,          (13.1)                                 

показывает, какой момент сил надо приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.

   Модуль сдвига G равен

                ,         (13.2)

где F/S определяет величину касательной силы, приходящейся на единицу поверхности, а g - угол сдвига (рис. 28).

   Между модулем кручения и модулем сдвига материала существует простое соотношение

                                                                ,                                                          (13.3)

где r – радиус цилиндрической проволоки, L – ее длина.

   Подвешенное на проволоке твердое тело при возникновении в системе крутильных колебаний совершает вращательные движения, к которым может быть применен основной закон динамики вращательного движения

   ,                                             (13.4)

где M – вращательный момент относительно оси подвеса, J – момент инерции тела относительно той же оси,  - угловое ускорение. Используя (13.1) и учитывая, что угловое ускорение направлено против углового смещения j, можно записать

                                                   .                                   (13.5)

   Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении ускорение  пропорционально угловой координате - смещению j и направлено противоположно ему, что является существенным признаком гармонического колебания , где w0 – циклическая частота. Поэтому w0 должен быть равен

                                                                   ,                                                          (13.6)

где Т – период колебаний.

   Далее

                                                                   ,                                                         (13.7)

откуда

                                                                .                                                         (13.8)

Экспериментальная установка

    В данной работе крутильный маятник представляет собой штангу Ш, подвешенную на проволоке А (рис. 29). Верхний конец проволоки закреплен с помощью винта В в держателе Д. Для выведения маятника из положения равновесия, т. е. для первоначального закручивания проволоки служит пусковое устройство П. Вдоль  штанги могут перемещаться два груза Г одинаковой массы m. Изменяя расстояния l от грузов до центра штанги, можно изменять момент инерции маятника, а вместе с этим и период колебаний маятника.

   Для того, чтобы из выражения (13.8)  найти модуль кручения f материала проволоки, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника при разных моментах инерции

                                                   ,                                       (13.9)                                                                                    

откуда

                                                                     .                                                     (13.10)

Момент инерции крутильного маятника складывается из моментов инерции грузов 2ml2 и суммарного момента инерции  штанги и проволоки  j

                                              .                                   (13.11)

Для исключения j вычтем J1 из J2

                                                                        .                                         (13.12)

Подставляя сюда из соотношения (13.10) значение , получаем      

                                                          .                                              (13.13)

Подставив, наконец, это выражение в уравнение (13.7), находим модуль кручения

                                                              .                                           (13.14)

Для модуля сдвига получается выражение

                                                             .                                          (13.15)

Проведение эксперимента

Измерения

1. Подвешивают стержень крутильного маятника на выбранную проволоку. Надевают на концы штанги грузы Р. Наблюдая за положением равновесия штанги с грузами и понемногу перемещая грузы, уравновешивают штангу в горизонтальном положении. Измеряют радиус проволоки r и длину подвеса L. Записывают массы грузов m.

2. Сообщают маятнику вращательный импульс так, чтобы он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой. Для этого легким рывком отодвигают в сторону рычажок пускового механизма Н. Следят за тем,  чтобы при пуске не возникали поступательные колебания.

3. Измеряют суммарное время  t1 50-100 колебаний маятника. Измеряют расстояние l1 от оси вращения до середины одного из грузов.

4. Передвигают грузы в другое положение и, снова уравновесив маятник, измеряют время t2 такого же числа колебаний. Измеряют расстояние l2.

5. Если число колебаний N в первом и втором случаях одинаково, то формулы (13.14) и (13.15) можно записать через время и число колебаний

                         .                   (13.16)

   Подставляют в эти формулы измеренные значения входящих в них величин и вычисляют модуль кручения f и модуль сдвига G материала проволоки.

6. Для вычисления величин погрешностей измерений можно вывести следующие формулы                      ,

 .            (13.17)

При этом принято, что погрешности измерений величин l1 и l2 одинаковы и равны Dl, а погрешности измерения t1 и t2 равны Dt.

   Анализ приведенных формул показывает, что наибольший вклад в измерение модуля сдвига вносит погрешность  измерения  величины r. Следовательно,  радиус  проволоки должен быть измерен с максимально возможной точностью. Кроме того, желательно

проводить эксперимент таким образом, чтобы  значения величин l1 и l2  и, соответственно, t1 и t2 как можно больше отличались друг от друга.

7. Проводят необходимые измерения и вычисляют модули кручения и модули сдвига еще для двух-трех материалов.

8. Сравнивают полученные значения модуля сдвига с табличными значениями и делают вывод о точности проделанных измерений.

ИЗУЧЕНИЕ   ДЕФОРМАЦИИ  РАСТЯЖЕНИЯ

Цель работы

   Изучение зависимости величины деформации твердого тела от напряжения при деформации растяжения.

