Экономико-математические методы анализа

ВВЕДЕНИЕ.

Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрение экономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Математические методы опираются на методологию экономико-математического моделирования и научно обоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности. В зависимости от целей экономического анализа различают следующие экономико-математические модели: в детерминированных моделях – логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях – корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массового обслуживания, теорию графов.

СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ФАКТОРНЫХ СИСТЕМ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

Стохастический анализ – это метод решения широкого класса задач статистического оценивания. Он предполагает изучение массовых эмпирических данных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, не находящихся в прямых связях, в прямой взаимозависимости и взаимообусловленности. Стохастическая связь существует между случайными величинами и проявляется в том, что при изменении одной из них меняется закон распределения другой. Так если случайная величина Х- функция двух групп случайных величин Z и v, X=f(Z1, Z2, ..., Zn; v1, v2, ...,vn), а случайная величина Y – функция двух групп случайных величин Y=Y(Z1, Z2, ..., Zn; v1, v2, ..., vn), то между X и Y есть стохастическая связь.

В основе построения стохастических моделей лежит обобщение закономерностей варьирования значений изучаемых экономических показателей. Предпосылкой для применения стохастического подхода моделирования связей служит качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей) и варьирования признаков по хозяйственным объектам и периодам.

Стохастическое моделирование можно применять в анализе хозяйственной деятельности, если есть возможность составить совокупность наблюдений. Моделирование ведется методами математической статистики, которые позволяют исследовать опосредованные причинно-следственные связи показателей производственно-хозяйственной деятельности с факторами и условиями производства. Детерминированное моделирование в данном случае не всегда возможно. С помощью математико-статистических приемов можно обойтись без специальных экспериментов.

В экономическом анализе выделяются следующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:

·     изучение наличия и тесноты связей между функцией и факторами, а также между факторами;

·     ранжирование  и классификация факторов экономических явлений;

·     выявление аналитической формы связи между изучаемыми явлениями;

·     сглаживание динамики изменения уровня показателей;

·     изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений;

·     количественное изменение информативных показателей;

·     количественное изменение влияния факторов на изменение анализируемых показателей (экономическая интерпретация полученных управлений).

Стохастическое моделирование и анализ связей между изученными показателями начинаются с корреляционного анализа.

Корреляция состоит в том, что средняя величина одного из признаков изменяется в зависимости от значения другого. Признак, от которого зависит другой признак, принято называть факторным. Зависимый признак именуют результативным. В каждом конкретном случае для установления факторного и результативного признаков в неодинаковых совокупностях необходим анализ природы связи. Так, при анализе различных признаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с их производственным стажем выступает как результативный признак, а в связи с показателями жизненного уровня или культурными потребностями – как факторный. Часто зависимости рассматривают  не от одного факторного признака, а от нескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления и количественной оценки взаимосвязей и взаимностей между признаками.

При исследовании массовых общественно-экономических явлений между факторными признаками проявляется корреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет, помимо факторного, множество других признаков, действующих в разных направлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связь называют неполной статистической или частичной в отличие от функциональной, которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимая переменная – аргумент) другая (зависимая переменная – функция) принимает строгое значение.

Корреляционную связь можно выявить только в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов. Каждому значению факторного признака будет соответствовать не одно значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака для каждого значения факторного.

Проблема измерения связи имеет две стороны: выяснение формы и тесноты. При определение формы связи выявляется изменение средней величины результативного признака в зависимости от изменения факторного. Выбор тех или иных показателей тесноты корреляционной связи зависит от ее формы. Под формой связи понимают тип аналитической формулы, выражающей зависимость между рассматриваемыми признаками. Различают связь прямую, при которой с ростом (снижением) факторного признака у результативного обнаруживается тенденции к увеличению (уменьшению), и обратную, когда  с увеличением (уменьшением) факторного признака результативный снижается (увеличивается).

Форма корреляционной зависимости характеризует тенденцию, проявляющуюся в изменениях рассматриваемого признака с изменением признака-фактора. Если наблюдается тенденция равномерного возрастания или убываний значений признака, то зависимость называется прямолинейной, в противном случае – криволинейной.

Уравнивание корреляционной связи (уравнение регрессии) – аналитическое. С его помощью выражается связь между признаками (иногда форма связи). Различают прямолинейное (прямая линия) и криволинейное (парабола, гипербола) уравнения.

Линии на графиках, изображающие тенденции в изменения признака, коррелируемого с признаком-фактором, называются линиями регрессии. В них находит графическое выражение форма связи.

