Поле длинного соленоида.

Соленоидом называется катушка, на которую намотан проводник.

Магнитное поле от витков складывается, и не трудно догадаться, что структура силовых линий поля такая: они внутри идут густо, а дальше разреженно. То есть для длинного соленоида  снаружи будем считать =0, а внутри соленоида =const. Внутри длинного соленоида, ну, в окрестности. Скажем, его середины, магнитное поле практически однородно, а вне соленоида это поле мало. Тогда мы можем найти это магнитное поле внутри следующим образом: вот я беру такой контур (рис.7.13), а теперь пишем: 1).

 - это полный заряд. Эту поверхность протыкают витки

(полный заряд)=(число витков, протыкающих эту поверхность).

Мы получим такое равенство из нашего закона: , или

.

8

Поле на большом расстоянии от ограниченного распределения тока.

Магнитный момент

Имеется в виду, что в ограниченной области пространства текут токи, тогда есть простой рецепт для нахождения магнитного поля, которое создаёт это ограниченное распределение. Ну, кстати, под это понятие ограниченное пространство подпадает любой источник, поэтому тут никакого сужения нет.

Если характерный размер системы , то . Напомню, что мы решали аналогичную проблему для электрического поля, создаваемого ограниченным распределением заряда, и там появилось понятие дипольного момента, и моментов более высокого порядка. Решать эту задачу я здесь не буду.

По аналогии (как делалось в электростатике) можно показать, что магнитное поле от ограниченного распределения на больших расстояниях подобно электрическому полю диполя. То есть структура этого поля такая: 

Распределение характеризуется магнитным моментом . Магнитный момент , где  – плотность тока или, если учесть, что мы имеем дело с движущимися заряженными частицами, то вот эту формулу  для сплошно среды мы можем выразить через заряды частиц таким образом: . Что эта сумма выражает? Повторяю, распределение тока создаётся тем, что движутся эти заряженные частицы. Радиус-вектор i-ой частицы векторно умножается на скорость i-ой частицы и всё это умножается на заряд этой i-ой  частицы.

Такая конструкция, кстати, у нас в механике была. Если вместо заряда без множителя  написать массу частицы, то, что это будет изображать? Момент импульса системы.

Если мы имеем частицы одного сорта (, например, электроны), то тогда мы можем написать  . Значит, если ток создаётся частицами одного сорта, то магнитный момент связан просто с моментом импульса этой системы частиц.

Магнитное поле, создаваемое этим магнитным моментом равно:

                                 (8.1)

Магнитный момент витка с током

Пусть у нас имеется виток и по нему течёт ток силы Á. Вектор  отличен от нуля в пределах витка. Возьмём элемент этого витка , , где S – поперечное сечение витка, а  – единичный касательный вектор. Тогда магнитный момент определён так: . А что такое ? Это вектор, направленный вдоль вектора нормали к плоскости витка . А векторное произведение двух векторов – это удвоенная площадь треугольника, построенного на этих векторах. Если dS – площадь треугольника, построенного на векторах  и , то . Тогда мы пишем магнитный момент равняется . Значит,

(магнитный момент витка с током)=(сила тока)(площадь витка)(нормаль к витку)1).

А теперь мы формулу (8.1) применим для витка с током и сопоставим с тем, что мы добыли в прошлый раз, просто для проверки формулы, поскольку формулу эту я слепил по аналогии.

Пусть мы имеем в начале координат виток произвольной формы, по которому течёт ток силы Á, тогда поле в точке на расстоянии х равно:   (). Для круглого витка , . На прошлой лекции мы находили магнитное поле круглого витка с током, при  эти формулы совпадают.

На больших расстояниях от любого распределения тока магнитное поле находится по формуле (8.1), а всё это распределение характеризуется одним вектором, который называется магнитный момент. Кстати, простейший источник магнитного поля это магнитный момент. Для электрического поля простейший источник это монополь, для электрического поля следующий по сложности это электрический диполь, а для магнитного поля всё начинается с этого диполя или магнитного момента. Это, ещё раз обращаю внимание, постольку, поскольку нет этих самых монополей. Был бы монополь, тогда было бы всё также как в электрическом поле. А так у нас простейший источник магнитного поля это магнитный момент, аналог электрического диполя. Наглядный пример магнитного момента – постоянный магнит. Постоянный магнит обладает магнитным моментом, и на большом расстоянии его поле имеет такую структуру:

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

Мы видели, что на заряженную частицу действует сила, равная . Ток в проводнике есть результат движения заряженных частиц тела, то есть равномерно размазанного заряда в пространстве нет, заряд локализован в каждой частице. Плотность тока . На i-ую частицу действует сила .

Выберем элемент объёма  и просуммируем силы, действующие на все частицы этого элемента объёма . Сила, действующая на все частицы в данном элементе объёма, определяется как плотность тока на магнитное поле и на величину элемента объёма. А теперь перепишем её в дифференциальном виде: , отсюда  – это плотность силы, сила, действующая на единицу объёма. Тогда мы получим общую формулу для силы: . 

