Меню
Поиск



рефераты скачать Оптимизационные модели межотраслевого баланса

Введем  дополнительные  обозначения:  X–  оптимальный  план  модели  (каждая  его  компонента  есть  интенсивность  применения  какого-то  «лучшего»  способа  производства);  A–  матрица  коэффи­циентов  материальных  затрат,  составленная  из  способов,  которые  вошли  в  оптимальный  план.

Матрица  А*  аналогична  матрице  А  межотраслевого  баланса  с  той  лишь  разницей,  что  вместо  средневзвешенных  коэффициентов  из  разных  способов  в  ней  представлены  коэффициенты  только  «луч­ших»  способов.  Матрицы  A*  и  (Е  –  А*)  обладают  теми  же  экономико-математическими  свойствами,  что  и  матрицы  межотраслевого  ба­ланса.  Среди  этих  свойств  отметим,  в  частности,  существование  матрицы  (Е  –  А*)–1  ≥  0.  Элементы  матрицы  (Е  –  А*)–1    являются  коэффициентами  полных  потребностей  в  выпуске  продукции  для  получения  единицы  конечной  продукции  в  оптимальном  плане.  Оптимальный  план  удовлетворяет  следующей  системе  уравнений:

(E  –  AX*  =  Y0  или  X*  =  (E  –  A)–1Y0.

Теорема  2.  Базис  оптимального  плана,  а  следовательно,  и  выбор  «лучших»  способов  остаются  постоянными  при  любых  из­менениях  положительного  вектора  Y0.

Доказательство.  Для  того  чтобы  базис  оптимального  плана  оставался  неизменным  при  переменном  векторе  Y0,  доста­точно  –  в  соответствии  с  (15),–  чтобы  выполнялось  условие

(E  –  A*)–1Y0  ≥  0.

Поскольку  матрица  (E  –  A*)–1  ≥  0,  условие  (E  –  A*)–1Y0  ≥  0  выполняется  всегда  при  любом  Y0  ≥  0  и  тем  более  при  Y0  >  0.

Пусть  для  некоторого  Y0  >  0  получено  решение  X*.  Базис  по­лученного  решения  (Е  –  А*)  остается  неизменным  и  тогда,  когда  вектор  Y0  будет  изменяться  любым  образом  в  положительной  об­ласти  (0  <  Y0  <  +∞).  Если  базис  оптимального  плана  –  не­разложимая  матрица,  то  теорема  распространяется  на  случай  Y0  ≥  0.

Это  означает,  что  вычислив  матрицу  (E  –  A*)–1  для  одного  ва­рианта  конечной  продукции,  можно  неоднократно  использовать  ее  для  расчета  производственной  программы  при  других  вариантах  конечной  продукции.

Из  задачи,  двойственной  к  (32),  следует,  что  для  способов,  вошедших  в  оптимальный  план  ,  выполняются  условия

Поэтому  вектор  оптимальных  оценок  продукции  V* = (),  характеризующих  минимально  необходимый  прирост  трудовых  затрат  в  народном  хозяйстве  при  увеличении  конечной  продукции,  определяется  решением  системы  уравнений

V*  =  V*  A*  +  t*                 или             V*  =  t*  (A  –  V*)–1.

Видим,  что  оптимальные  оценки  продукции  в  рассматриваемой  модели  равны  коэффициентам  полных  трудовых  затрат,  исчислен­ным  по  лучшим  производственным  способам  для  каждого  вида  про­дукции.

Следствие.  Оптимальные  оценки    не  изменяются  при  любых  изменениях  положительного  вектора  Y0.

При  неизменных  коэффициентах  производственных  способов  оптимальные  оценки  меняются  только  при  изменении  базиса  оп­тимального  плана.  Теорема  2  доказывает,  что  в  модели  (32)  базис  оптимального  плана  остается  постоянным  при  любых  изменениях  вектора  Y0  в  положительной  области,  следовательно,  не  изме­няются  и  оптимальные  оценки[1].

Постоянство  оценок    облегчает  их  использование  в  различных  планово-экономических  расчетах,  в  частности,  при  корректировке  вектора  Y0.

Второй  вариант  модели  (максимизация  конечной  продукции  в  заданном  ассортименте  при  ограниченных  трудовых  ресурсах).

