Если мы, например, возьмем А, В≠0, b = 0, то Aeik0X может рассматриваться как падающая волна, Be-ik0X —как отраженная, аe-ik0X — как проходящая. Если бы мы взяли b ≠ 0, то это означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа.

Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда, мы должны взять b = 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А=1. Уравнения (9) принимают тогда вид                                           ' '

 (10)

Из этих алгебраических уравнений находим α, β, В и a:)

 (11 ), (12), (13), (14)

Если энергия частицы Е больше высоты барьера Um, то показа­тель преломления пт действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны | В| 2 равна

а интенсивность проходящей волны

 (15)

Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне, (JQ), отраженной (Jr) и проходящей (Jd ). Получаем:

 (16)

Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих

              (17)

называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих

              (18)

называют коэффициентом прозрачности барьера.

Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока) следует, что

                                (19)

 (приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредст­венно убедиться в справедливости этого равенства).

По классической механике, если E>Um, должно иметь место R=0, D=1 барьер совершенно прозрачен. Из (15) следует, что  | В| 2 ≠0 поэтому в квантовой механике R > О, D < 1. Частицы частью отражаются так же, как отражаются световые волны
на границе двух сред.

Если энергия частицы Е меньше высоты барьера Um , то по классической механике имеет место полное отражение D = 0, R=1. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.

Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики пока­зывает, что в действительности световое поле при полном отра­жении все же проникает в среду, от которой происходит отражение и если эта среда представляет собой очень тонкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в слу­чае Е < Um (случай отражения) приводит к выводу, аналогичному выводу волновой оптики. Действительно, если E < Um, то показатель преломления пт является, чисто пт мнимой величиной (см. 4). Поэтому мы положим

 (20)

Внося это выражение для пт в (14), вычислим теперь |а|2. Тогда, считаяполучаем

 (21)

Обозначая первый дробный множитель через Do (он не очень отличается от 1) и имея в виду значение k6, получаем

 (22)

Таким образом, при E<.Um, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.

Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельного эффекта.

Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное зна­чение лишь в тех случаях, когда D не слишком мал, т. е. когда

 (23)

Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встре­титься лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для Um — E ~ 10-11 эрг (около десяти электрон-вольт), μ ~ 10-11  (масса электрона) и l ~ 10-11 cм, из (22) получим D ~ e-1. Но если мы возьмем, например, l=1 см, то из той же формулы получим,. Увеличение массы частицы и превышение Um над Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно пока­зать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энер­гии частицы — квантовая механика переходит в классическую.

Формулу (22) для коэффициента прозрачности D, выведен­ную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и на случай барьера произвольной формы. Произведем сейчас это обобщение простым путем.

Пусть имеем потенциальный барьер U(x), изображенный на  рис. 1,  Представим его приближенно в виде совокупности прямоугольных барьеров с шириной dx и высотой U (х). Эти барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Е, вступает в барьер в точке х = х1 и покидает его в точке х = х2. Согласно (22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарных барьеров равен

(потенциальная энергия U (х) должна быть достаточно плавной, чтобы dx можно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности для всего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для D' сложатся, и мы получим

 (24)

§ 2. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»

Прохождение частиц через потенциальные барьеры представ­ляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциаль­ного барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера Um, должна иметь отрицательную кинетическую энергию , и полная энергия, как это имеет место в классической меха­нике,  является  суммой энергий  кинетической и потенциальной:

В области,  где, U (х) >Е,  это бессмысленно, так как импульс р есть действительная величина. Как раз эти области, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы. Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой «запретной» области. Таким образом, полу­чается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кине­тическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннель­ного эффекта».

На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен.  Дело  в том,  что,   поскольку туннельный эффект есть явление квантовое (при ħ → 0 коэффициент прозрачности D (24) стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рам­ках квантовой механики. Полную же энергию частицы можно
рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий
только на основе классической механики. Формула
предполагает, что одновременно знаем величину как кинетиче­ской энергии Т, так и потенциальной U{х). Иными словами, мы приписываем   одновременно определенное   значение координате частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой меха­нике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую
в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и парадокс, основанный на возможности представить полную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция импульса) и потенциальной энергии (функция координат).

Остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера.          I

Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если E<.Um; однако если фиксируется координата частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопределенности, дополнительная дисперсия  в импульсе так что уже нельзя  утверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е.

Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину I, определяемую равенством (23). Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью ∆x < l. Но тогда неизбежно возникает дисперсия импульса

Подставляя сюда l2 из (23), находим     (2.1)

т. е. изменение кинетической энергии  частицы,  вносимое вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, кото­рой ей недостает до высоты барьера Um. Приведем еще пример, иллюстрирующий это утверждение. Определить координату частицы, находящейся внутри потенциального барьера таким путем,  что будем посылать - узкий пучок света в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы.  Если пучок рассеется, то значит, на его пути попалась частица.

