, 

откуда

  (19)

Заметим  также,  что  формула  изменения  максимального  числа  комплектов  конечной  продукции  при  включении  вектора  Х2  имеет  вид:

  (20)

Формулы  (19)  и  (20)  справедливы  при  сохранении  базиса  оптимального  плана,  т.  е.  при  условиях

С  помощью  оценок  способов  (18)  можно  изучать  целесообраз­ность  включения  в  условия  народнохозяйственной  задачи  новых  способов.  Новый  способ  φ  будет  эффективным  (т.  е.  может  войти  в  оптимальный  план),  если  Δφ  ≥  0.  Это  условие  может  быть  использовано  для  проектирования  новых  эффективных  производст­венных  способов.

Рассмотренные  направления  и  методы  анализа  оптимального  плана  являются  универсальными  для  всех  линейных  оптимиза­ционных  моделей.  Однако  в  более  частных  моделях  экономико-математический  анализ  может  выявлять  и  специфические  свойства  оптимальных  решений.

§2.  ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МОДЕЛИ  НА  ОСНОВЕ  МАТРИЦЫ  МЕЖОТРАСЛЕВОГО  БАЛАНСА

Общая  линейная  оптимизационная  модель  построена  на  основе  матрицы  таких  производственных  способов,  что  каждый  из  них  мо­жет  выпускать  несколько  видов  продукции,  каждый  вид  продукции  может  выпускаться  несколькими  способами.

Далее  мы  рассмотрим  более  частные  оптимизационные  модели,  сохраняющие  некоторые  специфические  допущения  модели  межотраслевого  баланса:  сначала  –  модели,  в  которых  каждый  способ  выпускает  только  один  продукт  и  каждый  продукт  выпускается  только  одним  способом,  а  затем  –  модели,  в  ко­торых  сохраняется  только  первое  из  указанных  допущений.  Такая  последовательность  анализа  моделей  выбрана  для  того,  чтобы  «перекинуть  мост»  между  моделями  межотраслевого  баланса  и  оптимизационными  моделями  народного  хозяйства  и  проследить  изменение  свойств  решений  (сбалансированных  и  оптимальных)  при  изменении  предпосылок  модели  и  включении  в  нее  новых  ус­ловий.

Модель  межотраслевого  баланса  как  частный  случай  оптимизационных  моделей

Оптимизационные  модели  по  сравнению  с  балансовыми  пред­ставляют  собой  более  совершенный  тип  моделей  социалистической  экономики.  Однако  было  бы  неправильно  противопоставлять  их  друг  другу.  Во-первых,  основные  условия  балансовых  моделей  обязательно  включаются  в  оптимизационные  модели.  Во-вторых,  балансовые  модели  могут  интерпретироваться  и  исследоваться  как  частный  случай  оптимизационных  моделей.

Попытаемся  сформулировать  модель  межотраслевого  баланса  на  языке  оптимизационных  задач.  Рассмотрим  систему  уравнений  межотраслевого  баланса  производства  и  распределения  продукции  совместно  с  ограничением  по  трудовым  ресурсам  производствен­ной  сферы:

  (21)

Основная  задача  плановых  расчетов  с  помощью  этой  модели  состоит  в  том,  чтобы  при  заданном  векторе  Y0  =  ()  и  имеющихся  трудовых  ресурсах  L  найти  вектор  необходимых  объемов  произ­водства  X  =  (xj).  Покажем,  что  эту  задачу  можно  представить  в  виде  задачи  линейного  программирования:

    (22)

Эта  задача  отличается  от  (21)  только  тем,  что  допускается  полу­чение  конечной  продукции  сверх  заданных  минимальных  объемов,  а  затраты  трудовых  ресурсов  минимизируются.  Очевидно,  что  ре­альным  экономическим  условиям  отвечают  только  такие  решения  X*  =  (x*),  при  которых  .