Рассмотрим  другую  возможную  постановку  межотраслевой  мо­дели  с  производственными  способами:  произвести  максимальное  число  комплектов  конечной  продукции  при  ограниченных  трудо­вых  ресурсах: 

  (33)

Нетрудно  установить,  что  модели  (32)  и  (33)  являются  взаимным.  В  первой  модели  фиксируются    и  минимизируются  затраты  труда,  а  во  второй  модели  максимизи­руются  z  при  фиксированном  ресурсе  труда. 

Отсюда  следует,  что  если  z0  =  max  z  или  ,  то  в

соответствии  с  теоремой  взаимности  оптимальные  планы  задач  совпадают,  трудовые  ре­сурсы  используются  полностью,  а  оптимальные  оценки  продукции  пропорциональны.  Сохраняются  и  все  свойства  оптимального  плана  и  оптимальных  оценок  модели  (32):

·     в  оптимальном  плане  производятся  все  продукты  и  каждый  про­дукт  производится  только  одним  способом  (для  этого  должно  вы­полняться  одно  из  условий:  либо  матрица  способов  неразло­жима,  либо  все  );

·     выбор  лучших  способов  и  оптимальные  оценки  не  зависят  от  заданий  по  конечной  продукции  (ассортиментных  коэффициентов);

·     не  производится  «излишков»  конечной  продукции.

Отметим  важное  новое  свойство:  набор  производственных  спо­собов  в  оптимальном  плане  и  значения  оптимальных  оценок  не  зависят  от  величины  имеющегося  ресурса.  Действительно,  по­скольку  L  есть  единственная  отличная  от  нуля  компонента  вектора  ограничений  задачи,  то  изменение  L  означает  растяжение  или  сжа­тие  вектора  ограничений.  Но  такое  преобразование  не  влияет  на  базис  оптимального  плана.

Вектор  объемов  производства  выражается  через  матрицы  ко­эффициентов  полных  затрат,  сформированных  из  «лучших»  спосо­бов:

Х  =  (Е  –  A*)–1αz  β*z,      (34)

где  β*  =  (Е  –  А*)–1α  –  вектор  потребностей  в  выпуске  продукции  для  получения  одного  комплекта  конечной  продукции.

Максимальное  число    комплектов  z*    находится  из    равенства  t*(E  –    A*)–1αz  τ*z  =  L,  откуда

  (35)

где  τ*  =  t(Е  –  А*)–1α  –  полные  трудовые  затраты  для  получе­ния  одного  комплекта  конечной  продукции.

Подстановка  (35)  в  (34)  дает

    (36)

т.  е.  максимальное  число  комплектов  и  объемы  производства  прямо  пропорциональны  количеству  имеющихся  трудовых  ресурсов.  Оптимальная  оценка  трудовых  ресурсов    является  постоянной  величиной.

В  рассматриваемой  модели  условия  максимизации  конечной  продукции  могут  быть  сформулированы  так  же,  как  в  моделях  (1)(24)(27).  С  учетом  данного  уточнения  приходим  к  модели:

  (37)

Отмеченные  выше  свойства  оптимального  плана  и  оптимальных  оценок  полностью  сохраняются.  Однако  решение  задачи  (37)  су­ществует  не  всегда,  так  как  наличных  трудовых  ресурсов  может  быть  недостаточно  для  выполнения  чрезмерно  высоких  заданий  qi.

Варианты  модели  с  различными  условиями  максимизации  конечной  продукции.

Из  теоремы  2  следует,  что  изменение  объемов  и  структуры  ко­нечной  продукции  (при  сохранении  Y  ≥  0)  не  оказывает  никакого  влияния  на  выбор  лучших  производственных  способов.  Это  позво­ляет  расчленить  процесс  оптимизационных  расчетов  и  анализа  оптимальных  решений  на  три  стадии:

·     нахождение  лучших  производственных  способов  и  минималь­ных  затрат  труда  при  заданном  векторе  конечной  продукции  на  основе  модели  (32);

·     определение  объемов  и  структуры  переменной  части  конечной  продукции  (можно  использовать  различные  критерии  и  условия  максимизации);

·     расчет  сбалансированного  плана  производства,  обеспечиваю­щего  выпуск  всей  конечной  продукции  при  ограниченных  трудовых  ресурсах.

