Далее, напряжение на конденсаторе равно:

                               (2)

а сила тока связана с зарядом конденсатора соотношением

                                 (3)

Знак минус в последнем соотношении стоит потому, что выбранное положительное направление i соответствует уменьшению заряда конденсатора.

Если рассмотреть теперь реальный контур, сопротивление которого не равно нулю. В этом случае колебания описываются полным дифференциальным уравнением.

            (4)

Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами.

Предположим сначала, что 

                                 (5)

тогда решение есть:

           (6)

Здесь А и φ – по-прежнему постоянные, значения которых определяются начальными условиями, величина же ω равна:

                   (7)

В том, что (5) совместно с выражением (6) действительно является решением уравнения (4), проще всего можно убедиться, подставляя (6) в (4).

Полученное решение есть аналитическое выражение кривых затухающих колебаний б и в на рис.3. Кривая (в) соответствует большему значению коэффициента α. То есть решение формулы (6) можно истолковать как гармоническое колебание с круговой частотой ω и с амплитудой, которая не остается постоянной, а непрерывно уменьшается с течением времени. Показатель α называется коэффициентом затухания колебаний.

Вынужденные электрические колебания. Переменные токи

В данной главе ограничимся только цепями с сосредоточенными емкостями и индуктивностями и будем считать переменные токи. Иными словами, будем предполагать, что время τ, в течение которого электрические величины принимают установившиеся значения, мало по сравнению с периодом колебаний Т, и поэтому будем применять к мгновенным значениям всех электрических величин законы постоянного тока.

Далее, мы будем рассматривать только такие токи, сила которых меняется по синусоидальному закону:

Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, как мы знаем все технические генераторы переменных токов, имеют ЭДС, изменяющуюся по закону, очень близкому к синусоидальному, и потому создаваемые ими токи практически являются синусоидальными. Вторая причина заключается в том, что теория синусоидальных токов особенно проста и вследствие этого на примере таких токов можно особенно просто выяснить основные особенности электрических колебаний.

Электрические лампы в наших квартирах и на улице, холодильник и пылесос, телевизор и магнитофон работают, используя энергию электромагнитных колебаний.

На применении электромагнитных колебаний основана работа электромоторов, приводящих в действие станки на заводах и фабриках, движущих электровозы.

Во всех этих примерах речь идет об использовании переменного электрического тока. Переменный электрический ток в энергетических электрических цепях является результатом возбуждения в них вынужденных электромагнитных колебаний. Эти вынужденные колебания создаются генераторами переменного тока, работающими на электростанциях.

Переменный ток – это по существу вынужденные колебания электрических зарядов в проводнике под действием приложенной переменной ЭДС.

Сопротивление в цепи переменного тока

Рассмотрим процессы, происходящие в проводнике, включенном в цепь переменного тока. Если индуктивность проводника настолько мала, что индукционные электрические поля оказываются пренебрежимо малыми, то движение электрических зарядов в проводнике определяется действием электрического поля, напряженность которого в проводнике пропорциональна напряжению между концами проводника.

Теперь  рассмотрим случай, когда генератор переменного тока замкнут на внешнюю цепь, имеющую настолько малые индуктивность и емкость, что ими можно пренебречь. Положим, что в цепи имеется переменный ток.

Будем считать, что напряжение на зажимах цепи меняется по гармоническому закону:

Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения.

Рис. 5 Сопротивление в цепи переменного тока

И найдем, по какому закону изменяется напряжение между концами цепи а и  б. Применяя к участку аRб закон Ома, тогда получим:

Таким образом, напряжение на концах участка изменяется также по закону синуса, причем разность фаз между колебаниями тока и напряжения равна нулю.

Рис. 6  Колебания тока и напряжения на сопротивлении

Напряжение и ток одновременно достигают максимальных значений и одновременно обращаются в нуль (рис.6). Максимальное значение напряжения есть:

Если данное выражение принять к нашему случаю. Для этого выберем ось диаграммы таким образом, чтобы вектор, изображающий колебания тока, был направлен вдоль этой оси.

Рис.7 Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении

В дальнейшем мы будем называть эту ось «ось токов». Тогда вектор, изображающий колебания напряжения, будет направлен вдоль оси токов, так как разность фаз между током и напряжением равна нулю (рис.7). Длина этого вектора равна амплитуде напряжений.