Задаче  (22)  соответствует  двойственная  задача,    с  помощью  которой  находятся  оптимальные  оценки  продукции  :

  (23)

Оптимальный  план  X*  задачи  (22)  характеризуется  следую­щими  свойствами:

·     он  единственный;

·     если  Y0  >  0  (или  Y0  ≥  0  и  А  –  неразложимая  матрица),  то  Х*  >  0;

·     балансы  производства  и  распределения  продукции  выполняются  строго  как  равенства,  т.  е.  излишки  конечной  продукции  не  про­изводятся;

·     оптимальный  план  X*  не  зависит  от  коэффициентов  целевой  функции  tJ  ≥  0.                                                                       

На  рис.  1  видно,  что  оптимальный  план  всегда  является  вер­шиной  «клюва»  при  любых  допустимых  наклонах  целевой  функции.  Обе  задачи  (и  прямая,  и  двойственная)  всегда  имеют  единственное  решение,  если  матрица  А  продуктивна  и  Y0  ≥  0.  При  этом  реше­ние  прямой  оптимизационной  задачи  сводится  к  решению  системы  уравнений    и  поэтому  оно  не  зависит  от  значений  коэффициентов  минимизируемой  функции.  Решение  двойственной  задачи  находится  из  системы  урав­нений    и  поэтому  оно  не  зависит  от  коэффициентов  минимизируемой  функции.  При  этом  оптимальные  оценки  продук­ции  равны  коэффициентам  полных  трудовых  затрат.

Равенство      функционалов      прямой  и  двойственной  задачи    имеет  место  при  любых      положительных      значениях    tj   и  .  Оно  означает,  что  суммарная  оценка  всей  конечной  продукции  равна  сумме  трудовых  затрат  в  народном  хозяйстве.

Оптимизационная  модель  межотраслевого  баланса  продукции  и  производственных  мощностей.

При  анализе  возможностей  использования  модели  межотрасле­вого  баланса  в  планировании  отмечалось,  что  при  крат­косрочном  планировании  наиболее  существенными  ограничениями  роста  производства  являются  наличные  производственные  мощности.                                                                                                                                                                                                                                                

Решение  модели  должно  удовлетворять  условиям  xj  ≤  Nj,  где  Nj  –  максимально  возможный  выход  продукции  j  с  производст­венных  мощностей  планируемого  года.  Так  же,  как  и  в  §  1,  вклю­чим  в  модель  условия  оптимизации  конечной  продукции  (27),  обозначая  вектор  ассортиментных  коэффициентов  прироста  конеч­ной  продукции,  а  вектор  заданных  объемов  конечной  про­дукции  Q  =  (qi).

В  векторно-матричных  обозначениях  модель  имеет  вид:,

  (24)

Решение  модели  существует,  если  значения  компонент  вектора  Q  заданы  не  слишком  большими.  Оптимальный  план  обращает  пер­вую  группу  условий  строго  в  равенства  (невыгодно  производить  сверхкомплектные  излишки  конечной  продукции).  Поэтому  в  даль­нейшем  анализе  исходим  из  того,  что  (Е  –  А)  X  –   =  Q,  откуда

  (25)

Поскольку  ,  то  при    условие  Х  ≥  0  всегда  выполняется.  Вследствие  этого  задача  сокращается:

Вектор    представляет  собой  коэффициенты  пол­ных  потребностей  в  продукции  для  получения  одного  комплекта  конечной  продукции;    есть  вектор  макси­мально  возможных  объемов  продукции  для  получения  перемен­ной  части  конечной  продукции.  Очевидно,  что

  (26)

Определив    ,    находим      X*  =  β+  (E  –  A)–1Q.

Таким  образом,    определяется  «узким»  местом  в  системе  про­изводственных  мощностей.  Как  правило,  мощность  только  одного  вида  продукции  будет  использована  полностью.  Оптимальная  оценка  мощности  по  этому  виду  продукции  (k)  равна    .

Выявление  дефицитной  мощности  служит  сигналом  для  ее  максимального  расширения  в  планируемом  году  за  счет  концентрации  строительства  на  пусковых  объектах,  дополнительных  поставок  оборудования,  изменения  специализации  соответствующих  пред­приятий  и  режима  их  работы  (сменности)  и  т.  д.