В  качестве  примера  рассмотрим  модель,  включающую  условия  максимизации  переменной  части  конечной  продукции  в  виде  ЦФП:

Решив  задачу  (32)  с  Y0  =  Qопределим  матрицу  А*,  а  также  вектор  оптимальных  оценок  продукции,  равных  коэффициентам  полных  затрат,  исчисленным  по  лучшим  производственным  спосо­бам,  V*  =  Т*,  а  также  потребности  в  трудовых  ресурсах  для  обес­печения  постоянной  части  конечной  продукции  T*Q  и  остаток  тру­довых  ресурсов  для  выпуска  переменной  части  конечной  продукции  .

На  второй  стадии  решается  задача  максимизации  ЦФП  при  ограниченных  трудовых  ресурсах:

  (38)

Решение  задачи  (38)  дает  вектор  .

Следует  обратить  внимание  на  интересный  результат,  характе­ризующий  соотношения  предельных  полезных  эффектов  продукции  и  затрат  труда  на  ее  производство.  В  соответствии  с  условиями  Куна  –  Таккера

  (39)

Таким  образом,  в  оптимальном  плане  рассматриваемой  модели  предельные  полезные  эффекты  используемой  конечной  продукции  пропорциональны  общественно  необходимым  затратам  труда  на  производство  продукции.  Оптимальные  оценки  продукции  в  модели  (32)  равны  коэффициентам  полных  трудовых  затрат,  исчисленным  по  лучшим  производственным  способам,  и  являются  постоянными  величинами.  Они  оказывают  влияние  на  выбор  оп­тимальной  структуры  конечной  продукции  (вектора  );  эта  струк­тура  «подбирается»  так,  чтобы  отношения  (39)  выровнялись  по  всем  используемым  видам  конечной  продукции.  Но  выбор  струк­туры  конечной  продукции  не  оказывает  никакого  влияния  на  зна­чения  оптимальных  оценок  продукции.

На  третьей  стадии  расчетов  по  модели  находим  вектор  объемов  производства  он  будет  сбалансирован  с  имеющимися  трудовыми  ресурсами.

Аналогичным  образом  проводятся  расчеты  по  модели,  вклю­чающей  другие  возможные  критерии  и  условия  максимизации  ко­нечной  продукции.

Таким  образом,  анализировавшиеся  в  данном  параграфе  опти­мизационные  межотраслевые  модели  характеризуются  двумя  спе­цифическими  свойствами.  Во-первых,  в  оптимальный  план  вклю­чается  только  по  одному  способу  для  каждого  производимого  вида  продукции  независимо  от  того,  какое  количество  способов  вводится  в  условия  задачи.  Во-вторых,  объемы  и  структура  используемой  конечной  продукции  не  оказывают  никакого  влияния  на  выбор  производственных  способов  и  определение  общественно  необходи­мых  затрат  на  производство  продукции.

Хотя  выявленные  свойства  создают  значительные  удобства  при  проведении  оптимизационных  расчетов  и  анализе  оптимальных  решений,  они  не  являются  адекватным  отражением  свойств  реаль­ной  экономики.  Данные  свойства  моделей  обусловлены  тем,  что  выбор  производственных  способов  осуществляется  с  позиций  наи­более  эффективного  использования  только  одного  ограниченного  ресурса  –  труда.  Решения,  получаемые  с  помощью  рассматривае­мых  моделей,  должны  интерпретироваться  как  условно-оптималь­ные,  т.  е.  получаемые  в  предположении,  что  трудовые  ресурсы  яв­ляются  единственным  дефицитным  ресурсом  в  народном  хозяйстве.  Эти  условно-оптимальные  решения  должны  затем  корректироваться  с  учетом  использования  других  ограниченных  ресурсов.


§4. РАСШИРЕННЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ  МОДЕЛИ

Проведенный  в  §  2,  3  анализ  упрощенных  оптимизационных  меж­отраслевых  моделей  позволяет  сделать  важный  вывод  о  правилах  построения  оптимизационных  моделей  народного  хозяйства.  Одностороннее  развитие  модели  (например,  только  увеличение  числа  учитываемых  ресурсов  или  только,  увеличение  числа  включаемых  в  модель  производственных  способов)  оказывается  малорезульта­тивным,  так  как  значительная  часть  вводимой  в  модель  информации  не  оказывает  влияния  на  оптимальное  решение.  Очевидно,  кон­струкция  модели  должна  быть  «сбалансирована».

