Е+

Е+

Е+

	+g		-g

 

Часть векторов Е одинакова по величине, то Eå = g/e0.

13. Поле бесконечного заряженного цилиндра:

E=0

l

t

R

Бесконечный цилиндр R с линейной плотностью заряда t (заряд на единицу длинны).

r

q – заряд на цилиндре.

q = l.t или q = g.2pR.l

E = t/(2pe0r)

  E

Er

                                  ~1/r

                                                         r

               R

R

r

E=0

l

r

Бесконечный заряженный цилиндр с объемной плотностью r.

                                               n

                                                          E   

ФЕ = E Sб.п.òdS = E2prl

q = rVЦ = rpR2l = 1/e0 rpR2l

E = (rR2)/(e02r).

                                    r

                l

                                                R

q = rpr2l

Ф = E2prl = (1/e0) rpr2l

E = (rr)/(2e0)

Если есть e1 и e2, то e0*e1(2)

   E

                      1

                      2

                      3   

                                                         r

1 - e1 > e2;

2 - e1 = e2;

3 - e1 < e2.

14. Поле бесконечного заряженного шара (сферы):

Заряд с поверхностной плотностью g распределен по сфере радиуса R:

g

                                                                Е

|E| - const;

ФЕ = SoòEndS = E oòdS = E 4pr2 =        = (1/e0) g4pR2

q = g 4pR2

Eнаружн = (gR2)/(e0r2) = q/(4pe0r2)

Eвнутр = 0

   E

Er

                                 ~1/r

                                                   r

                    R

Заряд с поверхностной плотностью g распределен по шару радиуса R:

Ф = Е 4pr2 = (r/e0) 4/3 pR3

qнаружн = rV = r 4/3 pR3

Eнаружн = (gR2)/(e0r2) = q/(4pe0r2)

Eвнутр = (rr)/(3e0e1)

    E

                       1

Er

                      2  

                                                r

                        R

Шар с r(r):

Eнаружн = q/(4pe0e2r2)

dq = r(r’) 4pr’ dr’

r’ – толщина внутреннего слоя;

q = 0òRr(r’) 4pr’2 dr’

Eнаружн = (4p 0òRr(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e2r2);                  r

Eвнутр = (4p 0òr(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e1r2);

Шар с полостью:

Eнаружн = (4p R1òR2r(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e2r2);                  r

Eвнутр = (4p R1òr(r’) 4pr’2 dr’)/ /(4pe0e1r2).

15. Потенциал (j):

]$ поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. ]$ точечный заряд q’, на который действует сила:

F = 1/(4pe0)*(qq’)/r2

Работа, совершаемая над зарядом q’ при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от пути

A12 = 1ò2 F(r)dr = (qq’)/(4pe0)r1òr2dr/r2.

Иначе ее можно представить, как убыль потенциальной энергии:

A12 = Wp1 – Wp2.

При сопоставлении формул получаем, что Wp = 1/(4pe0)*(qq’)/r.

Для исследования поля воспользуемся двумя пробными зарядами qПР’ и qПР’’. Очевидно, что в одной и той же точке заряды будут обладать разной энергией Wp’ и Wp’’, но соотношение Wp/qПР будет одинаковым.

j = Wp/qПР = 1/(4pe0)*q/r  называется потенциалом поля в данной точке и, как напряженность, используется для описания электрического поля.

]$ поле, создаваемое системой из N точечных зарядов. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q’, будет равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждым из qN над q’ в отдельности:

A = i = 1åNAi, где Ai =                        = 1/(4pe0)*(qiq’/ri1 - qiq’/ri2), где ri1 -  расстояние от заряда qi до начального положения заряда q’, а  ri2 – расстояние от qi до конечного положения заряда q’.

Следовательно Wp заряда q’ в поле системы зарядов равна:

Wp = 1/(4pe0)*i = 1åN(qiq’)/ri , то

j = 1/(4pe0)*i = 1åN(qi/ri), следовательно потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Заряд q, находящийся в точке с потенциалом j обладает энергией

Wp = qj, то работа сил поля

A12 = Wp1 –Wp2 = q(j1 - j2).

Если заряд из точки с потенциалом j удалять в бесконечность, то          A¥ = qj, то j численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.

16. Связь между напряженностью и потенциалом:

Электрическое поле можно описать с помощью векторной величины Е и скалярной величины j.

Для заряженной величины, находящейся в электрическом поле:

F = qE, Wp = qj.

