Оптимизационные модели межотраслевого баланса

Содержание:

Содержание.. 2

Введение.. 3

§    1.  ОБЩАЯ  ЛИНЕЙНАЯ  ОПТИМИЗАЦИОННАЯ  МОДЕЛЬ.. 4

Построение  модели. 4

Оптимальные  оценки  и  анализ  оптимального  плана. 6

Влияние  изменения  ограничений. 8

Включение  в  оптимальный  план  дополнительных  производственных  способов. 12

§  2.  ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МОДЕЛИ  НА  ОСНОВЕ  МАТРИЦЫ  МЕЖОТРАСЛЕВОГО  БАЛАНСА.. 14

Модель  межотраслевого  баланса  как  частный  случай  оптимизационных  моделей. 14

График  оптимизационной  модели. 16

Оптимизационная  модель  межотраслевого  баланса  продукции  и  производственных  мощностей. 17

§  3.  ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ  МОДЕЛИ  С  ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ  СПОСОБАМИ.. 24

Теорема  1.  При  положительном  векторе  конечной  продукции  Y0  >  0  производятся  все  продукты  и  каждый  продукт  производится  только  одним  способом. 25

Теорема  2.  Базис  оптимального  плана,  а  следовательно,  и  выбор  «лучших»  способов  остаются  постоянными  при  любых  изменениях  положительного  вектора  Y0. 27

Второй  вариант  модели  (максимизация  конечной  продукции  в  заданном  ассортименте  при  ограниченных  трудовых  ресурсах). 29

Варианты  модели  с  различными  условиями  максимизации  конечной  продукции. 31

§  4.  РАСШИРЕННЫЕ  ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ  МОДЕЛИ   34

Вывод.. 42

Введение:

В  данном  реферате  рассмотрены  проблемы  построения  и  использования  оптимизационных  моделей  межотраслевого  баланса.

Анализировавшиеся  в  данном  реферате  опти­мизационные  межотраслевые  модели  характеризуются  двумя  спе­цифическими  свойствами.  Во-первых,  в  оптимальный  план  вклю­чается  только  по  одному  способу  для  каждого  производимого  вида  продукции  независимо  от  того,  какое  количество  способов  вводится  в  условия  задачи.  Во-вторых,  объемы  и  структура  используемой  конечной  продукции  не  оказывают  никакого  влияния  на  выбор  производственных  способов  и  определение  общественно  необходи­мых  затрат  на  производство  продукции.

Хотя  выявленные  свойства  создают  значительные  удобства  при  проведении  оптимизационных  расчетов  и  анализе  оптимальных  решений,  они  не  являются  адекватным  отражением  свойств  реаль­ной  экономики.  Данные  свойства  моделей  обусловлены  тем,  что  выбор  производственных  способов  осуществляется  с  позиций  наи­более  эффективного  использования  только  одного  ограниченного  ресурса  –  труда.  Решения,  получаемые  с  помощью  рассматривае­мых  моделей,  должны  интерпретироваться  как  условно-оптималь­ные,  т.  е.  получаемые  в  предположении,  что  трудовые  ресурсы  яв­ляются  единственным  дефицитным  ресурсом  в  народном  хозяйстве.  Эти  условно-оптимальные  решения  должны  затем  корректироваться  с  учетом  использования  других  ограниченных  ресурсов.

§1.  ОБЩАЯ  ЛИНЕЙНАЯ  ОПТИМИЗАЦИОННАЯ  МОДЕЛЬ

Линейная  оптимизационная  модель  общего  вида  впервые  была  сформулирована  и  исследована  Л.  В.  Канторовичем.  Она  получила  название  основной  задачи  производственного  планирования.  Данная  модель  является  частным  случаем  абстрактной  модели  оптимального  планирования  народного  хозяйства,  в  которой  целевая  функция  и  все  ограничения  являются  линей­ными. 

.ывод:кние:ложнение мо­дели (9.________________________________________________________________________________________________Построение  модели.

