Тунельные и барьерные эффекты

Московский Педагогический Государственный Университет

Курсовая работа по квантовой механике на тему:

Туннельные и барьерные эффекты.

Приняла:

Выполнила:

студентка 4-го курса  1-ой группы

физического факультета

Москва 2004 год.       

Введение

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ (туннелирование) — квантовый переход системы через область движения, запрещённую классической механикой. Типичный пример такого процесса— прохождение частицы через потенциальный барьер, когда её энергия Е меньше высоты барьера. Импульс частицы р в этом случае, определяемый из соотношения , где U(x)— потенциальная. энергия частицы (т — масса), был бы в области внутри барьера, Е<U(x), мнимой величиной. В квантовой механике благодаря неопределённостей соотношению между импульсом и координатой подбарьерное движение оказывается возможным. Волновая функция частицы в этой области экспоненциально затухает, и в квазиклассичесическом случае её амплитуда в точке выхода из-под барьера мала.

Одна из постановок задач о прохождении потенциального барьера соответствует случаю, когда на барьер падает стационарный поток частиц и требуется найти величину прошедшего потока. Для таких задач вводится коэффициент прозрачности барьера (коэффициент туннельного перехода) D, равный отношению интенсивностей прошедшего и падающего потоков. Из обратимости по времени следует, что коэффициент прозрачности для переходов в «прямом» и обратном направлениях одинаковы. В одномерном случае коэффициент прозрачности может быть записан в виде

(1)

интегрирование проводится по классически недоступной области, х1,2 - точки поворота, определяемые из условия U(х1,2) = Е. В точках поворота в пределе классической механики импульс частицы обращается в нуль. Коэффициент. Do требует для своего определения точного решения квантово-механической. задачи.

При выполнении условия квазиклассичности

(2)

на всём протяжении барьера, за исключением непосредственной. окрестностей точек поворота х1,2, коэффициент Do слабо отличается от единицы. Существенное, отличие Do от единицы может быть, например, в тех случаях, когда кривая потенциальной энергии с одной из сторон барьера идёт настолько круто, что квазиклассическое приближение там неприменимо, или когда энергия близка к высоте барьера (т. е. выражение, стоящее в экспоненте, мало). Для прямоугольного барьера высотой Uo и шириной а коэф. прозрачности определяется формулой

æ

где,

Основание барьера соответствует нулевой энергии.

В квазиклассическом случае D мал по сравнению с единицей.

Другая постановка задачи о прохождении частицы через барьер состоит в следующем. Пусть частица в начальный момент времени находится в состоянии, близком к т. н. стационарному состоянию, которое получилось бы при непроницаемом барьере (например, при барьере, приподнятом вдали от потенциальной ямы на высоту, большую энергии вылетающей частицы). Такое состояние наз. квазистационарным. Аналогично стационарным состояниям зависимость волновой функции частицы от времени даётся в этом случае множителем ехр(-iEt/). В качестве энергии здесь фигурирует комплексная величина E, мнимая часть которой определяет вероятность распада квазистационарного состояния в единицу времени за счёт Туннельного эффекта.:

(3)

В квазиклассическом приближении вероятность, даваемая формулой (3), содержит экспоненциальный множитель того же типа, что и в формуле (1). В случае сферически симметричного потенциального барьера вероятность распада квазистационарного состояния с орбит, квантовым числом l определяется формулой

          (4)

Здесь r1,2—радиальные точки поворота, подынтегральное выражение в которых равно нулю. Множитель  зависит от характера движения в классически разрешённой части потенциала, например, он пропорционален классической частоте колебаний частицы между стенками барьера.

Туннельный эффект позволяет понять механизм α-распада тяжёлых ядер. Между α-частицей и дочерним ядром действует электростатическое отталкивание, определяемое формулой U(r)=b/r. На малых расстояниях порядка размера а ядра ядерные силы таковы, что эффективный потенциал можно считать отрицательным: U(r)= - Uo. В результате вероятность α - распада даётся соотношением

(5)

Здесь,

Е—энергия вылетающей α -частицы.

Туннельный эффект. обусловливает возможность протекания термоядерных реакций на Солнце и звёздах при температуре в десятки и сотни млн. градусов, а также в земных условиях в виде термоядерных взрывов или УТС.

В симметричном потенциале, состоящем из двух одинаковых ям, разделённых слабопроницаемым барьером, Туннельный эффект. приводит к интерференции состояний в ямах, что приводит к слабому двойному расщеплению дискретных уровней энергии. Для бесконечного периодичного в пространстве набора ям каждый уровень превращается в зону энергий. Таков механизм образования узких электронных энергетических зон в кристаллах с сильной связью электронов с узлами решётки.