Для  определения  программы  первоочередных  мероприятий  по  расширению  производственных  мощностей  целесообразно  упорядочить  мощности  по  их  дефицитности.                                                                                         

Для  каждого  вида  мощности  рассчитаем  показатель  ,  характеризующий  максимальное  число  комплектов  конечной  про­дукции,  которое  можно  получить  с  мощности  вида  j  при  условии  неограниченности  других  мощностей.  Упорядочив  ряд  чисел  ,  начиная      с  ,      получим      последовательность  мощностей,  упорядоченную  по  степени  их  дефицитности.  При  новой  нумерации  разности    покажут  прирост  числа  комплектов  ко­нечной  продукции  после  «расшивки»  k-го  «узкого»  места  в  системе  производственных  мощностей.

По  модели  (24)  можно  проводить  многовариантные  расчеты,  показывающие  влияние  изменения  параметров  аij,,  Nj  на  объемы  производства  и  конечной  продукции.  В  результате  таких  расчетов  выявляется  группа  устойчиво  дефицитных  мощностей,  на  расши­рение  которых  ресурсы  должны  направляться  в  первую  очередь.  Важным  направлением  развития  модели  является  непосредственный  учет  в  ней  элементов  случайности  и  неопределенности.  Разработана  и  экспериментально  апробирована  модель,  в  которой  про­изводственные  мощности  Ni  рассматриваются  как  случайные  не­зависимые  величины.

Модели  с  ограничениями  по  общим  ресурсам.

Рассмотрим  модель,  в  которой  балансы  производства  и  распре­деления  продукции  дополняются  ограничениями  по  общим  невос­производимым  ресурсам:

  (27) 

Подставляя  (25)  в  ограничения  по  общим  ресурсам,  получаем

или 

  (28)

где    =  (s)  =  (E  –  А)  –1  –  вектор  полных  затрат  ресурсов  на  один  комплект  прироста  конечной  продукции,    –  вектор  ресурсов,  которые  могут  использоваться  для  получения  переменной  части  конечной  продукции.

Из  (28)  следует:

  (29)

Максимальное  число  комплектов  достигается,  как  правило,  при  полном  использовании  только  одного  ресурса  (k).  Тогда  только  оценка  этого  ресурса  будет  положительна:      ,  a  оптимальные  оценки  всех  видов  продукции  будут  пропорциональны  коэффициентам  полных  затрат  дефицитного  ресурса:  .  Если  же  в  оптимальном  плане  используются  полностью  несколько  ресур­сов,  то  система  оптимальных  оценок  ресурсов  и  продуктов  будет  неединственной.

Полное  использование  только  одного  вида  ресурсов  (или  нали­чие  только  одного  «узкого»  места)  как  типичное  свойство  оптималь­ного  решения  не  обязательно  связано  с  условиями  максимизации  конечной  продукции  в  заданном  ассортименте.  Для  сравнения  рассмотрим  модель,  в  которой  условия  максимизации  переменной  ча­сти  конечной  продукции  заданы  в  виде  ЦФП:

    (30)

Выражая  X  через  Y,  приходим  к  сокращенной  модели:

  (31)

где  F  =  f  (Е  –  А) –1  –  матрица  коэффициентов  полных  затрат  ресурсов,  .

Оптимальное  решение  этой  модели  всегда  существует  и  является  единственным.  Оптимальный  план  Y*  есть  точка  касания  наибо­лее  удаленной  от  начала  координат  поверхности  безразличия  и  вы­пуклого  многогранника,  образованного  условиями  .  Если  эта  поверхность  безразличия  касается  вершины  многогранника,  то  это  означает  полное  использование  нескольких  ресурсов.  Очевидно,  что  в  случае  применения  ЦФП  вероятность  того,  что  точкой  опти­мума  будет  вершина  многогранника,  выше,  чем  в  случае  приме­нения  ассортиментного  критерия.  Однако  вполне  возможно,  что  максимум  u(Y)  достигается  на  одной  из  граней  многогранника,  т.  е.  при  полном  использовании  только  одного  ресурса.

