По истине поразительно , как много разнообразных явлений описывает реакционно-диффузное уравнение (2.4 ) , по этому интересно рассмотреть  ² основное решение ² , которое бы соответствовала термодинамической ветви . Другие решения можно было бы получать при последовательных не устойчивостях , возникающих по мере удаления от состояния равновесия . Неустойчивости такого типа удобно изучать методами теории бифуркации [ Николис и Пригожин , 1977] . В принципе , бифуркация есть нечто иное , как возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений . Предположим , что мы имеем химическую реакцию , соответствующую кинетическому уравнению  [ Маклейн и Уолис , 1974] .

                                 d X

                                  ¾   =  a X (X-R)              (2.5)

                                  d t

   Ясно что при  R < 0 существует только одно решение , независящее от времени , X = 0 . В точке R = 0 происходит бифуркация , и появляется новое решение X = R .

   Рис. 2.3.   Бифуркационная диограмма для уравнения ( 2.5.) .

                     Сплошная линия соответствует устойчивой ветви ,

                     точки - неустойчивой ветви .

   Анализ устойчивости в линейном приближении позволяет проверить , что решение  X = 0 при переходе через  R = 0 становится неустойчивым , а решение  X = R - устойчивым . В общем случаи при возрастании некоторого характеристического параметра  р  происходят последовательные бифуркации . На рисунке  2.4. показано единственное решение при  р = р1 , но при 

 р = р2 единственность уступает место множественным решения .

   Интересно отметить , что бифуркация в некотором смысле вводит в физику  и в химию , историю - элемент , который прежде считался прерогативой наук занимающихся изучением биологическим , общественных и культурных явлений .

         Рис. 2.4.   Последовательные бифуркации :

                         А и А1 - точки первичных бифуркаций из

                         термодинамической ветви ,

                         В и В1 - точки вторичной бифуркации .

   Известно , что при изменении управляющих параметров в системе наблюдаются разнообразные переходные явления . Выделим теперь из этих наблюдений определенные общие черты , характерные для большого числа других переходов в физико химических системах .

   С этой целью представим графически (рис. 2.5) зависимость вертикальной компоненты скорости течения жидкости в некоторой определенной точке от внешнего ограничения , или , в более общем виде , зависимость переменной состояние системы  Х  (или  х = Х - Хs ) от управляющего параметра l . Таким образом мы получим график , известный под названием бифуркационной диаграммы .

   Рис. 2.5. Бифуркационная диаграмма :

             а - устойчивая часть термодинамической ветви ,

              а1 - не устойчивая часть термодинамической ветви ,

              в1 ,в2 - диссипативные структуры , рожденные в

                       сверхкритической области .

   При малых значения l возможно лишь одно решение , соответствующее состоянию покоя в бенаровском эксперименте .Оно представляет собой непосредственную экстрополяцию термодинамического равновесия , и подобно равновесно , характеризующейся важным свойством - асимптотической устойчивостью , поскольку в этой области система способна гасить внутренние флуктуации или внешнее возмущения . По этой причине такую ветвь состояний мы будем называть термодинамической ветвью . При переходе критического значения параметра l , обозначенного lc на рисунке 2.5. , состоящие на этой ветви становится неустойчивыми , так как флуктуации или малые внешние возмущение уже не гасятся . Действуя подобно усилителю , система отклоняется от стационарного состояния и переходит к новому режиму , в случае бенаровского эксперимента соответствующему состоянию стационарной конвекции . Оба этих режима сливаются при l = lc и различаются при l > lc . Это явление называется бифуркацией . Легко понять причины , по которым это явление следует ассоциировать с катастрофическими изменениями и конфликтами. В самом деле , в решающий момент перехода система должна совершить критический выбор ( в окрестности l = lc ) , что в задаче Бенара связано с возникновением право- или левовращательных ячеек в определенной области пространства ( рис. 2.5. , ветви в1 или в2 ) .

   В близи равновесного состояния стационарное состояние асимптотических устойчивы (по теореме о минимальном производстве энтропии ) , по этому в силу непрерывности эта термодинамическая ветвь простирается во всей докритической области . При достижении критического значения термодинамическая ветвь может стать неустойчивой , так что любое , даже малое возмущение , переводит систему с термодинамической ветви в новое устойчивое состояние , которое может быть упорядоченным . Итак , при критическом значении параметром произошла бифуркация и возникла новая ветвь решений и , соответственно , новое состояние . В критической области , таким образом , событие развивается по такой схеме :

                  Флуктуация ® Бифуркация ®

                  неравновесный фазовый переход ®

                  Рождение упорядоченной структуры .