Идея эксперимента

   В эксперименте подвергается растяжению металлическая проволока. Точное измерение величины деформации в зависимости от нагрузки позволяет установить основные закономерности и характеристики деформации растяжения.

Теория

   Упругая деформация твердых тел описывается законом Гука

                                                               ,                                                                 (14.1)

где s = F/S – нормальное напряжение (отношение силы F, приложенной перпендику-

лярно поперечному сечению образца, к площади S  этого сечения), e = Dl/l0 – относительная деформация (отношение удлинения Dl к первоначальной длине l0 образца), Е – модуль упругости (модуль Юнга). Заметим, что s численно равно энергии, приходящейся на 1м3 деформируемого материала.

   Модуль Юнга характеризует упругие свойства твердых тел при деформации растяжения – сжатия. Он численно равен величине напряжения, которое вызывает изменение длины образца вдвое, если деформация при этом остается упругой. С другой стороны, модуль Юнга можно понимать как величину, численно равную объемной энергии деформации при удвоении размеров образца.

   Закон Гука справедлив лишь для идеально упругих тел. Для реальных же тел наблюдаются различные отклонения от этого закона. На рис. 30 представлена характерная диаграмма растяжения твердого тела. Строгая пропорциональность между относительным удлинением и напряжением наблюдается лишь при сравнительно небольших нагрузках, на участке 0А.

   Максимальное напряжение sп, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности.

   Максимальное напряжение sуп, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации (относительная остаточная деформация не превышает 0,1 %), называется пределом упругости. Ему соответствует точка В на диаграмме деформации.

   Предел текучести – это напряжение, которое характеризует такое состояние деформируемого тела, после которого удлинение возрастает без увеличения действующей силы (горизонтальный участок ВС).

   Пределом прочностиsпр (точка D) называется напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой телом перед разрушением.

Отклонения от закона Гука в области напряжений, не превосходящих предела упругости, объединяются общим понятием неупругости. Проявлением неупругости являются, например, упругие последействия и упругий гистерезис, подлежащий экспериментальному наблюдению в данной работе.

   Явление упругого последействия заключается в изменении со временем деформационного состояния при неизменной величине напряжения. В этом случае после приложения нагрузки к образцу деформация возникает не мгновенно, а продолжает увеличиваться с течением времени (прямое упругое последействие); также и после снятия нагрузки: деформация образца исчезает не мгновенно, а продолжает уменьшаться во времени (обратное упругое последействие).

   Площади, ограниченные кривой нагрузки и двумя абсциссами, соответствующими двум значениям относительной деформации, пропорциональны работе А внешних сил или, что тоже, потенциальной энергии Еп при упругом деформировании образца. Это следует из расчета элемента площади DQ под кривой

    ,                                 (14.2)

где с – коэффициент пропорциональности, DW1 – объемная плотность энергии деформации образца. Коэффициент пропорциональности с равен объемной плотности энергии деформации, приходящейся на единицу площади, ограниченной графиком, и имеет размерность Дж/клетку.

   Площадь под всей кривой нагрузки соответствует объемная плотность энергии W1, а площади под всей кривой разгрузки – объемная плотность энергии W2.

   Если к образцу прикладывать сначала возрастающее напряжение, а затем производить разгрузку, то на графике s = f(e) кривая нагрузки не будет совпадать с ветвью разгрузки. При полном цикле нагрузки – разгрузки график образует фигуру, называемую петлей гистерезиса. Площади петли пропорциональна объемная плотность поглощенной энергии упругости DW, перешедшей в тепло.

   Явления необратимого превращения в теплоту механической энергии (иначе, диссипация энергии) в процессах деформирования твердых тел связано с так называемым внутренним трением.

   Для количественной оценки внутреннего трения материалов часто пользуются относительной величиной – коэффициентом поглощения

                                                           y = DW/W1 ,                                                             (14.3)

где W1 –  энергия упругой деформации при нагрузке образца.

   Явления неупругости присущи всем реальным твердым телам, как полимерным, так и низкомолекулярным, в том числе металлам.

   Явления неупругости металлов и других кристаллических тел связаны с дефектами кристаллической  решетки: различными точечными дефектами, дислокациями и вызванными ими неоднородностями структуры и, как следствие, наличием внутренних механических микронапряжений в твердых телах. Неупругость полимерных материалов обусловлена изменением структуры макромолекул под действием механических напряжений.