Можно написать, что

E = - ¶j/¶x - ¶j/¶y - ¶j/¶z, т.е. при проекции на оси:

Ex = -¶j/¶x, Ey = -¶j/¶y, EZ = -¶j/¶z, аналогично проекция вектора Е на произвольное направление l: Еl =          = -¶j/¶l, т.е. скорости убывания потенциала при перемещении вдоль направления l.

j = 1/(4pe0)*q/r = /в трехмерном пространстве/ = 1/(4pe0)*q/Ö(x2+y2+z2).

Частные производные этих функций равны:

¶j/¶x = -q/(4pe0)*x/r3;

¶j/¶y = -q/(4pe0)*y/r3;

¶j/¶z = -q/(4pe0)*z/r3.

При подстановке получаем:

E = 1/(4pe0)*q/r2.

Работа, по перемещению q из точки 1 в точку 2, может быть вычислена, как A12 = 1ò2qEdl или A12 = q(j1 - j2), приравняв их, получим j1 - j2 = 1ò2Edl. При обходе по замкнутому контуру j1 = j2, то получим:             oò Edl = 0.

17. Эквипотенциальные поверхности:

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной. Ее уравнение имеет вид j(x, y, z) = const.

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок dl, dj = 0. Следовательно, касательная к поверхности, составляющая вектор Е, равна 0, т.е. вектор Е направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности. Т.е. линии напряженности в каждой точке перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля и их можно построить бесконечное множество. Их проводят таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одинаковой (Dj = const). Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля.

В соответствии с характером зависимости Е от r, эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля.

18. Проводники в электрическом поле:

Проводники состоят из связанных зарядов равномерно распределенных по объему проводника. Электроны проводника находятся в тепловом хаотическом движении.

]$ поле с проводником:

                          () 1

           -        +                                    Е

 -                     +

       -                       +                         Е

     -                          +() 2  

   -                           +                         Е

   -                             +    

   --                          +                        Е

    -                           +

                          +                              Е

          -    +

Напряженность внутри проводника равна 0, т.к. внутри проводника складывается некая суперпозиция напряженностей.

Если j1 - j2 = 0, то поверхность проводника эквипотенциальна, а линии напряженности всегда перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Возьмем произвольную точку плоскости проводника.

                                   t

                 j

Возьмем касательную к элементу поверхности t.

dj/dt = -Et, (где dj/dt = 0) вектор Е перпендикулярен плоскости в данной точке.

                                q

            Е = 0 

                    E ~ g

(g - поверхностная плотность)     

Заряд распределен по поверхности, Е = 0, распределение неравномерно, максимальную плотность заряд имеет в местах максимальной кривизны.

Обозначим «степень кривизны» за С, то С = 1/R.

E ~ g ~ C ~ 1/R.

19. Электроемкость, конденсаторы:

Электроемкость – коэффициент пропорциональности между зарядом проводника и потенциалом, который заряд приобретает. Зависит от формы проводника и окружающих его тел.

С = q/j.

Электроемкости уединенных проводников (на него ни что не влияет):

Сфера:      q

                                   j = 1/(4pe0)*q/R

                                   C = q/j = 4pe0R

      R                  j 

Если поместить около сферы другой проводник, то С = Dq/Dj.

-Dq

R

                                                         Dq 

                           E+

 X                                  E-

                                                      +Dq 

                                             l   

                                                       R

Dj - разность потенциалов, возникшая между проводниками.

Если l>>R, то заряд по поверхности каждой сферы распределяется равномерно.

Dj = j1 - j2

j1 - j2 = Ròl-R Edx

E = E+ + E- = k*Dq/x2 + k*Dq/(l-x)2

Конденсаторы:

С = 4pe0R

Плоский:

 q+                q-    C = Dq/(j1 - j2) =

                             = (Dqe0S)/(Dqd)  =

                             = e0S/d

                             j1 - j2 = E*d =

                             = gd/e = (Dqd)/(e0S)

 j1                j2

Сферический:

                  R1

                        R2

          +q  

        -q

j1 - j2 = R1òR2E+dr =                           = Dq/(4pe0) * R1òR2 (1/r2)dr =                    = Dq/(4pe0)*(1/R1 – 1/R2).

C = (4pe0eR1R2)/(R2-R1).

20. Электрическое поле в диэлектриках:

При помещении в поле диэлектрика в поле происходит изменение. Сам диэлектрик реагирует на поле иначе, чем проводник.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6