2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

,

                  причем:     ,   ,   .

Примеры потенциальной энергии:

1) - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h от нулевого уровня энергии в поле тяжести Земли;

2)                  - потенциальная энергия упругого деформированного тела, х - модуль деформации тела.

4. Законы сохранения в механике.

4.1.  Закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы тел равна сумме их кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними телами:

Е = Ек + Еп.

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

.

Закон сохранения полной механической энергии: Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

          В замкнутой системе полная механическая энергия остается постоянной, если между телами, составляющими систему, действуют только консервативные силы.

4.2. Закон сохранения импульса. Центральный удар двух тел.

Закон сохранения импульса: Полный импульс замкнутой системы остается посто­янным.

Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на координатные оси:

.

Если ¹0, но =0, то будет сохраняться проекция импульса системы на ось Х.

Рассмотрим центральный удар двух тел. Центральным называется удар, при котором тела движутся вдоль прямой, соединяющей их центры масс. Выделяют два предельных вида такого удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Для двух тел массами m1 и m2 , движущихся со скоростями  и  вдоль оси X навстречу друг другу, скорости их после абсолютно упругого центрального удара можно найти по формулам:

;    .

При этом сохраняется импульс системы тел и полная механическая энергия.

Если удар абсолютно неупругий, то

.

Тела после такого удара движутся вместе. Импульс системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии переходит в энергию неупругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

4.3. Закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса: Момент импульса системы тел сохраняется, если результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю:

.

Если результирующий момент внешних сил не равен нулю, но рана нулю проекция этого момента на некоторую ось, то проекция момента импульса системы на эту ось не изменяется.

5. Элементы специальной теории относительности.

5.1. Постулаты Эйнштейна.  Преобразования Лоренца.

Принцип относительности: Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется прямолинейно и равномерно.

Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S  и S¢ (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система  движется относительно  со скоростью  вдоль оси X системы . Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца.

Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

                     Рис. 8

Тогда:         .

Здесь  - скорость света в вакууме.

5.2. Следствия из преобразований Лоренца.

Будем рассматривать системы  и  (рис. 8).

Относительность промежутков времени между событиями.

где - промежуток времени между событиями, измеренный в системе отсчета , относительно которой события происходят в одной точке пространства (отсчитывается по часам, находящимся в системе );  - промежуток времени между этими событиям, отсчитанный по часам, находящимся в системе .

Изменение размеров движущихся тел.

          где L’-длина стержня, расположенного вдоль оси  и покоящегося в системе S’ (отсчитывается в системе отсчета S’);           L - длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .

Релятивистский закон сложения скоростей.

Пусть некоторое тело движется вдоль оси  x` в системе отсчета  со ско­ростью относительно последней. Найдем проекцию скорости  этого тела в систе­ме отсчета   на ось x этой системы:

.

5.3.          Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии.

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m0 – масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя);

m – масса тела в той системе, относительно которой тело движется;

u – скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

Релятивистский импульс:

,

где m – релятивистская масса.

Закон взаимосвязи массы и энергии:

,

где m - релятивистская масса;

          E – полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта:

,

где - полная энергия;          - энергия покоя.

          Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на Dm  сопровождается изменением его энергии на DE:

DE=Dm×c2.

Примеры решения задач

          Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

x = A+Bt+Ct3, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с3. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан­ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре­мени; 5) мгно­венные ускорения в указанные моменты времени.

      Дано:

           м/с = 9,8 м/с.

3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения:                                  

 u1 = (2+3×0,2×22) м/с = 4,4 м/c;

u2 = (2+3×0,2×52) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение  ,

 м/c2 = 4,2 м/с2.

          5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 2×3×Ct = 6Ct.

a1 = 6×0,2×2 м/c2 = 2,4 м/с2;

                                                  a2 = 6×0,2×5 м/с2 = 6 м/с2.

Задача 2  Маховик вращается равноускоренно. Найти угол  a, ко­то­рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

Дано:

                             at = eR, an = w2R,  где R – радиус маховика, получим

            tga =

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами e и w;  

                     ;

Поскольку w0 = 0; j = 2pN, то w2 = 2e×2pN = 4pNe.

Подставим это значение в формулу, получим:

     a  » 2,3°.

Ответ: a  » 2,3°.

Задача 3 Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, пе­ре­ки­ну­той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити  . Трением в блоке пренебречь.

Дано:

           На тело 1 и тело 2 действуют только две силы – сила тяжести  и сила

натяжения нити. Для первого тела имеем:

                                                                 (1)

  для второго тела:   

                             .                                  (2)

Так как сила трения в блоке отсутствует,

                                       .

Ускорения тел а1 и а2 равны по модулю и направлены в противоположные стороны

                             .

Получаем из (1) и (2) систему уравнений.

Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений

в проекциях на ось Х                    

Решая эту систему относительно а и FН, получаем:

                  = 3,3 м/с2;    = 13 Н.

Ответ: a = 3,3 м/c2 ; FH = 13 Н.

Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м прило­жена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

МТР=4,9 Н×м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением e=100 рад/с2.

Дано:

  - момент инерции диска.

Учитывая, что MF=F×R, получаем:     .

Отсюда               

                             m = 7,7 кг.

Ответ: m = 7,7 кг.

Задача 5

          Вагон массой 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона равна    54 км/ч. Найти работу сил трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.

      Дано:

трения, в конце пути скорость вагона равна нулю, то

.

Итак:

          По определению для работы, совершаемой постоянной силой трения:

             м.

Ответ: r = 375 м.

Задача 6 При упругом ударе нейтрона о ядро атома углерода он движется после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что масса М ядра углерода в n=12 раз больше массы m нейтрона, определить, во сколько раз уменьшается энергия нейтрона в результате удара.

Дано:

По условию задачи требуется найти отношение

          Из треугольника импульсов (смотри рисунок) имеем:

(mu1)2+(mu¢1)2=(Mu2)2.

С учетом записанных выражений, а также соотношения n=M/m, получим:

u12-u¢12=nu22;

u12+u¢12=n2u22.

Разделив почленно последние равенства, получаем:

.

Отсюда       =1,18.

Ответ: a = 1,18.

Задача 7 Круглая платформа радиусом R=1,0 м, момент инерции которой   I=130 кг×м2, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n1=1,0 об/с. На краю платформы стоит человек, масса которого m=70 кг. Сколько оборотов в секунду n2 будет совершать платформа, если человек перейдет в её центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Дано:

где L1 - импульс системы с человеком, стоящим на краю платформы, L2 - импульс системы с человеком, стоящим в центре платформы.

                                   L1 = I1w1 = (I+mR2)×2pn1,                                                    (2)

                                       L2 = I2w2 = I×2pn2,                                                           (3)

где   mR2 - момент  инерции  человека,  I1 = I+mR2 -  начальный  момент  инерции

системы, I2 - конечный момент инерции системы, w1 и w2 - начальная и конечная угловые скорости системы. Решая систему уравнений (1) - (3), получаем:

n2 = n1(I+mR2)/I = 1,5 об/с.

          Ответ: n2 = 1,5 с-1.

Задача 8

Определить кинетическую энергию (в электронвольтах) и релятивистский импульс электрона, движущегося со скоростью u = 0,9 c (-скорость света в вакууме).

Дано:

.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9