Часть II. Физический маятник
2.1. Теоретическая часть
Физическим маятником называется твердое тело,
совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной
оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис.2).
Если маятник выведен из положения равновесия на
некоторый угол j, то составляющаясилы тяжести уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все
силы приложены к центру масс тела. При этом
.
(7)
Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При
достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sinj »j, поэтому сила Ft» -mgj и она ведет себя подобно
упругим силам.
Поскольку маятник в процессе колебаний
совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано
основным законом динамики вращательного движения
, (8)
где М – момент силы Ft относительно оси О, J – момент инерции маятника
относительно оси О, - угловое ускорение маятника.
Момент силы в данном случае равен
M = Ft×l = -mgj×l
, (9)
где l – расстояние между точкой подвеса и центром
масс маятника.
С учетом (9) уравнение (8) можно записать в виде
(10)
или
, (11)
где
Решением дифференциального уравнения (11)
является функция
j =j0×cos(w0t+a)
, (12)
позволяющая определить положение маятника в любой
момент времени t. Из выражения (12) следует, что при малых колебаниях
физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний j0, циклической частотой , начальной фазой a и периодом
T=2p/w0= 2p{J0+ml2)/mgl}1/2,
(13)
Анализ формулы (13) позволяет сформулировать
следующие закономерности колебаний физического маятника:
При малой амплитуде и в
отсутствие сторонних сил
1. период колебаний физического
маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения
(качания);
2. период колебаний физического
маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний;
3. период колебаний физического
маятника сложным образом зависит от положения центра масс маятника относительно
точки подвеса[1].
2.2. Экспериментальная часть
Применяемые в данной работе физические маятники
представляют собой:
1) однородный стержень, достаточно длинный, чтобы
момент инерции относительно центра его массы можно было рассчитывать по формуле
J0 = ml2/12;
2) плоские тела правильной геометрической формы,
момент инерции которых может быть рассчитан исходя из их геометрии и массы.
Стержни закрепляются в специальной оправе с
призматическим основанием, и после установки на платформу превращаются в
маятники.
Плоские тела имеют отверстия для подвешивания на
ось вращения.
Период колебаний маятника измеряют с помощью
секундомера.
Задание 1. Изучение зависимости периода
колебаний физического маятника от его
момента инерции и расстояния между осью качаний и
центром тяжести
маятника
1. Закрепите оправу на конце стержня и установите его на вилку.
Измерьте расстояние l1 от оси качаний до центра тяжести стержня.
2. Отклоните стержень на 5 -6° и измерьте время 5-10
полных колебаний. Определите период колебаний.
3. Переместите оправу ближе к центру тяжести стержня. Измерьте
расстояние l2.
Снова измерьте период колебаний стержня.
4. Тем же образом необходимо провести 5-6 опытов, постепенно перемещая
опорную призму к середине стержня. Все результаты измерений занесите в таблицу
2.1. отчета.
4. По результатам опыта вычислите величины l2 и (T2l).
5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l)
отображает сложную зависимость периода колебаний физического маятника от его
момента инерции и расстояния до оси качания. Второй график – линеаризация той
же зависимости. Если точки на втором графике ложатся на прямую с небольшим
разбросом, что объясняется погрешностями измерений, то можно сделать вывод о
правильности формулы (13) для периода колебаний физического маятника.
Задание 2. Определение моментов инерции тел различной формы методом
колебаний.
1. Из набора тел к работе возьмите (по указанию преподавателя) одно и
измерьте период его колебаний относительно произвольной оси.
2. С помощью формулы (16) вычислите момент инерции тела относительно
оси качаний.
3. Произведите необходимые геометрические измерения и, зная массу
тела, вычислите момент инерции тела относительно центра масс. С помощью теоремы
Гюйгенса – Штейнера рассчитайте момент инерции тела относительно оси,
проходящей через ось качаний.
4. Величину моментов инерции, полученных при измерении, сравните с
рассчитанными теоретически. Для корректного заключения следует оценить
погрешности измеренного и вычисленного моментов инерции. Относительная
погрешность измеренного момента инерции находится по формуле:
(14)
Относительная погрешность вычисленного момента инерции
определяется из расчетной формулы для заданного вам тела и погрешностей,
входящих в нее величин.
Контрольное задание. Определение ускорения свободного падения и длины стержня
С помощью полученного графика зависимости (T2l)
= f(l2), можно определить ускорение свободного падения и
длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует определить угловой
коэффициент наклона прямой и величину отрезка, отсекаемого прямой от оси OY:
(15)
При вычислении длины стержня используйте экспериментально полученное
значение ускорения свободного падения.
В выводе сравните полученные величины g и d с
их действительными значениями.
Часть III. Крутильный
маятник
3.1. Теоретическая часть
Крутильный маятник представляет собой стержень,
шнур или проволоку, один, (как правило – верхний) конец которой закреплен. К
нижнему концу подвешивается тело произвольной формы. Если повернуть на
некоторый угол груз с проволокой вокруг ее длинной (вертикальной) оси, и
отпустить, то в системе возникнут крутильные колебания. Дифференциальное
уравнение малых крутильных колебаний в отсутствие трения имеет привычный вид
(16)
По аналогии с пружинным маятником, для которого (k – коэффициент упругости, m – масса, как мера инертности), для
крутильного маятника может быть записано , где f – коэффициент упругости кручения
подвеса, J – момент инерции груза.