Обычно ток течёт по линейным проводникам, редко мы сталкиваемся с случаями, когда ток размазан как-то по объёму. Хотя, между прочим, Земля имеет магнитное поле, а от чего это поле? Источник поля это магнитный момент, это означает, что Земля обладает магнитным моментом. А это означает, что тот рецепт для магнитного момента показывает, что должны быть какие-то токи внутри Земли, они по необходимости должны быть замкнутыми, потому что не может быть стационарного разомкнутого поля. Откуда эти токи, что их поддерживает? Я не специалист в земном магнетизме. Какое-то время назад определённой модели этих токов ещё не было. Они могли быть там когда-то индуцированы и ещё не успели там затухнуть. На самом деле, ток можно возбудить в проводнике, и потом он быстро сам кончается за счёт поглощения энергии, выделения тепла и прочего. Но, когда мы имеем дело с такими объёмами как Земля, то там время затухания этих токов, однажды каким-то механизмом возбуждённых,  это время затухания может быть очень длительным и длиться геологические эпохи. Может быть, так оно и есть. Ну, скажем, мелкий объект типа Луны имеет очень слабое магнитное поле, это означает, что оно затухло там уже, скажем, магнитное поле Марса тоже значительно слабее поля Земли, потому что и марс меньше Земли. Это я к чему? Конечно, есть случаи, когда токи текут в объёмах, но то, что мы здесь на Земле имеем это обычно линейные проводники, поэтому эту формулу сейчас трансформируем применительно к линейному проводнику.

Пусть имеется линейный проводник, ток течёт с силой Á. Выберем элемент проводника , объём этого элемента dV, , . Сила, действующая на элемент проводника  перпендикулярна плоскости треугольника, построенного на векторах  и , то есть направлена перпендикулярно к проводнику, а полная сила находится суммированием. Вот, две формулы решают эту задачу.

Магнитный момент во внешнем поле

Магнитный момент сам создаёт поле,  сейчас мы собственное его поле не рассматриваем, а нас интересует, как ведёт себя магнитный момент, помещённый во внешнее магнитное поле. На магнитный момент действует момент силы, равный . Момент силы будет направлен перпендикулярно к доске, и этот момент будет стремиться развернуть магнитный момент вдоль силовой линии. Почему стрелка компаса показывает на северный полюс? Ей, конечно, нет дела до географического полюса Земли, стрелка компаса ориентируется вдоль силовой линии магнитного поля, которая, в силу случайных причин, кстати, направлена примерно по меридиану. За счёт чего? А на неё действует момент. Когда стрелка, магнитный момент, совпадающий по направлению с самой стрелкой, не совпадает с силовой линией, появляется момент, разворачивающий её вдоль этой линии. Откуда у стрелки компаса берётся магнитный момент, это мы ещё обсудим.

Кроме того, на магнитный момент действует сила , равная . Если магнитный момент направлен вдоль , то сила втягивает магнитный момент в область с большей индукцией. Эти формулы похожи на то, как действует электрическое поле на дипольный момент, там тоже дипольный момент ориентируется вдоль поля и втягивается в область с большей напряжённостью. Теперь мы можем рассмотреть вопрос о магнитном поле в веществе.

Магнитное поле в веществе

Атомы могут обладать магнитными моментами. Магнитные моменты атомов связаны с моментом импульса электронов. Уже была получена формула , где  – момент импульса частицы создающей ток. В атоме мы имеем положительное ядро и электрон е, вращающийся по орбите, на самом деле, в своё время мы увидим, что эта картина не имеет отношения к реальности, так нельзя представлять электрон, который вращается, но остаётся то, что электрон в атоме обладает моментом импульса, и этому моменту импульса будет отвечать такой магнитный момент: . Наглядно, заряд, вращающийся по окружности, эквивалентен круговому току, то есть это элементарный виток с током. Момент импульса электрона в атоме квантуется, то есть может принимать только определённые значения, вот по такому рецепту: , , где вот эта величина  – это постоянная Планка. Момент импульса электрона в атоме может принимать лишь определённые значения, мы сейчас не будем обсуждать, как это получается. Ну, и вследствие этого магнитный момент атома может принимать определённые значения. Эти детали нас сейчас не волнуют, но, по крайней мере, будем представлять, что атом может обладать определённым магнитным моментом, есть атомы, у которых нет магнитного момента. Тогда вещество, помещённое во внешнее поле намагничивается, а это означает, что оно приобретает определённый магнитный момент вследствие того, что магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно вдоль поля.