Как объяснялось выше, точность нашего измерения должна быть такова ∆X<l; с другой стороны, нельзя создать пучок света, ширина которого была бы меньше длины световой волны λ  а следовательно, длина волны света должна быть меньше l, т. е.

 (2.2)

так как , где ω—частота  световых колебаний,  а с- скорость света, то отсюда следует, что  

Встречающиеся   в нерелятивистской  механике энергии  должны  быть меньше собственной, энергии частицы μс2, поэтому

 (2.3)

т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно боль­шой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.

§ 3. Холодная эмиссия электронов из металла

Если к металлу приложить большое электрическое поле (порядка 106 в/см) так; чтобы он являлся катодом, то такое поле вырывает электроны; получается электрический ток. Это явление получило название «холодной эмиссии». Она может быть легко истолковано на основе квантовой теории прохождения частиц через потенциальный ба­рьер и притом, в общих чертах, в согласии с опытом.

Рассмот­рим теорию этого эффекта, пред­ставляющую одно из наиболее
простых приложений теории прохождения через потенциальный
барьер. Обратимся сначала к картине движения электронов в
металле в отсутствие внешнего электрического поля.

Чтобы удалить электрон из металла, необходимо затратить некоторую работу. Следовательно, потенциальная энергия элек­трона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболее простым образом этот факт может быть выражен, если мы примем потен­циальную энергий электрона U (х) внутри металла равной 0, а вне металла равной С>0, так что потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рис. 1. Схематизируя таким образом истинный ход потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле. На самой деле, потенциал внутри металла меняется от точки к точке с периодом, равным постоян­ной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку U (х) = О, внутри металла нет никаких сил, действующих на электрон.

Здесь рассмотрим вопрос о степени правильности такого приближений. Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как свободно движущихся ча­стиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в метал­лах и поэтому, в определенных рамках, является законным. Распре­деление по энергиям электронов этого газа таково, что подавляю­щее большинство электронов имеет энергию Е < С (при абсолютном нуле температуры электроны заполняют все уровни энергии от Е = 0 до Е = ε0 < С где ε0 есть так нулевая энергия; Поток электронов металла, падающий изнутри металла на его поверхность, обозначим через Jo. Так как электроны имеют энергию Е < С, то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место на границе металл — вакуум.

Представим теперь себе, что наложено электрическое поле ع, направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной энергии электрона U (х) (рис. 1) добавится потенциальная энер­гия электрона в постоянном поле ع, равная - е عх (заряд электрона равен — е). Полная потенциальная энергия электрона будет тецерь равна

(3.1)

Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на рис. 1 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля, поэтому изменение U (х) произой­дет лишь вне металла.

Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По класси­ческой механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его энергия Е > С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической механике при нало­жении поля получиться не, должно. Однако, если поле ع доста­точно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с рез­ким изменением потенциальной энергии и классическая механика будет неприменима: электроны будут проходить через потенциаль­ный барьер.

Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для элек­тронов, имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Ех. Согласно (1.24) дело сводится к вычислению интеграла

где хх и х2 — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть (рис. 1), очевидно, х1 = 0, так как для всякой энергии Ех < С горизонтальная прямая Ех, изображающая значение энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии в точке х = 0. Вторая точка поворота х2 получится, как видно из чертежа, при

отсюда

следовательно,

 (3.2)

Введем переменную интегрирования.

Тогда   мы получим

 (3.3)

Таким образом, коэффициент прозрачности D для электронов, обладающих энергией движения  по оси ОХ,  равной  Ех,  равен

 (3.4)

Коэффициент этот несколько различен для разных Ех, но так как  С > ЕХ, то средний (по энергиям электронов) коэффициент проз­рачности будет иметь вид

 (3.5)

где  и ع0 — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной эмиссии будет равен  

Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами.

§4. Трехмерный потенциальный барьер. Квазнстационарные состояния.

Рассмотрение задачи о прохождении через потенциальный барьер, отличалось той особенностью, что речь шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих на  своем   пути  потенциальный  барьер.   В  дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация  атомов)  нам встретятся такие случаи, когда речь будет идти о  потоке  частиц, выходящих из неко­торой ограниченной обла­сти    пространства    (ядро атома, атом),  окруженной, потенциальным барьером. Пусть сфера с центром в 0 и радиусом r0 (рис. 1,а)

Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r0)

Есть та поверхность, на   которой    потенциальная энергия  U (r) принимает максимальное значение, так что для r < r0, U < Um и для r > r0, U < Um. Соответствующий пример графика U(г) дан на рис. 1, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие волны.

Страницы: 1, 2, 3