Емкость в цепи переменного тока

Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи переменного тока с конденсатором. При включении конденсатора последовательно с источником постоянного тока в цепи возникает кратковременный импульс тока, заряжающий конденсатор напряжения источника, а затем ток прекращается.

Рис. 8 Конденсатор в цепи переменного тока

Если заряженный конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с выводами лампы накаливания, то конденсатор будет разряжаться, при этом наблюдается кратковременная вспышка лампы.

При включении конденсатора в цепь переменного тока, через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды проходить не будут. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора в проводах, соединенных с его выводами, появится переменный ток. Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока, кажется горящей непрерывно, так как человеческий глаз при высокой частоте колебаний силы тока не замечает периодического ослабления свечения нити лампы.

При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону:

     (1)

Заряд q  на его обкладках изменяется также по гармоническому закону:

  (2)

Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда q конденсатора, поэтому колебания силы тока в цепи будут происходить по закону:

(3)

Сравнение выражений (1) и (3) показывает, что гармонические колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на .

Произведение  является амплитудой колебаний силы тока:

Полученный результат имеет простой физический смысл. Напряжение на конденсаторе в какой-либо момент времени определяется существующим зарядом конденсатора.

Величину, обратную произведению циклической частоты ω на электроемкость С конденсатора, называется емкостным сопротивлением конденсатора. Обозначив емкостное сопротивление ХС, запишем:

Связь между амплитудным значением силы тока Im и амплитудным значением напряжения Um по форме совпадает с выражением закон Ома для участка цепи постоянного тока, в котором вместо электрического сопротивления R используется емкостное сопротивление конденсатора ХС;

Для действующих значений напряжения и силы тока выполняется такое же соотношение. Как и индуктивное сопротивление ХL катушки, емкостное сопротивление ХС конденсатора не является постоянной величиной. Его значение обратно пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда Im колебаний силы тока в цепи конденсатора при постоянной амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе возрастает прямо пропорционально частоте ω.

В заключение отметим, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля. В следующую четверть периода, при разрядке конденсатора, эта энергия возвращается в сеть.

Индуктивность в цепи переменного тока

В любом проводнике, по которому протекает переменный ток, возникает ЭДС самоиндукции. Поэтому ни одна электрическая цепь не обладает только активным сопротивлением.

Рассмотрим случай, когда участок цепи содержит только индуктивность. Обозначим по-прежнему через U = Ua - Uб разность потенциалов точек а и б (рис.9) и будем считать ток I положительным, если он направлен от а к б.

Рис.9 Индуктивность в цепи переменного тока

При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции, и поэтому мы должны применить закон Ома для участка цепи с ЭДС.

В нашем случае r = 0, а ЭДС самоиндукции;

Поэтому

Если сила тока в цепи изменяется по гармоническому закону:

ЭДС самоиндукции равна:

Так как , то напряжение на концах катушки оказывается равным:

Где - амплитуда напряжения.

Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока на , или, что то же самое, колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на .

Когда сила тока, возрастая, проходит через нуль, напряжение уже достигает максимума, после чего начинает уменьшаться; когда сила тока становится максимальной, напряжение проходит через нуль (рис.10).

Рис.10 Колебания тока и напряжения на индуктивности

Физическая причина возникновения этой разности фаз заключается в следующем. Если сопротивление участка равно нулю, то приложенное напряжение в точности уравновешивает ЭДС самоиндукции и поэтому равно ЭДС самоиндукции с обратным знаком. Но эта последняя пропорциональна не мгновенному значению тока, а быстроте его изменения, которая будет наибольшей в те моменты, когда сила тока проходит через нуль. Поэтому максимумы напряжения совпадают с нулями тока и наоборот. То есть при увеличении частоты или индуктивности сила тока в цепи уменьшается. Это свидетельствует об увеличении сопротивления цепи с ростом L и ω.

Резонанс в электрической цепи

При механических колебаниях резонанс выражен отчетливо при малых значениях коэффициента трения μ. В электрической цепи роль коэффициента трения играет активное сопротивление R. Ведь именно наличие этого сопротивления в цепи приводит к прекращению энергии тока во внутреннюю энергию проводника. Поэтому резонанс в электрическом колебательном контуре должен быть выражен отчетливо при малом активном сопротивлении R.