Элемент объёма dV приобретает магнитный момент , при чём вектор  имеет смысл плотности магнитного момента и называется вектором намагничивания. Имеется класс веществ, называемых парамагнетики, для которых , намагничивается так, что магнитный момент совпадает с направлением магнитного поля. Имеются диамагнетики, которые намагничиваются, так сказать, «против шерсти», то есть магнитный момент антипараллелен вектору , значит, . Это более тонкий термин. То, что вектор  параллелен вектору  понятно, магнитный момент атома ориентируется вдоль магнитного поля. Диамагнетизм связан с другим: если атом не обладает магнитным моментом, то во внешнем магнитном поле он приобретает магнитный момент, при чём магнитный момент антипараллелен . Этот очень тонкий эффект связан с тем, что магнитное поле влияет на плоскости орбит электронов, то есть оно влияет на поведение момента импульса. Парамагнетик втягивается в магнитное поле, диамагнетик выталкивается. Вот, чтобы это не было беспредметно, медь – это диамагнетик, и алюминий – парамагнетик, если взять магнит то алюминиевая лепёшка будет притягиваться магнитом, а тогда медная будет отталкиваться.

Понятно, что результирующее поле, когда вещество внесено в магнитное поле, это есть сумма внешнего поля и поля, создаваемого за счёт магнитного момента вещества. Теперь обратимся к уравнению , или в дифференциальной форме . Теперь такое утверждение: намагничивание вещества эквивалентно наведению в нём тока с плотностью . Тогда это уравнение мы напишем в виде .

Проверим размерность: М – это магнитный момент в единице объёма , размерность . Когда вы пишете какую-нибудь формулу, то размерность всегда полезно проверять, особенно если формула эта собственной выводки, то есть вы её не срисовали, не запомнили, а получили.

9

Намагниченность характеризуется вектором , он так и называется вектор намагниченности, это плотность магнитного момента или магнитный момент в единицу времени. Я говорил, что намагниченность эквивалентна появлению тока , так называемого молекулярного тока, и это уравнение эквивалентно такому: , то есть мы можем считать, что нет намагниченности, а есть такие токи. Зададимся таким уравнением: , - это настоящие токи, связанные с конкретными носителями зарядов, а  это токи, связанные с намагниченностью. Электрон в атоме это круговой ток, возьмём область внутри, внутри образца все эти токи уничтожаются, но наличие таких круговых токов эквивалентно одному общему току, который обтекает этот проводник по поверхности, отсюда и такая формула. Перепишем это уравнение в таком виде: , . Этот  тоже отправим влево и обозначим , вектор  называется напряжённостью магнитного поля, тогда уравнение приобретёт вид . (циркуляция напряжённости магнитного поля по замкнутому контуру) =  (сила тока через поверхность этого контура).

Ну, и, наконец, последнее. Мы имеем такую формулу: . Для многих сред намагниченность зависит от напряжённости поля, , где  – магнитная восприимчивость, это коэффициент, характеризующий склонность вещества к намагничиванию. Тогда эта формула перепишется в виде ,  – магнитная проницаемость, и мы получаем такую формулу: .

Если , то это парамагнетики,  - это диамагнетики, ну, и, наконец, имеются вещества, для которых это  принимает большие значения (порядка 103),  - это ферромагнетики (железо, кобальт и никель). Ферромагнетики замечательны тем. Что они не только намагничиваются в магнитном поле, а им свойственно остаточное намагничивание, если он уже однажды был намагничен, то, если убрать внешнее поле, то он останется намагниченным в отличии от диа- и парамагнетиков. Постоянный магнит – это и есть ферромагнетик, который без внешнего поля намагничен сам по себе. Кстати, имеются аналоги этого дела в электричестве: имеются диэлектрики, которые поляризованы сами по себе без всякого внешнего поля. При наличии вещества наше фундаментальное уравнение приобретает такой вид:

,

,

.

А вот ещё пример ферромагнетика, бытовой пример магнитного поля в средах, во-первых, постоянный магнит, ну, и более тонкая вещь – магнитофонная лента. Каков принцип записи на ленту? Магнитофонная лента - это тонкая лента, покрытая слоем ферромагнетика, записывающая головка - это катушка с сердечником, по которой течёт переменный ток, в зазоре создаётся переменное магнитное поле, ток отслеживает звуковой сигнал, колебания с определённой частотой. Соответственно, в  контуре магнита имеется переменное магнитное поле, которое меняется вместе с этим самым током. Ферромагнетик намагничивается переменным током. Когда эта лента протягивается по устройству такого типа, переменное магнитное поле создаёт переменную э.д.с. и воспроизводится опять электрический сигнал. Это ферромагнетики на бытовом уровне.

Квазистационарные поля

Приставке «квази-» русский эквивалент «якобы», то есть имеется в виду, что поле переменное, но не очень. Теперь мы полагаем, наконец, , но оставим  одно: , чтобы не учитывать влияния электрического поля на магнитное. Уравнения Максвелла приобретают такой вид:

1)      ,

2)      ,

3)      ,

4)     

3) и 4) уравнения не изменились, это означает, что связь магнитного поля с токами в каждой точке осталась такой же, только мы теперь допускаем изменяющиеся со временем токи. Ток со временем может меняться, но связь магнитного поля и тока остаётся та же самая. Поскольку магнитная индукция  связана с током линейно,  будет меняться синхронно с током проводника: ток нарастает, магнитное поле нарастает, но связь между ними не меняется. А вот для электрического поля появляется новшество: циркуляция связана с изменением магнитного поля.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8