   Бифуркация в широком понимании - приобретении нового качества движениями динамической системы при малом изменении ее параметров ( возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений ) . Отметим , что при бифуркации выбор следующего состояния носит сугубо случайный характер , так что переход от одного необходимого устойчивого состояния к другому необходимому устойчивому состоянию проходит через случайное (диалектика необходимого и случайного) . Любое описание системы , претерпевающей бифуркацию , включает как детерминистический , так и вероятностный элементы , от бифуркации до бифуркации поведении системы детерминировано , а в окрестности точек бифуркации выбор последующего пути случаен . Проводя аналогию с биологической эволюцией можно сказать , что мутации - это флуктуации , а поиск новой устойчивости играет роль естественного отбора . Бифуркация в некотором смысле вводит в физику и химию элемент историзма - анализ состояния  в1 , например , подразумевает знание истории системы , прошедшей бифуркацию .

   Общая теория процессов самоорганизации открытых сильно не равновесных системах развивается на основе универсального критерия эволюции Пригожина - Гленсдорфа . Этот критерий является обобщением теоремы Пригожина о минимальном производстве энтропии . Скорость производства энтропии , обусловленная изменением термодинамических сил  Х , согласно этому критерию подчиняется условию

                                   dx P / t  £  0              (2.6)

   Это неравенство не зависит не от каких предположений о характере связей между потоками и силами в условиях локального равновесия и носит по этому универсальный характер . В линейной области неравенство (2.6. ) переходит в теорему Пригожина о минимальном производстве энтропии . Итак , в неравновестной системе процессы идут так , т.е. система эволюционирует таким образом, что скорость производства энтропии при изменении термодинамических сил уменьшается ( или равна нулю в стационарном состоянии ).

   Упорядоченные структуры , которые рождаются вдали от равновесия , в соответствии с критерием  (2.6.) и есть диссипативные структуры .

   Эволюция бифуркации и последующей самоорганизации обусловлено , таким образом , соответствующими не равновесными ограничениями .

   Эволюция переменных  Х будет описываться системой уравнений  

                                     (2.7)

где функции  F как угодно сложным образом могут зависить от самих переменных  Х и их пространственных производных координат r и времени t . Кроме того , эти функции буду зависить от управляющих параметров , т.е. тех изменяющихся характеристик , которые могут сильно изменить систему . На первый взгляд кажется очевидным , что структура функции { F } будет сильно определятся типом соответствующей рассматриваемой системы . Однако , можно выделить некоторые основные универсальные черты , независящие от типа систем.

   Решение уравнения (2.7) , если нет внешних ограничений , должны соответствовать равновесию при любом виде функции F . Поскольку равновесное состояние стационарно , то

Fi ({Xрав},lрав  ) = 0               (2.8)

   В более общем случае для неравновесного состояния можно аналогично написать условие

Fi ({X},l) = 0                   (2.9)

   Эти условия налагают определенные ограничения универсального характера , например, законы эволюции системы должны быть такими , чтобы выполнялось требование положительности температуры или химической концентрации, получаемых как решения соответствующих уравнений.

   Другой универсальной чертой является нелинейным . Пусть , например некоторая единственная характеристика системы

удовлетворяет уравнению

                                            (2.10)

где  k - некоторый параметр , l - внешние управляющие ограничения . Тогда стационарное состояние определяется из следующего алгебраического уравнения

                                    l - kX = 0              (2.11)

откуда

                                    Xs = l / k                (2.12)

   В стационарном состоянии , таким образом , значении характеристики , например , концентрации , линейно изменяется в зависимости от значений управляющего ограничения l , и имеется для каждого l единственное состояние  Хs . Совершенно однозначно можно предсказать стационарное значение  Х при любом l ,если иметь хотя бы два экспериментальных значения  Х

(l ) .Управляющий параметр может , в частности , соответствовать степени удаленности системы от равновесия . Поведение в этом случае системы очень похожи на равновесии даже при наличии сильно неравновесных ограничений .

Рис. 2.6. Иллюстрация универсальной черты нелинейности в самоорганизации структур .

   Если же стационарное значение характеристики  Х не линейно зависит от управляющего ограничения при некоторых значениях , то при одном и том же значении имеется несколько различных решений . Например , при ограничениях система имеет три стационарных решения , рисунок 2.6.в. Такое универсальное отличие от линейного поведения наступает при достижении управляющим параметром некоторого критического значения  l - проявляется бифуркация. При этом в нелинейной области небольшое увеличение может привести к неодекватно сильному эффекту - система может совершить скачок на устойчивую ветвь при небольшом изменении вблизи критического значения  l , рисунок 2.6.в. Кроме того из состояний на ветви  А1В могут происходить переходы  АВ1 ( или наоборот ) даже раньше , чем будут достигнуты состояния  В или А , если возмущения накладываемые на стационарное состояние , больше значение , соответствующего промежуточной ветви  А В . Возмущениями могут служить либо внешнее воздействие либо внутренние флуктуации в самой системе . Таким образом , системе с множественными стационарными состояниями присуще универсально свойствам внутренне возбудимость и изменчивости скачкам .