В  народном  хозяйстве  имеется  множество  производственных  спо­собов  ψ  Π N;  xψ  -  интенсивность  применения  способа  ψ;  А  =  (аsψ)  -  вектор  производственного  способа  ψ,  компоненты  ко­торого  означают  выпуск  продукции  и  затраты  ресурсов  при  еди­ничной  интенсивности  его  применения.  Все  множество  ингредиен­тов  s  Π М    разбивается  на  два  подмножества:

·                    продукты  и  воспроизводимые  ресурсы  (продукты  для  промежу­точного  и  конечного  использования)  s1  Π М1;

·                    невоспроизводимые  ресурсы  s2  Π М2;

Основные  ограничения  линейной  модели  производства  необходимо  конкретизировать  лишь  в  отношении  структуры  ко­нечной  продукции.

В  составе  конечной  продукции  выделим  постоянную  и  перемен­ную  части:    Постоянная  часть  включает  минимально  необходимые  объемы  продукции  для  непроизводственного  потребления  (это  могут  быть  объемы,  достигнутые  в  прошедшем  периоде),  накопления,  возмещения      выбытия      основных      фондов»  внешнеторгового  обмена  и  т.  д.  Переменная  часть  конечной  продукции  максимизируется  в  заданном  ассортименте  в  соответствии  с  условиями:

где    -  число  комплектов  переменной  части  конечной  продукции,    -  количество  продукции  s1  в  одном  комплекте.

Общая  модель  имеет  следующий  вид:

  (1)

Условия  (1)  из  модели    (1)  означают  балансы  производства  и  распределения  продукции,  условия  (2)  -  балансы  невоспроизво­димых  ресурсов.

Для  того  чтобы  задача  (1)  имела  решение,  необходимо,  чтобы,  во-первых,  матрица  выпуска  и  материальных  затрат  производст­венных  способов    обладала  свойством,  аналогичным  свой­ству  продуктивности  матрицы  (Е — А)  межотраслевого  баланса  (т.  е.  обеспечивала  бы  возможность  получения  положительной  ко­нечной  продукции)  и,  во-вторых,  чтобы  значения    не  были  че­ресчур  большими,  т.  е.  такими,  чтобы  при    выполнялись  ограничения  (2).

Важной  качественной  характеристикой  оптимального  плана  модели  (1)  является  число  применяемых  производственных  спо­собов  (переменных  ).

Из  теории  линейного  программирования  известно,  что  оптималь­ный  план  задачи  в  случае  его  единственности  и  невырожденности  содержит  столько  положительных  основных  и  дополнительных  (приводящих  неравенства  к  равенствам)  переменных,  сколько  имеется  ограничений.  При  этом  число  положительных  основных  переменных  равно  числу  ограничений,  которые  в  оптимальном  плане  обращаются  в  равенства.

Единственность  и  невырожденность  оптимального  плана  можно  рассматривать  как  типичное  свойство  модели  (1).  Очевидно  также,  можно  принять  допущение,  что  в  оптимальный  план  включается  переменная  .  Отсюда  следует,  что  если  п – число  видов  про­дукции  и  т – число  невоспроизводимых  ресурсов,  то  максималь­ное  число  применяемых  производственных  способов  равно  п + т – 1  (из  общего  числа  N).  В  действительности  же  число  применяемых  способов  будет  равно  п1 + m1  –  1  ,  где  n1  и  m1  –  число  видов  про­дукции  и  ресурсов,  по  которым  в  оптимальном  плане  неравенства  превращаются  в  равенства  (п1  ≤  n,  m1  ≤  m).

Оптимальные  оценки  и  анализ  оптимального  плана.

Модели  (1)  соответствуют  оптимальные  оценки  всех  видов  продукции    и  невоспроизводимых  ресурсов  .  Их  экономи­ческая  интерпретация  вытекает  из  анализа  общих  свойств  опти­мальных  оценок  народнохозяйственной  модели.