Если к полупроводниковому кристаллу приложено электрическое. поле, то зоны разрешённых энергий электронов становятся наклонными в пространстве. Тем самым уровень пост, энергии электрона пересекает все зоны. В этих условиях становится возможным переход электрона из одной энергетической зоны в другую за счёт Туннельный эффект. Классически недоступной областью при этом является зона запрещённых энергий. Это явление наз. пробоем Зинера. Квазиклассическое приближение отвечает здесь малой величине напряжённости электрического поля. В этом пределе вероятность пробоя Зинера определяется в основном экспонентой, в показателе которой стоит большая отрицательная величина, пропорциональная отношению ширины запрещённой энергетической зоны к энергии, набираемой электроном в приложенном поле на расстоянии, равном размеру элементарной ячейки.

Похожий эффект проявляется в туннельных диодах, в которых зоны наклонены благодаря полупроводникам р- и n-типа по обе стороны от границы их соприкосновения. Туннелирование осуществляется благодаря тому, что в зоне, куда переходит носитель заряда, имеется конечная плотность незанятых состояний.

Благодаря Туннельному эффекту возможен электрический ток между двумя металлами, разделёнными тонкой диэлектрической перегородкой. Эти металлы могут находиться как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии. В последнем случае может иметь место Джозефсона эффект.

Туннельный эффект. обязаны такие явления, происходящие в сильных электрических полях, как автоионизация атомов и автоэлектронная эмиссия из металлов. В обоих случаях электрическое поле образует барьер конечной прозрачности. Чем сильнее электрическое поле, тем прозрачнее барьер и тем сильнее электронный ток из металла. На этом принципе основан сканирующий туннельный микроскоп - прибор, измеряющий туннельный ток из разных точек исследуемой поверхности и дающий информацию о характере её неоднородности.

Туннельный эффект. возможен не только в квантовых системах, состоящих из одной частицы. Так, например, низкотемпературное движение дислокаций в кристаллах может быть связано с туннелированием конечной части дислокации, состоя из многих частиц. В такого рода задачах линейную дислокацию можно представить как упругую струну, лежащую первоначально вдоль оси у в одном из локальных минимумов потенциала V(x, у). Этот потенциал не зависит от у, а его рельеф вдоль оси х представляет со последовательность локальных минимумов, каждый из которых находится ниже другого на величину, зависящую от приложенного к кристаллу механического напряжения. Движение дислокации под действием этого напряжения свода к туннелироваиию в соседний минимум определенного отрезка дислокации с последующим подтягиванием туда оставшейся её части. Такого же рода туннельный механизм может отвечать за движение волн зарядовой плотности в диэлектрике Пайерлса.

Для расчётов эффектов туннелирования таких многорамерных квантовых систем удобно использовать квазикласическое представление волновой функции в виде ψ~exp(iS), S—классическое действие системы. Для туннельного эффекта. существенна мнимая часть S, определяющая затухание волновой функции в классически недоступной области. Для её вычисления используется метод комплексных траекторий.

Квантовая частица, преодолевающая потенциальный барьер может быть связана с термостатом. В классической механике это соответствует движению с трением. Тем самым, ; описания туннелирования необходимо привлечение теории, получившей название диссипативной квантовой механики. Такого рода соображения необходимо использовать для объяснения конечного времени жизни токовых состояний контактов Джозефсона. В этом случае происходит туннелирование эффекта. квантовой частицы через барьер, а роль термостата играют нормальны электроны.

§ 1. Прохождение микрочастиц через потенциальные барьеры.

 Постановка проблемы и простейшие случаи.

Если мы имеем две области пространства, в которых потенциальная энергия частицы меньше, нежели на поверхности, раз­деляющей эти  области, то мы говорим,  что области разделены потенциальным барьером.

Простейшим примером потенциального барьера может служить барьер в одном измерении, изображенный на рис.1. По оси ординат отложена потенциальная энергия U (х) в функции коор­динаты частицы х. В точке х0 потенциальная энергия имеет мак­симум Um. Все пространство - ∞ < Х < + ∞ делится в этой точке на две области; х < х0 и х > х0 , в которых U<Um. Зна­чение термина «потенциальный барьер» сейчас же выяснится, если мы рассмотрим, движение частицы в поле U (х) на основе классической механики. Полная энергия частицы E равна

  (1)

где р —импульс частицы, а μ – её масса. Решая  (1) относительно импульса, получим          

     (2)

Знаки ± следует выбрать в зависимости от направления движе­ния частицы. Если энергия частицы Е больше «высоты» барьера Um, то частица беспрепятственно пройдет барьер слева направо, если начальный импульс р>0, или в противоположном направлении, если начальный импульс р < 0.

Допустим, что частица движется слева, имея полную энергию Е, меньшую U т. Тогда в некоторой точке xt потенциальная энергия U (х1)=Е, p(x1)=0, частица остановится. Вся ее энер­гия обратится в потенциальную, и движение начнется в обратном порядке: х1 есть точка поворота. Поэтому при E<.Um частица, движущаяся слева, не пройдет через область максимума потенциала (х = х0) и не проникнет во вторую область х > х0 Подобным же образом, если частица движется справа налево, имея  Е < Um  , то она не проникнет в область за второй точкой поворота х2,