,.                                 (5)

Теорема 1.   Пусть для некоторого aÎ[0,1]  выполняется следующее неравенство

Pa(t)Q1-a(t)£1   (tÎW)                                         (6)

и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:

10) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

20) в неравенстве (6)  строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества wÎW,  mesw>0, оператор А – неразложим в пространстве Lp(W).

Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве Lp(W) меньше чем единица:

r(A)<1.                                                     

Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W).

Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса  посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида

   ,

где  - фиксированный элемент из , вытекает оценка снизу

для спектрального радиуса  линейного положительного оператора , а из неравенства вида

                                                 (7)

(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента  и конуса , или оператора ), вытекает оценка сверху для  вида

.                                                   (8)

Для этого, например, достаточно, чтобы конус  был телесным и нормальным, и чтобы  был внутренним элементом конуса . Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа  (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки  сверху, оценка  снизу верна при единственном предположении о том, что .

Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида

,                                                (9)

где  - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве ? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка

?                                                      (10)

При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов  и  на фиксированном элементе конуса .

Теорема 2. Пусть конус  - телесен и нормален,  - внутренний элемент конуса .  и  - линейные положительные операторы, действующие в , причем они коммутируют, т.е.

.                                                  (11)

Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе  конуса  выполняется неравенство

,

тогда для спектральных радиусов  и  операторов  и  справедливо следующее неравенство:

 .

Доказательство.

Перейдем в пространстве  к - норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем , так как конус  телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в , т.к. конус  нормален. Тем самым пространство  будет полно по -норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора  справедливо равенство

.                                          (12)

Действительно, из неравенства

,

справедливого для любого , в виду положительности оператора  следует, что

,

откуда, учитывая монотонность -нормы, получим

,

и, следовательно, по определению нормы оператора

.                                            (13)

С другой стороны, из свойств нормы следует, что

.                             (14)

Из (14) и (13) следует равенство (12).

Далее, согласно условию (9), свойству (11) и положительности оператора , имеем

.           (15)

По индукции легко доказать, что для любого  имеет место неравенство

,

и в силу монотонности -нормы

.

Поэтому, согласно (12),

.                                  (16)

Т.к. в силу эквивалентности -нормы и нормы пространства  можно написать, что

, ,                             (17)

то из неравенства (16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.

Замечание. Теорема 2 верна также и в том случае, когда операторы  и  полукоммутируют (т.е. ). В доказательстве выражение (15) перепишется в виде:

.

Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих неравенств. Т.е. условия, при которых из

следует оценка

.                                             (18)

Прежде, чем перейти к рассмотрению строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.

Теорема 3. Пусть  и  - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. . Пусть оператор  неразложим, тогда операторы  и  имеют общий собственный вектор.

Доказательство.

Пусть  - собственный вектор оператора , отвечающий спектральному радиусу . Т.к. операторы  и  коммутируют, то для любого  имеем:

.

Тогда

,

следовательно  - собственный вектор оператора , . Т.к.  - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]:

, 

где .

Тем самым у оператора  есть собственный вектор . Т.е. получаем, что у операторов  и  есть общий собственный вектор .

Теорема доказана.

Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.

Теорема 4. Пусть дана некоторая коммутативная совокупность  линейных положительных операторов, из которых хотя бы один  является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал , такой, что  для всех , где  для каждого . При этом .

Доказательство.

На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из  имеют общий собственный вектор  (), причем .

 является собственным значением соответствующего оператора  и собственным значением сопряженного оператора , которому отвечают собственный вектор  оператора  и собственный функционал  оператора , где - сопряженная к  полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов . Таким образом, получим

 и .

Теорема доказана.

Приведем достаточно известный [22] результат.

Теорема 5. Если , то уравнение

                                            (19)

имеет единственное решение

,

которое является пределом последовательных приближений

                          (20)

при любом .

Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана

.

Перейдем к рассмотрению строгих оценок.

Теорема 6. Пусть  и  - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. , и пусть оператор  - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса  выполнено неравенство

, ().