Если к выводам электрической цепи из последовательно соединенных активного сопротивления, конденсатора и катушки (рис.11) подвести переменное напряжение, то в цепи возникают вынужденные электрические колебания силы тока и напряжения.

Рис.11 Последовательное соединение активного сопротивления, конденсатора и катушки

Емкостное сопротивление ХС конденсатора и индуктивное сопротивление ХL катушки зависят от частоты ω приложенного напряжения. Поэтому при постоянной амплитуде Um колебаний напряжения амплитуда Im колебаний силы тока в цепи зависит от частоты ω переменного напряжения.

При постепенном увеличении частоты приложенного напряжения емкостное сопротивление ХС конденсатора уменьшается. Это приводит к возрастанию амплитуды колебаний силы тока.

Увеличение амплитуды колебаний силы тока в цепи при увеличении частоты приложенного напряжения продолжается до тех пор, пока индуктивное сопротивление катушки не станет равным емкостному сопротивлению конденсатора:

     (1)

При выполнении условия данной формулы при равенстве индуктивного сопротивления катушки емкостному сопротивлению конденсатора, и одинаковой силе тока одинаковыми оказываются и амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе и катушке. Колебания напряжения на катушке и конденсаторе противоположны по фазе, поэтому сумма напряжений на них при выполнении условия данной формулы в любой момент времени равна нулю. В результате напряжение на активном сопротивлении при резонансе оказывается равным полному напряжению:

А сила тока в цепи достигает максимального значения, то есть наступает резонанс.

То есть при дальнейшем увеличении частоты индуктивное сопротивление катушки начинает превышать емкостное сопротивление конденсатора. Увеличение индуктивного сопротивления приводит к уменьшению амплитуды колебаний силы тока (рис.12).

Рис.12 Амплитуда силы тока при резонансе

Из уравнения (1) следует, что электрический резонанс в последовательной цепи, содержащей конденсатор и катушку, наступает при частоте ω0, равной:

Видно из выражения, что резонансная частота ω0 электрической цепи совпадает с собственной частотой свободных электрических колебаний в этой цепи.

Резонансом в электрическом колебательном контуре называется явление резкого возрастания, амплитуды вынужденных колебаний силы тока при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.

Явление электрического резонанса используется при осуществлении радиосвязи. Радиоволны от различных передающих станций возбуждают в антенне радиоприемника переменные токи различных частот, так как каждая передающая радиостанция работает на своей частоте. С антенной индуктивно связан колебательный контур. Вследствие электромагнитной индукции в контурной катушке возникают переменные ЭДС соответствующих частот и вынужденные колебания силы тока этих же частот. Но только при резонансе колебания силы тока в контуре и напряжения на контуре будут значительными. Имея это в виду, говорят, что из колебаний всех частот, возбужденных в антенне, контур выделяет только колебания, частота которых равна собственной частоте контура. Настройка контура на нужную частоту ω0 обычно осуществляется путем изменения емкости конденсатора. В этом и состоит настройка радиоприемника на определенную радиостанцию.

Заключение

При электромагнитных колебаниях происходят периодические изменения электрического заряда, силы тока и напряжения. Электромагнитные колебания подразделяются на свободные, вынужденные и автоколебания.

Электромагнитные колебания высокой частоты можно получить с помощью транзисторного или лампового генераторов, являющихся автоколебательной системой, Эта система вырабатывает незатухающие электромагнитные колебания за счет энергии источника постоянного напряжения. Таким источником может быть батарея гальванических элементов или выпрямитель.

То есть в современной физике выделился специальный раздел – «Физика колебаний». В нем колебания различной природы рассматриваются с единой точки зрения. Физика колебаний имеет очень большое практическое значение. Она занимается исследованием вибраций машин и механизмов; ее выводы лежат в основе электротехники переменных токов и радиотехники.

Литература

1.     Калашников С.Г. «Электричество»., М., 1964г., -668с

2.     Соколович Ю.А., Богданова А.С. «Справочное руководство по курсу физики средней школы».- Харьков: Ранок, 1999г., -480с

3.     Кабардин О.Ф., «Физика: Справ. материалы: Учеб. пособие для учащихся». – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1991г., -367с

4.     Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. «Физика: Учеб. для 11кл. сред. шк». –М.: Просвещение., 1991г., -254с

5.     Гончаренко С.У. «Физика 11кл».: -К., 1998г., -287с

Страницы: 1, 2