Экспериментальная установка

  Установка для наблюдения деформации растяжения представлена на рис.31 Она состоит из массивного основания 1 с верхним 2 и нижним 3 кронштейнами. Испытуемый образец – проволока  4, закрепляется с  помощью винтовых зажимов 5 и 6.   К  нижнему зажиму  прикреплена  платформа  7, на  которую для создания нагрузки накладываются

грузы. Для удобства закрепления проволоки верхний зажим сделан подвижным и может фиксироваться с помощью винта 8. Для того чтобы верхний кронштейн во время измерений находился под постоянной нагрузкой и имел постоянный изгиб, к нему на тягах 9 подвешена горизонтальная планка 10. На неё перед измерениями навешиваются все грузы, которые затем перекладываются на платформу. Прибор устанавливается (обычно крепится к стене) в вертикальном положении.

  Для точного измерения величины деформации в работе применяется катетометр.

   Катетометр предназначен для измерения вертикальных отрезков, расположенных на расстояниях несколько десятков сантиметров от объектива зрительной трубы катетометра.

   Катетометр (рис. 32) состоит из вертикального штатива с колонкой 1 на треножнике, измерительной каретки 2, зрительной трубы 3 и отсчетного микроскопа 4. Подъемными винтами 5 треножника колонку можно устанавливать по круглому уровню строго вертикально. С помощью ручек 6 колонку можно поворачивать вокруг вертикальной оси. Измерительная каретка 2, несущая зрительную трубу 3 и отсчетный микроскоп 4, перемещается по колонке на роликах. Грубое перемещение каретки по вертикали осуществляется от руки при открепленном винте 7, точное – с помощью микрометрического винта 8 при закрепленном винте 7.

   Зрительная труба 3 укреплена на каретке. Фокусировка трубы на выбранную точку объекта производится вращением маховичка 9. Сбоку на тубусе имеется цилиндрический уровень, ось которого параллельна визирной оси трубы. Уровень устанавливается в горизонтальном положении микрометрическим винтом путем совмещения изображения концов пузырька, рассматриваемого через окуляр зрительной трубы.  При совмещении половинок пузырька визирная ось зрительной трубы принимает строго горизонтальное положение.

   Измерительная система катетометра состоит из зрительной трубы и отсчетного микроскопа с осветительной системой. В фокальной плоскости окуляра отсчетного микроскопа установлена масштабная сетка (рис. 34), на которую специальным оптическим устройством проектируется миллиметровая шкала. Измерение расстояний между двумя точками производится с помощью зрительной трубы и  отсчетного  микро-

скопа путем сравнения измеряемой длины с миллиметровой шкалой.

   Перемещая каретку со зрительной трубой и отсчетным микроскопом по колонке вдоль миллиметровой шкалы а также вращая колонку вокруг вертикальной оси, устанавливают трубу на выбранные точки объекта; отсчеты снимают через окуляр отсчетного микроскопа по шкале и масштабной сетке. Длины вертикальных отрезков определяют как разность соответствующих отсчетов по шкале.

   Катетометр снабжен трансформатором для включения в сеть осветительной части отсчетного микроскопа.

Методика измерений

   С помощью подъемных винтов треножника по круглому уровню ось колонки устанавливается строго вертикально.

   Осветительная часть отсчетного микроскопа включается через трансформатор в сеть.

   Винт 7 открепляется, измерительная каретка поднимается на уровень выбранной точки объекта. Труба грубо устанавливается на выбранную точку. Окуляр зрительной трубы путем вращения устанавливается на резкое изображения сетки; фокусировка трубы на резкое изображение объекта производится вращением маховичка 9. После этого с помощью винта 8 при закрепленном винте 7 производится точная наводка трубы на выбранную точку объекта.

   Сетка зрительной трубы имеет перекрестие (рис. 33), правый горизонтальный штрих которого выполнен в виде углового биссектора. При наводке трубы выбранная точка объекта должна располагаться в правой половине углового биссектора на уровне горизонтального штриха. При этом необходимо следить за цилиндрическим уровнем, изображения пузырьков которого должны образовать дугу.

   После этого снимают первый отсчет по масштабной сетке. В поле зрения микроскопа одновременно видны изображения двух штрихов миллиметровой шкалы, обозначенные крупными цифрами, и масштабная сетка (рис. 34). Производство отсчета легко уяснить из следующего примера. На рис.34 большой штрих располагается на масштабной сетке. Целое число миллиметров дает большая цифра, соответствующая этому штриху; десятые доли миллиметра дает ближайшая цифра слева над штрихом. Отсчет сотых и тысячных долей миллиметра производится в горизонтальном направлении сетки там, где

миллиметровый штрих шкалы пересекает наклонные светлые линии сетки. На  рисунке

миллиметровый штрих 162 находится под цифрой 2 и между четвертым  и  пятым деле-

нием сетки. Отсчет будет 162,244 мм. Тысячные доли миллиметра отсчитываются на глаз по положению штриха между вертикальными делениями сетки.