С  учетом  этого  вывода  дополним  условия  моделей  с  производст­венными  способами  (32)(37)  ограничениями  по  ряду  невос­производимых  ресурсов,  обозначая   –  затраты  ресурса  s  на  производство  единицы  продукции  j  способом  ψj.  Получим  пару  взаимных  оптимизационных  моделей.

Первая  из  них  (минимизация  затрат  труда  на  производство  за­данной  конечной  продукции)  является  развитием  модели  (32):

  (40)

Вторая  модель  (максимизация  конечной  продукции  при  ограни­ченных  ресурсах)  является  обобщением  модели  (27)  (с  ограниче­ниями  по  ресурсам,  но  только  с  одним  производственным  способом  по  каждому  продукту)  и  модели  (37)  (с  несколькими  производст­венными  способами,  но  только  с  одним  ограниченным  ресурсом):

  (41)

Модель  (41)  отличается  от  общей  линейной  оптимизационной  модели  (1)  только  структурой  производственных  способов:  в  каж­дом  способе  выпускается  по  одному  виду  продукции.

Из  специфических  свойств  простейших  моделей  с  производст­венными  способами  в  моделях  (40)  и  (41)  сохраняется  только  одно:  в  оптимальном  плане  все  соотношения  производства  и  рас­пределения  продукции  выполняются  как  строгие  равенства,  т.  е.  излишки  конечной  продукции  не  производятся.

В  оптимальный  план  моделей  (40)  и  (41)  могут  входить  не­сколько  способов  по  каждому  продукту.  Если  оптимальный  план  единственный,  то  число  дополнительно  используемых  способов  (сверх  п)  не  может  превышать  числа  учитываемых  ресурсов  (кроме  трудовых  ресурсов).  Например,  если  в  условия  задачи  дополни­тельно  включается  ограничение  по  одному  ресурсу,  то  лишь  один  продукт  может  производиться  двумя  способами,  а  в  производстве  всех  остальных  продуктов  может  применяться  только  по  одному  способу.  Если  же  в  задачу  включается  несколько  видов  ресурсов,  то  возможности  их  полного  использования  зависят  от  разнообра­зия  производственных  способов,  т.  е.  от  дифференциации  коэффи­циентов  затрат  на  различные  ресурсы  (должны  быть  способы,  раз­личающиеся  соотношениями  коэффициентов  трудоемкости,  фондо­емкости  и  т.  д.).

Набор  способов,  используемых  в  оптимальном  плане,  зависит  от  величин  rs.  При  этом  можно  выявить  связь  с  оптимальным  пла­ном  простейшей  модели.  Увеличение  имеющихся  ресурсов  (кроме  трудовых)  повышает  эффективность  тех  способов,  которые  являются  «лучшими»  в  условиях  простейшей  модели.

В  отличие  от  простейших  моделей  из  §  3  набор  производствен­ных  способов  в  оптимальных  планах  моделей  (40)  и  (41)  зависит  от  условий  по  конечной  продукции.  С  изменением  величин  ,  a  также  при  введении  в  модель  других  критериев  и  условий  максимизации  конечной  продукции  одни  производственные  способы  заменяются  в  оптимальном  плане  другими;  изменяются  также  и  зна­чения  оптимальных  оценок  продукции  и  ресурсов.  Это  означает,  что  в  расширенных  оптимизационных  межотраслевых  моделях  достаточно  полно  отражаются  прямые  и  обратные  связи  сферы  про­изводства  и  сферы  потребления.

Основное  прикладное  назначение  оптимизационных  межотрасле­вых  моделей  типа  (40)(41)  –  расчеты  и  анализ  вариантов  крат­косрочных  (годовых)  планов  развития  народного  хозяйства.  При­менение  для  этой  цели  статических  моделей  оправдано  прежде  всего  потому,  что  для  ближайшего  планового  года  производствен­ные  мощности  (обеспечение  основными  производственными  фон­дами)  почти  полностью  предопределяются  мощностями  на  начало  года  и  состоянием  заделов  капитального  строительства.