Оценка    характеризует  уменьшение  максимального  числа  комплектов  конечной  продукции  при  увеличении  постоянной  части  конечной  продукции  вида  s1  на  «малую  единицу».  Оценка    показывает      прирост      максимального      числа    комплектов  при  увеличении  ресурса  s2  на  «малую  единицу».

Соотношения,  определяющие  значения  оптимальных  оценок,  выводятся  из  условий  двойственной  задачи.

Все  оценки  неотрицательны.  При  этом  оценки  хотя  бы  одного  вида  продукции  и  хотя  бы  одного  вида  ресурсов  должны  быть  по­ложительны  (в  противном  случае  план,  относительно  которого  рассчитаны  оценки,  может  быть  улучшен).

Для  каждого  производственного  способа  выполняются  соотношения

  (2)

означающие,    что  суммарная  оценка  выпускаемой    продукции      не  превышает  суммарной  оценки  всех  затрачиваемых  ресурсов.

Из  условий  дополняющей  нежесткости  следует:

если    (3)

если    (4)

если    (5)

если    (6)

если    (7)

если    (8)

Кроме  того,  при    выполняется  равенство 

Если  ассортиментные  коэффициенты  пронормированы  так,  что    то  значения  оценок  продукции  колеблются  вокруг  единицы  (если  оценки  некоторых  видов  продукции  меньше  единицы,  то  оценки  каких-нибудь  других  видов  продукции  больше  единицы).

При  использовании  оптимизационных  моделей  в  планировании  никогда  не  ограничиваются  расчетом  только  одного  оптимального  варианта.  Необходимо  анализировать,  какие  изменения  произой­дут  в  оптимальном  плане,  если  изменяются  некоторые  исходные  данные.  Такой  анализ  особенно  важен  потому,  что  исходная  ин­формация  для  народнохозяйственных  моделей  не  может  опреде­ляться  строго  однозначно.  Анализ  оптимального  плана  должен  показывать  пути  корректировки  и  дополнения  исходной  инфор­мации.

Рассмотрим  некоторые,  направления  анализа  оптимального  плана.

Влияние  изменения  ограничений. 

Зависимости  максимального  значения  целевой  функции  (максимума  числа  комплектов  конечной  продукции)  от  изменения  параметров  ограничений    и    (каж­дого  в  отдельности)  непосредственно  характеризуются  значениями  оптимальных  оценок  продукции  и  ресурсов.  Пропорциональное  изменение  (увеличение  или  уменьшение)  всех  параметров  ограни­чений  не  меняет  значений  оценок.  При  увеличении    оценки  ра­стут  (до  тех  пор,  пока  существует  решение  задачи).  При  увеличе­нии    оценки  снижаются  (до  нуля).

Возможности  эквивалентной  взаимозаменяемости  конечной  про­дукции  и  ресурсов  в  ограничениях  модели  определяются  уравне­нием

  (9)

Следует  заметить,  что  количественные  соотношения  эквивалент­ной  взаимозаменяемости,  вытекающие  из  уравнения  (9),  справед­ливы  только  при  таких  значениях    и  ,  которые  не  изме­няют  значений  оптимальных  оценок.

Для  того  чтобы  проанализировать  влияние  изменения  ограни­чений  на  интенсивность  применения  различных  производственных  способов,  осуществим  упорядочение  условий  задачи.

Будем  исходить  из  того,  что  для  оптимального  плана  (п1 + m1)  ограничений  выполняются  как  равенства,  а  остальные  (п  –  n1) + (т  –  m1)  ограничений  выполняются  как  строгие  неравенства.  Перенумеруем  все  исходные  ограничения  так,  чтобы  первые  (п1 + m1)  ограничений  выполнялись  как  равенства,  а  остальные  –  как  неравенства.

Выше  мы  пришли  к  выводу,  что  в  оптимальном  плане  положи­тельными  будут  переменные  (п1 + m1  – 1)  производственных  спо­собов  и  переменная  .  Изменим  нумерацию  переменных  так,  чтобы  положительные  переменные  способов  заняли  первые  места  (век­тор  X1),  a  за  ними  –  переменная  .

