.

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, равная приращению скорости за единицу времени. Различают среднее и мгновенное ускорения.

 - среднее ускорение;

  - мгновенное ускорение.

Вектор ускорения может быть представлен через его проекции на координатные оси:

,

где ,  ,  .

Модуль ускорения можно определить следующим образом:

.

1.2.  Основная задача кинематики

Основная задача кинематики заключается в нахождении закона движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:

;          ;        ;        ;

.

Частные случаи прямолинейного движения:

1) равномерное прямолинейное движение: ;

2) равноускоренное движение:    .

1.3. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения

Часто используется представление ускорения через две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис. 2):

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:

,

где  - производная модуля скорости;  - единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью .

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено по нормали к траектории, к центру кривизны траектории в данной точке:

,

где R - радиус кривизны траектории, - единичный вектор нормали.

В случае, если известны модули составляющих векторов, модуль вектора ускорения может быть найден по формуле

.

1.4.  Вращательное движение и его кинематические характеристики

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие кинематические характеристики (рис. 3).

Угловое перемещение  - вектор, численно равный углу поворота тела  за время и направленный вдоль оси вращения так, что если смотреть вдоль него, то поворот тела наблюдается происходящим по часовой стрелке.

Угловая скорость  - характеризует быстроту и направление вращения тела. Она равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.

При вращательном движении справедливы следующие формулы:

                    ;       ;      .

Угловое ускорение  характеризует быстроту изменения   угловой   скорости  с  течением времени, равно

                                            первой производной  угловой скорости и направлено вдоль

                                            оси вращения: 

;  ;   .

Зависимость  выражает закон вращения тела.

При равномерном вращении  e = 0, w = const, j = wt.

При равнопеременном вращении  e = const, , .

Для характеристики равномерного вращательного движения используют период вращения и частоту вращения.

Период вращения Т – время одного оборота тела, вращающегося с постоянной угловой скорости.

Частота вращения n - количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени. Угловую скорость можно выразить через частоту:

.

Связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками (рис. 4):

2. Динамика поступательного и вращательного движения.

2.1.          Законы Ньютона

Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Первый закон будет выполняться только в инерциальных системах отсчёта (ИСО). ИСО - система отсчёта, связанная со свободным телом, по отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.

К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля, существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила  характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

Одновременное действие на тело нескольких сил ,,..., может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы :

=++...+=.

Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствии внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы. Массы всех тел определяются по отношению к массе тела, принятого за эталон.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: .

 Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:  .

Второй закон Ньютона:  скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:

.

В частном случае (при постоянной массе): ускорение, приобретаемое телом относительно инер­ци­аль­ной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:

.

Третий закон Ньютона: Силы, с которыми действуют друг на друга взаимо­дей­ствующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

,

где - сила, действующая на 1-ую точку со стороны 2-ой,

- сила, действующая на 2-ую точку со стороны 1-ой.

Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных то­чек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимо­действуют между собой материальные точки системы) равна нулю.

2.2. Динамика вращательного движения твердого тела.

          Вращательное действие силы харак­те­ризуется такой величиной, как мо­мент силы относительно оси вращения  (рис. 5).

Пусть М - точка приложения силы , - радиус-вектор точки М, проведённый пер­пен­дикулярно оси вращения O'O. Разложим   на три составляющие:

- осевая, параллельная оси вращения,

- радиальная, направленная вдоль вектора ,

- касательная, перпендикулярная  и оси вращения.

Составляющие  и  - вращения тела вокруг оси O'O не создают. Вращающее действие силы  создаётся составляющей . Моментом силы  относительно оси вращения O'O называется векторное произведение радиуса-вектора  точки приложения силы, проведённого перпен­дикулярно оси вращения, на составляющую силы , перпендикулярную оси вращения и радиусу вектору :

.

Вектор момента силы направлен вдоль оси вращения и связан с направлением силы правилом правого винта.

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент сил равен векторной сумме моментов всех сил, действующих на тело.

Момент инерции тела характеризует инертные свойства тела при вращательном движении и зависит от распределения массы тела относительно оси вращения.

 - момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси.

 - момент инерции системы материальных точек.

 - момент инерции тела, где  - плотность тела.

Момент инерции тела относительно произвольной оси  может быть  рассчитан  по

                                                           теореме  Штейнера:   момент    инерции   тела

                                                           относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 6):

.

Моментом импульса материальной точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса вектора  на импульс точки (рис. 7):

                                 . 

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

             Рис. 6                                                           

Моментом импульса тела относительно оси вращения называется величина

,

где - момент инерции тела относительно данной оси.

Рис. 7

Основной закон динамики вращательного движения:

Скорость изменения момента импульса тела относительно оси равна результирующему моменту внеш­них сил относительно той же оси. При постоянном моменте инерции угловое ускорение, приобретаемое телом, пропор­ционально моменту сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела:

.

Из законов динамики поступательного и вращательного движений следует условие равновесия тел:

2.3. Некоторые силы в механике.

3. Работа и механическая энергия.

3.1. Работа и мощность при поступательном и вращательном движениях.

У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом случае говорят, что над телом совершается работа. В механике принято говорить, что работа совершается силой. Работа – это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной формы движения в другую.

Элементарной работой силы  на малом перемещении  называется величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

,

где - элементарный путь точки приложения силы за время dt, a- угол между векторами  и .

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

.

Если = const, то А=.

При вращательном движении работа определяется моментом сил:

,

если М = const, то А=Мjj.

Быстроту совершения работы характеризует мощность.

Мощностью называется скалярная величина, равная работе, совершаемой в единицу времени:

.

При вращательном движении мощность определяется следующим образом:

.

3.2.  Консервативные и неконсервативные силы.

Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил - работа на замкнутой траектории равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести и сила упругости.

Неконсервативными силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила сопротивления и т.д.

3.3.  Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях.

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния,  зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

Кинетическая энергия поступательного движения:  .       Кинетическая энергия вращательного движения: .

При сложном движении твёрдого тела его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения: 

.

Свойства кинетической энергии:

1. Кинетическая энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

2. Кинетическая энергия не отрицательна: ЕК³ 0.

3. Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.

4. Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех сил, действующих на систему или на тело: .

3.4.  Потенциальная энергия.

Потенциальная энергия системы - это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил. Убыль потенциальной энергии равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

ЕП1 - ЕП2 = -DЕП = А12конс,    .

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Свойства потенциальной энергии:

1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9