   Выполнение теоремы по минимально производстве энтропии в линейной области , а, как обобщение этой теоремы , выполнение универсального критерия (2.6.) и в линейной , и в нелинейной области гарантируют устойчивость стационарных неравновесных состояний. В области линейности необратимых процессов производство энтропии играет такую же роль , как термодинамические потенциалы в равновесной термодинамике . В нелинейной области величина  dP / dt  не имеет какого либо общего свойства , однако , величина  dx P/dt  удовлетворяет неравенству общего характера (2.6. ) , которая является обобщением теоремы о минимальном производстве энтропии .

2.3 ПРИМЕРЫ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ

      СИСТЕМ.

    Рассмотрим в качестве иллюстрации некоторые примеры самоорганизации систем в физике , химии , биологии и социуме.

2.3.1. ФИЗИЧЕСКИЕ  СИСТЕМЫ.

   В принципе даже в термодинамическом равновесии можно указать примеры самоорганизации , как результаты коллективного поведения . Это , например , все фазовые переходы в физических системах , такие как переход жидкость - газ , ферромагнитный переход или возникновение сверхпроводимости . В неравновесном состоянии можно назвать примеры высокой организации в гидродинамике , в лазерах различных типов , в физике твердого тела - осциллятор Ганна , туннельные диоды , рост кристаллов .

   В открытых системах , меняя поток вещества и энергии из вне , можно контролировать процессы и направлять эволюцию систем к состояниям , все более далеким от равновесия . В ходе неравновесных процессов при некотором критическом значении внешнего потока из неупорядоченных и хаотических состояний за счет потери их устойчивости могут возникать упорядоченные состояния , создаваться диссипативные структуры .

           2.3.1а.  ЯЧЕЙКИ  БЕНАРА.

   Классическим примером возникновения структуры из полностью хаотической фазы являются конвективные ячейки Бенара . В 1900 году была опубликована статья Х.Бенара с фотографией структуры , по виду напоминавшей пчелиные соты (рис. 2.7).

      Рис. 2.7.        Ячейки  Бенара :

                        а) - общий вид структуры

                        б) - отдельная ячейка.

   Эта структура образовалась в ртути , налитой в плоский широкий сосуд , подогреваемый снизу , после того как температурный градиент превысил некоторое критическое значение . Весь слой ртути (или другой вязкой жидкости) распадался на одинаковые вертикальные шестигранные призмы с определенным соотношением между стороной и высотой (ячейки Бенара). В центральной области призмы жидкость поднимается , а вблизи вертикальных граней - опускается . Возникает разность температур   Т  между нижней и верхней поверхностью   DТ = Т2 - Т1 > 0 .Для малых до критических разностей  DТ < DТkp  жидкость остается в покое , тепло снизу вверх передается путем теплопроводности . При  достижении  температуры  подогрева  критического значения Т2 = Тkp (соответственно DТ = DТkp ) начинается конвекция . При достижении критического значения параметра  Т , рождается , таким образом , пространственная диссипативная структура . При равновесии температуры равны   Т2 =Т1  ,  DТ = 0 . При кратковременном подогреве (подводе тепла) нижней плоскости , то есть при кратковременном внешнем возмущении температура быстро станет однородной и равной ее первоначальному значению . Возмущение затухает , а состояние - асимптотически устойчиво. При длительном , но до критическом подогреве ( DТ < DТkp ) в системе снова установится простое и единственное состояние , в котором происходит перенос к верхней поверхности и передачи его во внешнюю среду (теплопроводность) , рис. 2.8 , участок а . Отличие этого состояния от равновесного состояния состоит в том , что температура , плотность , давление станут неоднородными . Они будут приблизительно линейно изменяться от теплой области к холодной .

     Рис. 2.8.  Поток тепла в тонком слое жидкости.

   Увеличение разности температур  DТ , то есть дальнейшее отклонение системы от равновесия , приводит к тому , что состояние неподвижной теплопроводящей жидкости становится неустойчивым участок  б  на рисунке 2.8. Это состояние сменяется устойчивым состоянием (участок  в  на  рис. 2.8) , характеризующимся образованием ячеек . При больших разностях температур покоящаяся жидкость не обеспечивает большой перенос тепла , жидкость ²вынуждена² двигаться , причем кооперативным коллективным согласованном образом.

   Далее этот вопрос рассматривается в 3 главе.

             2.3.1в.  ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ

                          СИСТЕМА.

   Итак , в качестве примера физической системы , упорядоченность которой есть следствие внешнего воздействия , рассмотрим лазер.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5