.                                   

Если в системе создать искусственно неравновесное состояние, то в подавляющем большинстве случаев система самопроизвольно будет переходить в состояние с большей вероятностью. С другой стороны, согласно термодинамике, все самопроизвольные процессы в замкнутой системе, сопровождаются возрастанием энтропии. Поэтому следует ожидать, что между энтропией системы S в каждом состоянии и вероятностью W того же состояния должна существовать однозначная связь. Эта связь была установлена Больцманом (формула Больцмана)

                            ,                                                                         

где k – постоянная Больцмана.

Последнее соотношение можно рассматривать как определение энтропии. При таком понимании энтропии закон ее возрастания утрачивает свою абсолютность и становится статистическим законом. Энтропия замкнутой системы может не только возрастать, но и убывать. Это можно трактовать следующим образом: если система находится в неравновесном состоянии, то переход ее в более вероятное состояние будет происходить в подавляющем большинстве случаев, переходы же в менее вероятные состояния (с меньшей энтропией) настолько маловероятные, что практически не имеют никакого значения. Тогда закон возрастания энтропии оправдывается на практике с абсолютной достоверностью.

Примеры решения задач

Задача 1 Смесь азота и гелия при температуре 27 0С находится под давлением р=1,3×102 Па. Масса азота составляет 70 % от общей массы смеси. Найти кон­цен­тра­цию молекул каждого из газов.

                                                  M2=c2M,

где    M - масса смеси;

          с1 и с2 – процентное содержание азота и гелия.

С другой стороны, масса каждого из газов:     

                                                    (2)

где    V – объем газа;

          m - молярная масса газа;

          mi/NА – масса молекулы.

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим:

c1M=;         c2M=;

откуда        n1/n2==1/3. Так как n1+n2=n,

то                     n1==0,8×1022 м-3,                 n2==2,4×1022 м-3.

Ответ: n1==0,8×1022 м-3,           n2==2,4×1022 м-3.

Задача 2 Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул азота и гелия при температуре 27 0С. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.

<uкв>=.                                                  (1)

Для расчета средней квадратичной скорости выражение (1) удобно преобразовать, умножив числитель и знаменатель на NA.

<uкв>=;

<uкв>=13,7×102 м/с – для гелия;

<uкв>=5,17×102 м/с – для азота.

Средняя полная энергия молекулы зависит от числа степеней свободы молекулы:

<E0>=.

Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение Е0 на число всех молекул:

Е=U=Е0×N;            N=.

Гелий – одноатомный газ Þ i=3, тогда <E0>=6,2×10-21 Дж.

Азот – двухатомный газ Þ i=5, тогда <E0>=10,4×10-21 Дж.

Полная энергия всех молекул

Е=.

Для гелия W=93,5×103 Дж; для азота W=22,3×103 Дж.

Ответ: для гелия W=93,5×103 Дж; для азота W=22,3×103 Дж

Задача 3 Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэф­фициент диффузии и вязкость при давлении р=105 Па и температуре 17 0С. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: 1) при постоянном давлении; 2) при постоянной температуре? Эффективный диаметр молекул азота d=3,7×10-8см.

Концентрацию молекул можно определить из уравнения    p=nkT:

n=p/kT   подставим в уравнение (1):

 6,5×10-8 м.

Средняя скорость <u>==470 м/с;

Тогда D=1×10-5 м2/с.

Для расчета h подставим (1) в (3):

1,2×10-5 .

Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшится вдвое. Следовательно, при любом процессе l2/l1=2.

В выражение для коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Тогда:

При р=const объем прямо пропорционален температуре: Т2/Т1=V2/V1=2, тогда D2/D1=.

При Т=const  D2/D1=l2/l1=2.

Вязкость зависит от скорости молекул, следовательно, и от температуры, т.е.

,

при р=const ;

при Т=const .

Ответ:   l=6,5×10-8 м; D=1×10-5 м2/с; h=1,2×10-5 .

Задача 4 Пылинки массой 10-18 г. взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха во всем объеме одинакова: Т=300 К.

