Известно , что имеется некоторая разобщенность естественно научной и гуманитарной культур . Сближение , а в дальнейшем , возможно , гармоническое взаимообогащение этих культур может быть осуществлено на фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамики открытых систем и синергетики .

ЛИТЕРАТУРА :

1. Базаров И.П.  Термодинамика. - М.: Высшая школа, 1991 г.

2. Гленсдорф П. , Пригожин И.  Термодинамическая теория структуры , устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1973 г.

3. Карери Д.  Порядок и беспорядок в структуре материи. - М.: Мир, 1995 г.

4. Курдюшов С.П. , Малинецкий Г.Г.  Синергетика - теория самоорганизации. Идеи , методы перспективы. - М.: Знание, 1983 г.

5. Николис Г. , Пригожин И.  Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979 г.

6. Николис Г. , Пригожин И.  Познание сложного. - М.: Мир, 1990 г.

7. Перовский И.Г.  Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: МГУ, 1980 г.

8. Попов Д.Е.  Междисциплинарные связи и синергетика. - КГПУ, 1996 г.

9. Пригожин И.  Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.: Иностранная литература , 1960 г.

10. Пригожин И.  От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985 г.

11. Синергетика , сборник статей. - М.: Мир, 1984 г.

12. Хакен Г.  Синергетика . - М.: Мир , 1980 г.

13. Хакен Г.  Синергетика . Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах . - М.: Мир , 1985 г.

14. Шелепин Л.А.  В дали от равновесия. - М.: Знание, 1987 г.

15. Эйген М. , Шустер П.  Гиперцикл . Принципы самоорганизации макромолекул . - М.: Мир , 1982 г.

16. Эткинс П.  Порядок и беспорядок в природе. - М.: Мир , 1987 г

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5