Иное  дело  в  перспективном  планировании.  Уже  при  расчетах  на  n-летний  период  необходимо  учитывать,  что  производствен­ные  мощности  (основные  производственные  фонды)  последнего  года  в  значительной  мере  зависят  от  ввода  мощностей  (основных  фондов)  в  плановом  периоде.  Поэтому  просто  фиксировать  размеры  мощ­ностей  (или  основных  фондов)  для  последнего  года  планового  периода  так  же,  как  для  бли­жайшего  планового  года,  невозможно.

Однако  статическая  модель  может  быть  приспособлена  для  рас­четов  вариантов  перспективного  плана.  Для  этого  к  условиям  мо­дели  (40)  или  (41)  для  последнего  года  планового  периода  не­обходимо  добавить  ограничения  по  капиталовложениям,  расходуе­мым  на  прирост  продукции  за  весь  плановый  период,  а  множество  производственных  способов  разделить  на  две  группы:  способы  производства  на  мощностях,  действовавших  на  начало  планового  пе­риода,  и  способы  производства  на  мощностях,  введенных  в  плановом  периоде.

Пусть    –  объем  производства  продукции  j  способом  ψj,  по­лучаемый  в  последнем  году  с  производственных  мощностей,  дейст­вовавших  на  начало  планового  периода;

  –  объем  производства  продукции  j  способом  ψj,  получае­мый  в  последнем  году  с  производственных  мощностей,  введенных  в  плановом  периоде;

  –  максимально  возможный  объем  производства  продук­ции  j  способом  ψj,  который  может  быть  получен  в  последнем  году  с  производственных  мощностей,  действовавших  на  начало  плано­вого  периода;

H  –  лимит  производственных  капиталовложений  на  весь  пла­нируемый  период;

  –  коэффициенты  затрат  на  производство  продукции  в  последнем  году  на  мощностях,  действовавших  к  началу  планового  периода;

    –  коэффициенты  затрат  на  производство  продукции  в  последнем  году  на  мощностях,  введенных  в  плановом  периоде;

  –  затраты  капиталовложений  на  прирост  единицы  про­дукции  j  способом  ψj  на  новых  мощностях.

Тогда  условия  статической  модели  для  последнего  года  плано­вого  периода  запишутся  следующим  образом:

  (42)

Данная  модель  представляет  собой  некоторое  усложнение  мо­дели  (41).  Она  может  использоваться  на  предварительных  этапах  разработки  перспективного  плана  и  при  этом  должна  подкреп­ляться  обоснованиями  лимита  производственных  капиталовложе­ний  Н  и  расчетами  динамики  развития  народного  хозяйства  по  промежуточным  годам  планового  периода.

Значение  статических  оптимизационных  межотраслевых  моде­лей  не  ограничивается  тем,  что  они  могут  использоваться  как  са­мостоятельный  инструмент  плановых  расчетов.

Статические  модели  для  отдельных  временных  отрезков  являются  составными  частями  моделей,  объединяющих  условия  развития  народного  хозяйства  за  ряд  лет.  Поэтому  построение  и  анализ  ста­тических  моделей  –  это  неизбежный  этап  разработки  более  слож­ных  динамических  моделей. 
Вывод:

Основная  проблема  экономического  планирования  состоит  в  необходимости  распределить  ограниченное  число  необходимых  ресурсов  каждому  предприятию  (отрасли)  так,  чтобы  они  выполняли  производственные  планы,  и  избегать  возникновения  «узких»  мест  в  экономике.  Таким  образом  теория  межотраслевого  баланса,  выведенная  в  условиях  планово-директивной  экономики  и  предназначенная  для  тотального  государственного  регулирования  экономики,  может  найти  своё  применение  и  в  рыночной  экономике.  Построение  оптимизационных  моделей  межотраслевого  баланса  позволяет  в  условиях  ограниченности  ресурсов  находить  наиболее  эффективные  комбинации  ресурсов  для  максимизации  конечного  продукта.

Литература:

А.Г.Гранберг  «Математические  модели  в  социалистической  экономике»,  Москва  1978.


[1] Задача исчисления оптимальных оценок в рамках рассматриваемой модели относится к тому редкому классу экстремальных задач, оптимальный план которых не зависит от коэффициентов целевой функции.


Страницы: 1, 2, 3




Новости
Мои настройки


   рефераты скачать  Наверх  рефераты скачать  

© 2009 Все права защищены.