Дифференцируя выражение (1) по z, получим

dn=-n0××e-mgz/kT×dz.

Так как n0×e-mgz/kT=n, то dn=-×n×dz. Отсюда dz=.

Знак «-» показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак «-» опускаем и заменяем dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

.

Dn/n=0,01 по условию задачи. Подставляя значения, получим Dz=4,23 мм.

Ответ: Dz=4,23 мм

Задача 5 Вычислить удельные теплоемкости сv и сp смеси неона и водорода. Массовые доли газов w1=0,8 и w2=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов – неон: сv=6,24 ; cp=1,04; водород: сv=10,4; сp=14,6.

,

откуда        .

Отношения  и  выражают массовые доли неона и водорода соответственно. С учетом этих обозначений  последняя формула примет вид:

,

 Подставляя значения, получим   сv=2,58×103 .

Таким же образом получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

 Подставляя значения, получим       ср=3,73103.

Ответ: сv=2,58×103 ; ср=3,73103.

Задача 6 Кислород массой M=2 кг занимает объем v1=1 м3 и находится под давлением p1=2атм= 2,02×105 Па. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления

p2=5атм=5,05×105 Па. Найти изменение внутренней энергии газа DU, совершенную им работу А и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

                                                                        V=const  А2=0.

Полная работа, совершенная газом:  А=А1+А2=0,404×106 Дж.

На основании первого начала термодинамики

получаем теплоту, переданную газу: Q=3,68×106 Дж.

График процесса изображен на рисунке:    p

                                                                   p2                            3

                                                                   p1        1                  2

                                                                                                          v

                                                                             v1                v2

Ответ: DU=3,28×106 Дж; А=0,404×106 Дж; Q=3,68×106 Дж.

Задача 7  Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно нагретым воздухом, взятом при начальном давлении 7×105 Па и температуре 127 0С. Начальный объем воз­духа 2×10-3 м3. После первого изотермического расширения воздух занял объем    5 л, после адиабатического расширения объем стал равен 8 л. Найти координаты пересечения изотерм и адиабат.

Для точки А  , откуда , =0,427 молей, тогда уравнение (1) примет вид:

pV = 0,427×8,31×400=1420 Дж.

Для точки В =284×103 Па.

Так как координаты точек В и С удовлетворяют адиабате ВС, то

, откуда =1,44×105 Па.

Уравнение изотермы DС =1,44×1,05×105×8×10-3=1170 Дж. Отсюда Т2=330 К.

Так как координаты точек Д и А должны удовлетворять уравнению адиабаты, то

,

отсюда V4=3,22×10-3 м3 и 105 = 3,6×105 Па.

Таким образом:   V1=2×10-3 м3, р1=7×105 Па,

                             V2=5×10-3 м3, р2=2,8×105 Па,

                             V3=8×10-3 м3, р3=1,44×105 Па,

                             V4=3,22×10-3 м3, р4=3,6×105 Па.

Задача 8 Найти изменение энтропии при нагревании воды массой M=100 г от температуры t1=0 0С до температуры t2=100 0С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

                                           (1)                                    

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ=McdT, где M – масса тела, с – его удельная теплоемкость. Подставив dQ в формулу (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

;

;

DS/=132 Дж/К.

          При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры T = const,  и тогда

                                                      ,                                                (2)

где    Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты , где

l - удельная теплота парообразования, получим:

;

DS//=605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании и последующем превращении ее в пар DS=DS/+DS//=737 Дж/К.

Ответ: DS/=132 Дж/К; DS//=605 Дж/К.

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения

1. Сосуд емкостью V=10-2 м3 разделен пополам полунепроницаемой пере­го­род­кой. В одну половину сосуда введено 2 г водорода и 4 г гелия. Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса поддерживается температура 100 0С. Считая газы идеальными, определить установившееся давление в обеих частях сосуда.

Ответ: p=9,6×105 Па

2. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не за­ви­ся­щими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря плотность воз­духа меньше своего значения на уровне моря в 2 раза. Температура воздуха t=0 0С.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9