Тогда  матрица  модели  может  быть  представлена  в  виде  следую­щей  блочной  матрицы:

Введем  новое  обозначение  для  вектора  ограничений:  b  =  .  Перенумеруем  компоненты  этого  вектора  в  соответствии  с  новой  нумерацией  ограничений:  b  =  .

Для  оптимального  плана  справедливо  уравнение:

,

откуда

  (10)

Обозначим  первые  (п1  +  m1  –  1)  строк  матрицы      через  B11,  а  последнюю  строку  –  через  β11.  Тогда

  (11)

  (12)

Формулы  (11)  и  (12)  характеризуют  зависимости  оптималь­ных  интенсивностей  производственных  способов  и  максимального  числа  комплектов  от  «жестких»  ограничений  задачи.  Коэффици­енты  матрицы  B11  являются  аналогами  коэффициентов  полных  потребностей  в  продукции  модели  межотраслевого  баланса.  Од­нако  эти  коэффициенты  могут  иметь  различные  знаки,  также  как  и  коэффициенты  вектора  β11.

Из  (11)  и  (12)  выводятся  формулы  корректировки  интенсив­ностей  применяемых  способов  и  числа  комплектов  конечной  про­дукции  при  изменении  ограничений:

  (13)

  (14)

Однако  формулы  (13)  и  (14)  верны  только  при  сохранении  базиса  оптимального  плана  задачи  (набора  векторов,  соответст­вующих  положительным  переменным).  Из  линейного  программи­рования  известно,  что  базис  оптимального  плана  не  изменяется,  пока  переменные,  вошедшие  в  оптимальный  план,  будут  неотрица­тельны.  Это  означает,  что  в  анализируемой  модели  условиями  со­хранения  базиса  оптимального  плана  являются

  (15)         или                (16)

  (17)

Из  этих  условий  находятся  границы  допустимых  изменений  каждой  компоненты  вектора  b  и  области  допустимых  изменений  одновременно  нескольких  компонент  вектора  b.  Сохранение  ба­зиса  оптимального  плана  является  также  условием  неизменности  оптимальных  оценок.

Включение  в  оптимальный  план  дополнительных  производствен­ных  способов.

Как  уже  отмечалось,  типичным  свойством  оптималь­ного  плана  модели  является  использование  (п1 + т1  – 1)  произ­водственных  способов.  Может  оказаться,  что  большая  часть  имею­щихся    производственных    способов    (из    общего    числа    N  >  n1  +  т1  –  1)  не  будет  использоваться  и  преобладающая  часть  продукции  будет  производиться  небольшим  числом  способов.  Такая  ситуация  является  нежелательной  с  точки  зрения  маневренности,  надежности,  адаптивности  плана.  В  связи  с  этим  интересно  изучить,    к  каким  последствиям  приводит      включение  в  оптимальный  план  дополнительных  способов.

Эффективность  производственных  способов  ψ    измеряется  оценками  производственных  способов:

.  (18)

Для  способов,  вошедших  в  оптимальный  план,  Δψ  =  0.  Для  способов,  не  вошедших  в  оптимальный  план,  Δψ  ≤  0  (а  в  случае  единственности  оптимального  плана  Δψ  строго  отрицательны).  Оценки  Δψ  показывают,  насколько  уменьшится  значение  целевой  функции  при  включении  в  оптимальный  план  ранее  не  входившего  в  него  способа  с  единичной  интенсивностью.  Если  же  интенсивность  вводимого  способа  равна  xψ,  то  значение  целевой  функции  умень­шится  на  Δψxψ.

Рассмотрим,  как  повлияет  включение  дополнительных  способов  (вектора  Х2)  на  интенсивности  применения  оптимальных  (базис­ных)  способов  (вектор  X1.  Добавив  к  вектору  b1  произведение  –  A12  Х2,  получим  на  основе  (11)

Страницы: 1, 2, 3