Проведение эксперимента

Измерения

1. Для эксперимента берется один образец – проволока из меди, алюминия, стали и т. п. (по указанию преподавателя). Проволоку  хорошо выпрямляют и вытягивают, на ней не должно быть надломов и скруток. Длина образца 105 – 110 см. Концы проволоки прочно закрепляют с помощью винтов в верхнем и нижнем зажиме экспериментальной установки. Отпускают винт 8 и, поднимая верхний зажим, хорошо натягивают проволоку.  (При этом не надо прилагать больших усилий, от которых уже может произойти значительная деформация образца.) В этом положении зажим фиксируется винтом 8.

2. На нижнем конце проволоки вблизи зажима белой краской наносят кольцевую метку.

3. Масштабной линейкой измеряют начальную длину l0 проволоки от зажима до метки, а микрометром – ее диаметр d. Вычисляют площадь поперечного сечения проволоки S.

4. На планку 10 навешивают все имеющиеся в наборе грузы. К крючку на нижнем зажиме подвешивают платформу для грузов. Так как масса платформы невелика, то растяжение вызванное ее весом, в опыте не учитывается.

5. Готовят к измерениям катетометр. Наводят зрительную трубу катетометра на метку. Делают нулевой отсчет а0. Нулевой и все дальнейшие отсчеты следует делать по какой-нибудь одной, заранее выбранной точке метки, например, по ее верхнему краю.

6. При проведении измерений с одним образцом  ставятся три задачи: определить предел упругости материала, измерить модуль Юнга, получить гистерезис образца. Поэтому  в одном опыте производится и нагрузка, и разгрузка образца. При измерениях необходимо учитывать прямое и обратное последействие, для чего измерения величины деформации следует производить через некоторое время после нагрузки или разгрузки образца. Для того, чтобы во время опыта постоянно вести наблюдение за состоянием образца, измерения, вычисления и построение диаграммы растяжения необходимо вести параллельно.

7. Накладывают на платформу один груз массой 0,5 кг, который снимают с планки 10. От нагрузки проволока удлиняется. Выждав 20-30 секунд, делают первый отсчет а1 по катетометру. Вычисляют величину абсолютной Dl1 = a0 - a1 и относительной e1 =Dl1 /l0 деформации. Напряжение, приложенное к образцу, рассчитывают по формуле: s = mg/S, где m –  масса груза.

8. Кладут на платформу два груза. Измеряют положение метки а2. Вычисляют величину абсолютной и относительной деформации: Dl2 = a0 - a2, e2 =Dl2 /l0 . Полученные данные откладывают на графике.

9. Продолжают измерения, постепенно увеличивая нагрузку. 

10. Для того чтобы получить  наглядный гистерезис, увеличивают нагрузку до тех пор, пока диаграмма растяжения станет явно не прямолинейной и  начнет выходить на участок текучести. После чего по одному снимают грузы с платформы, навешивая их на планку, и делают отсчеты положения метки при разгрузке b. Данные по разгрузке образца заносят в таблицу 11.2 отчета.

Обработка результатов

1. По полученным данным в одних координатных осях строят графики зависимостей

s = f1(e1)  при нагрузке образца и его разгрузке s = f2(e2).

2. Для нахождения пределов пропорциональности и упругости поступают следующим образом.  Экстраполируют прямолинейный  начальный участок  диаграммы нагрузки  в сторону увеличения относительной деформации (рис. 30) Точка, в  которой  диаграмма начинает отклоняться от прямой, соответствует пределу пропорциональности sп. Для нахождения предела упругости необходимы очень точные измерения, которые трудно провести в студенческой лаборатории. Поэтому в данной работе будем условно считать, что предел упругости расположен там, где отклонение диаграммы от прямолинейного хода составит 10 %. Следовательно, эту точку на диаграмме растяжения следует отметить там, где ab/0b=0,1 (рис. 30).

3. По углу наклона прямолинейного начального участка диаграммы нагрузки определяют модуль Юнга материала: Е = Ds/De. Сравнивают полученное значение с табличным значением ( Приложение 4).

4. Рассчитывают величины энергий  деформации при нагрузке W1 и разгрузке W2 образца. Значение энергий определяют планиметрически, т.е. измеряя площади под кривой нагрузки и разгрузки. Подсчет площади ведут «по клеточкам», полученный результат умножают на  масштаб по оси x и y. При использовании диаграммы s = f(e) значение энергии деформации получается в расчете на 1м3 материала образца. Рассчитывают величину объемной плотности поглощенной энергии – площадь петли гистерезиса: DW=W1 - W2.

5. По формуле (14.2) рассчитывают коэффициент поглощения энергии.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Формулы для вычисления  погрешностей некоторых функций

Приложение 2. Моменты инерции тел, имеющих простую геометрическую форму

Приложение 3 . Упругие характеристики некоторых металлов и сплавов

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10