Таким  образом,  общим  свойством  рассмотренных  в  этом  пара­графе  моделей  является  то,  что  оптимальный  план  чаще  всего  достигается  при  полном  использовании  только  одного  ресурса.  А  это  означает,  что  только  один  вид  ресурсов  влияет  на  формирование  оптимального  решения.  Данное  свойство  не  адекватно  экономиче­ской  реальности;  оно  обусловлено  недостатком  моделей.

В  моделях  (24),  (27),  (30)  почти  отсутствуют  возможности  маневрирования  ресурсами,  имеющими  различную  дефицитность.  По  каждому  виду  продукции  задается  только  один  производствен­ный  способ,  а  поэтому  технология  производства  не  реагирует  на  выявляющиеся  в  процессе  оптимизации  соотношения  наличия  ре­сурсов  и  потребностей  в  них.  Благодаря  корректировке  исходных  данных  на  основе  анализа  оптимальных  решений  этот  недостаток  можно  преодолевать  лишь  отчасти.

Напрашивается  вывод  о  том,  что  оптимизационные  модели  на­родного  хозяйства  должны  включать  условия  выбора  между  раз­личными  способами-  производства  одноименной  продукции.

§3.  ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ  МОДЕЛИ  С  ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ  СПОСОБАМИ

Первый  вариант  модели  (минимизация  затрат  труда  на  производство  заданной  конечной  продукции).

Построим  модель,  представляющую  собой  непосредственное  обобщение  модели  межотраслевого  баланса,  записанной  в  форме  (22).  В  модели  предусматривается  возможность  выбора  между  различными  производственными  способами.  Пусть  каждый  вид  продукции    производится  несколькими  способами  ,  где  Tj=  {1,  ...  ,  sj}.  При  этом  каждым  способом  выпускается  только      один    продукт.  Введем    новые    обозначения:

  –  объем  производства  продукции  j  способом  j;

  –  коэффициент    пря­мых    затрат    продукции    i  на  производство  единицы  продукции  j  способом  j;

  –   затраты  труда  на  единицу  продукции  j,    произ­водимой  способом  j.

Модель  имеет  вид:

  (32)

Модель  (32)  всегда  имеет  решение,  если  выполняются  усло­вия,  аналогичные  условию  продуктивности  матрицы  коэффициен­тов  прямых  материальных  затрат  модели  межотраслевого  баланса.  Например,  одно  допустимое  решение  может  быть  получено,  если  включить  в  план  по  одному  способу  для  каждого  вида  продукции,  а  все  остальные  переменные  считать  равными  нулю.  Так  может  быть  составлено    систем  уравнений  межотраслевого  баланса  производства  и  распределения  продукции,  каждая  из  которых  имеет  решение,  если  матрица  продуктивна.

Анализ  модели  позволяет  выявить  ряд  ее  интересных  специфи­ческих  свойств.

Теорема  1.  При  положительном  векторе  конечной  про­дукции  Y0  >  0  производятся  все  продукты  и  каждый  продукт  про­изводится  только  одним  способом.

Доказательство.  Напомним,  что  мы  исходим  из  пред­положения,  что  оптимальный  план  –  единственный.  Введем  в  ус­ловия  дополнительные  переменные  Δyi  (излишки  конечной  про­дукции  сверх  минимально  необходимых  объемов  ),  превращающие  неравенства  в  равенства.

В  каждом  i-м  уравнении

положительными  являются  только  коэффициенты  при  переменных  Х.  Но  поскольку  все  ,  то  и  все    ,  т.  е.  оптимальном  плане  должны  производиться  все  виды  продуктов.

Максимальное  число  положительных  переменных  в  оптимальном  плане  равно  п  (числу  уравнений).  Следовательно,  в  каждой  сумме  переменных    положительной  может  быть  только  одна  переменная.  Иначе  говоря,  в  оптимальном  плане  каждый  продукт  про­изводится  только  одним  способом.

Следствие.  Из  теоремы  следует,  что  поскольку  число  воз­можных  положительных  переменных  исчерпывается  переменными  способов  производства,  то  все  Δyi  в  оптимальном  плане  равны  нулю.  Иными  словами,  оптимальный  план  обращает  исходные  неравен­ства  строго  в  равенства.

Страницы: 1, 2, 3