Таким образом, если масса проволоки ничтожна в
сравнении с грузом, то период гармонических колебаний крутильного маятника
зависит от момента инерции подвешенного тела и от упругих свойств материала
подвеса:
(17)
Между коэффициентом f упругости кручения
образца и модулем сдвига G материала этого образца
существует следующее соотношение
,
(18)
где d – диаметр цилиндрической проволоки, L –
ее длина.
3.1. Экспериментальная часть
В данной работе крутильный маятник (рис 3)
представляет собой шнур или проволоку длиной до 1 м, верхний конец которой
закреплен в зажиме, например, прибит к верхней части проема двери. На нижнем
конце имеется легкая горизонтальная платформа, в которой закрепляется груз.
Грузы имеют правильную геометрическую форму (стержни) и известную массу, что
облегчает расчет их моментов инерции.
Задание 1. Определение зависимости периода колебаний
крутильного маятника от момента инерции груза.
1. Штангенциркулем измерьте диаметр проволоки, а
линейкой ее длину.
2. Измерьте длину стержня и, по известной массе,
рассчитайте его момент инерции.
3. Укрепите стержень в платформе так, чтобы он
располагался горизонтально, а центр его тяжести совпадал с линией подвеса.
4. Сообщите маятнику вращательный импульс так, чтобы
он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой. Измерьте суммарное
время 5-10 колебаний маятника. Вычислите период колебаний.
5. Проделайте подобные измерения и расчеты с другими
телами из набора. Результаты занесите в таблицу 3.1 отчета.
6. Постройте график зависимости T(J) в координатных осях [J,T2].
7. По виду графика сделайте вывод о характере
зависимости T(J) для крутильного маятника.
Задание 2. Определение модуля сдвига материала методом крутильных
колебаний
1. Используя вычисленный ранее момент инерции
стержня и период колебаний по формуле (17) рассчитайте коэффициент упругости
кручения f подвеса.
2. По формуле (18) рассчитайте модуль сдвига G материала проволоки.
3. Замените проволоку (материал – по указанию
преподавателя) и, проделав необходимые измерения, определите коэффициент
упругости кручения f и модуль сдвига G ее материала.
4. Рассчитайте абсолютную и относительную
погрешности измерений величин f и G.
5. Сравните полученные значения модуля сдвига с
табличными значениями и сделайте вывод о точности проделанных измерений. В
выводе следует также проанализировать, какая из измеряемых величин вносит
наибольшую погрешность в результат измерения.
Задание 3. Определение моментов инерции тел методом крутильных
колебаний
1. Подвесив исследуемое тело (кольцо с указанной на
нем массой) к проволоке и известным коэффициентом упругости кручения, измерьте
период колебаний.
2. По формуле 15 рассчитайте момент инерции
исследуемого тела относительно оси, совпадающей с осью проволоки.
3. Рассчитайте момент инерции кольца по его массе и
радиусу относительно этой же оси вращения.
4. Сравните экспериментальный и теоретический
результаты.
Контрольные
вопросы
1. Дайте определение гармонических колебаний и
приведите примеры.
2. Какие величины характеризуют гармонические
колебания?
3. Запишите дифференциальное уравнение свободных
гармонических колебаний.
4. Дайте строгое определение математического
маятника и опишите закономерности его колебаний.
5. Какие упражнения были выполнены вами с этим
маятником?
6. Дайте строгое определение физического маятника
и опишите закономерности его колебаний.
7. Какие упражнения были выполнены вами с
физическим маятником?
8. Дайте строгое определение крутильного маятника
и опишите закономерности его колебаний.
9. Какие упражнения были выполнены
вами с крутильным маятником?
10.
Исходя
из графика T= f(l) для физического маятника,
определите при каком отношении (l/d) период колебаний стержня
минимальный.
Отчет о выполнении
лабораторной работы № 1
«Изучение
колебательного движения»,
выполненной студент …......
курса, …...... Ф. И. …........
группа
….
«…»…………. 200…г.
Цель работы: ……………………………………………………………………………………
Часть I.
Математический маятник
Задание 1. Проверка влияния массы
математического маятника на его период
колебаний
Длина маятника l
=…м.
Первоначальное
отклонение j =…
Таблица 1.1.
№ п/п
|
m, кг
|
N
|
t,с
|
T,с
|
1
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
Вывод: …………………………………………………………………………………………….
Задание 2. Изучение зависимости
периода колебаний математического маятника
от его длины
Первоначальное отклонение j =…
Таблица 1.2.
График зависимости T2=f(l)
Таблица
1.3. МНК
Обозначения: l
= x , T2 = y
№ п/п
|
xi
|
|
|
yi
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
|
S =
|
S =
|
=
|
S =
|
S =
|
S =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|