Пусть выполнено одно из условий:

1)                вполне непрерывен,  - квазивнутренний элемент ;

2)               конус  телесный и нормальный,  - внутренний элемент ;

3)               оператор  -ограничен сверху, конус  воспроизводящий и нормальный;

4)                оператор  -ограничен сверху, конус  воспроизводящий и нормальный,  - квазивнутренний элемент ;

5)               оператор  допускает представление

,

где  - вполне непрерывен, , конус  воспроизводящий и нормальный,  - квазивнутренний элемент ; существует такой элемент  , что .

Тогда справедливо строгое неравенство

.

Доказательство.

В силу теоремы 5 уравнение

имеет решение

.

Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству

.                                      (21)

Т.к.  - неразложим, то из неравенства (21) следует, что - квазивнутренний элемент . Поэтому при любом ненулевом  выполнено неравенство

.                                  (22)

В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал , что . На основании теоремы 3 найдется такой  собственный элемент  оператора , отвечающий собственному значению , который будет также собственным элементом оператора , отвечающим некоторому собственному значению  оператора . Тогда

,

и из (22) вытекает

.

Откуда

.

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы  и  полукоммутируют, т.к. если операторы  и  полукоммутируют, и оператор  неразложим, то имеет место равенство:

,

т. е. операторы  и  коммутируют.

Замечание 2. Используя равенство

можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень  удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства

вытекает оценка

.

Пример. Рассмотрим матрицу  и вектор  пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :

;   ; , . 

Имеем  , , т.е. . Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно

.

В то время как точное значение спектрального радиуса: .

Заметим, что использование коммутирующего оператора  способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то , и тогда, учитывая (8), получим , а эта оценка намного хуже оценки .

§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора

Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].

Теорема 1 . Пусть - матричное ядро. .  Функции , заданны  в квадрате , за исключением прямой  t=s, , . Пусть r=-спектральный радиус матричного интегрального оператора .Тогда

,   где  p>0, q>0,  1/p + 1/q =1,

где                 

                            .                                                  (1)

Доказательство.

Рассмотрим систему

.                                      (2)

Так как - спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных    имеет  ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

                                                                            (3)

Представим                                                        (4)

Вычтем почленно из (2) тождество (4):

                                   . 

Так как , то , таким образом:

Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что ,

получим:

 =

=

согласно (4)

=

учитывая (1) и (3)

.

 Возведем обе части в степень q.

, тогда

Проинтегрируем по t

 ,

учитывая (3) получим:

            или              

Теорема доказана.

Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.

Теорема 2. Пусть -непрерывное матричное ядро . Тогда функции , заданные для , порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве

.

 Пусть -спектральный радиус матричного интегрального оператора   в пространстве,

, ,

докажем, что

.

Для доказательства теоремы рассмотрим систему

.                                   (5)

Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

                                                                         (6)

Умножим обе части уравнения (5) на . Получим

                                   .                           (7)

С учетом (5)        ,                 

тогда (7) запишется следующим образом:

                                          (8)

Умножим обе части выражения (8) на , получим

                   .            (9)

Проинтегрируем обе части выражения (9) по

.

Тогда

Учитывая (6),получим

Из неравенства Гельдера   для

получим

.

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.

§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного

положительного оператора

В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента  со значением комбинации элементов , где  - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок  достаточно знать оценку , а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть  воспроизводящий и нормальный конус,  и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть  - неразложим. Если для некоторого  и  выполняется неравенство

,                                                  (1)

то

.

Если для  верна оценка , тогда

.                                            (2)

Доказательство.

Существует такой функционал , что

 и ,

где - собственное значение оператора , соответствующее функционалу . Применим функционал  к (1):

,

,

.

Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса  [29]. Поэтому

.

Заменив  на , мы только усилим неравенство (т.к. ):

.

Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим матрицу  и вектор  пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :

;   ; ;  ,

поэтому , и . Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно , т.к. , то имеем . В то время как .

При   получим известную теорему  Стеценко В.Я. [20]:

Пусть оператор  неразложим и , K - телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента  выполняется неравенство , тогда справедливо неравенство .

Эта теорема является частным случаем теоремы 1.

Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором  оператора  способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере 1 предположить , то , и тогда , а эта оценка намного хуже оценки .

Страницы: 1, 2, 3, 4