При использовании корреляционно-регрессивного приема анализа модель изображается в виде уравнения  регрессии типа y=f(x), где у – зависимая переменная (результативный признак или функция от ряда факторов-аргументов);х – независимые переменные (факторы-аргументы). Парной корреляцией называется корреляционная зависимость между двумя признаками.

Простейшим уравнением, характеризующим прямолинейную зависимость между двумя признаками, служит уравнение прямой линии: Y = a + bx, где х и у(х) – соответственно независимый и зависимый признак; a и b – параметры уравнения.

Уравнение прямой линии описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением признака-фактора происходит равномерное возрастание или убывание значений зависимого признака (рис. 1.1.)

Количество наблюдений при прямолинейной

Y=a + bx

 зависимости должно составлять не менее 6.

В качестве примера прямолинейной зависимости

Рис. 1.1.Прямолинейная зависимость

приведем данные об изменении фондовооруженности

и производительности труда (табл. 1.1.)

Табл. 1.1. Исходные данные для определения зависимости между фондовооруженностью и производительностью труда

При планировании производительности труда важно установить темпы ее роста в зависимости от увеличения фондовооруженности.

Связь между производительностью и фондовооруженностью  труда можно выразить в виде уравнения прямой линии: , где - число наблюдений; - постоянная величина, независимая от изменения данного фактора.

Для выяснения связи рассчитаем коэффициент корреляции по формуле: Коэффициент корреляции по абсолютной величине может принимать значения в пределах от 0 до 1. Если между двумя показателями не существует связи, коэффициент равен 0, если связь тесная, - он близок к 1.

Если коэффициент корреляции равен 1, значит, результативный признак полностью зависит от признака-фактора, т. е. по существу корреляционная зависимость совпадает с функциональной. Следовательно, чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь между явлениями и наоборот.

Для нахождения неизвестных параметров a и b решим систему так называемых нормальных уравнений: ; . Величина xy находится умножением значений х на y и последующим суммированием произведений.

Для исчисления величины  следует значения х возвести в квадрат и полученные результаты суммировать.

Числовые значения ху, х, у,  рассчитываются на основании фактических данных из табл.1.1.

В результате подстановки данных в систему уравнений получаем:

80,9 = 10а + 22,6b;  188,4 = 22,6а + 52,6b.

Отсюда а = +6,7; b = 0,912.

Значит, уравнение, представляющее связь между фондовооруженностью и производительностью труда работающих, имеет вид у(х) = 6,7 + 0,912х. Следовательно повышение фондовооруженности труда на 1000 руб. приводит к росту его производительности на 912 руб. Эти данные учитываются при перспективном и текущем планировании роста производительности труда.

Использование множественной корреляции в экономическом анализе. В зависимости от количества отобранных факторов различают парные и многофакторные модели. Из многофакторных используется: линейные ; степенные  ; логарифмические  модели. Они удобны тем, что их параметры  экономически интерпретируется.

В экономических расчетах предпочтение отдается линейным моделям, что обусловлено следующими причинами:

1.Относительная простота и меньший объем вычислений ;

2.Массовые экономические процессы, как правило, подчиняются закону нормального распределения, которому свойственны линейные формы связи.

Факторы, включаемые в корреляционно-регрессивную модель, отбираются в несколько приемов: логический отбор в соответствии с экономическим содержанием; отбор существенных факторов по оценки их значимости по t-критерию Стьюдента либо F-критерию Фишера; последовательный отсев незначимых факторов. При расчетах множественной корреляции применяется степень точности 5%, что соответствует вероятности Р=0,05.

Корреляция рядов динамики имеет некоторые особенности. Кроме кратковременных колебаний (годовых, квартальных, месячных), в ряду имеется еще один компонент – общая тенденция в изменения показателей ряда (тренд). При этом имеет место автокорреляция – зависимость между последовательными (то есть соседними) значениями уровней динамического ряда.

Для проверки наличия автокорреляции в динамических рядах вычисляется критерий Дарбина – Уотсона , где  и - соответствующие уровни динамического ряда. Его значения находятся в пределах от 0 до 4. Если расчетные значения критерия близки к 2, значит, автокорреляция отсутствует; если dэ<0  - динамический ряд содержит автокорреляцию; если dэ = 4 – в динамическом ряду не существует автокорреляции.

Для определения выровненного ряда (тренда) с целью его последующего исключения чаще всего прибегают к механическому сглаживанию и аналитическому выравниванию методом наименьших квадратов.

Механическое сглаживание ведется с помощью скользящей, или подвижной средней. Этот способ состоит в вычислении каждой новой средней одного члена ряда слева и присоединении одного члена ряда слева и одного справа.

Кроме статистических характеристик (Табл.1.2) рассчитываются также их ошибки. Величина ошибки отражает диапазон, в котором находится та или иная статистическая характеристика.