w1 £ x, w1 £ y

 выполняется неравенство

v ³ w1,

т.е. w – это наибольшая из всех нижних граней элементов х, у.

Развитием понятия миниэдральности конуса является понятие сильной миниэдральности конуса К.

Определение. Конус К называется сильно миниэдральным, если для каждого ограниченного сверху по конусу К множества элементов М существует точная верхняя грань.

Ясно, что каждый миниэдральный конус является сильно миниэдральным. Обратное не верно, т.е. конус может быть миниэдральным, не будучи сильно миниэдральным. Миниэдральные конусы обладают рядом замечательных свойств, теория полуупорядоченных пространств с сильно миниэдральными конусами выделена в специальный раздел функционального анализа, который называется теорией структур. Основы теории структур были заложены в работах известного математика Биркгофа [5], [15].

Определение. Критерием качества К мы назовем любой критерий сравнения  векторных величин x, y, который удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

. Если , то  при всяком  и  при ; при этом, если  и , то для элемента (-х) соотношение  нарушается;

. Если  и , то .

Критерий качества К будем называть отношением предпочтения. Множество всех элементов х, являющихся предпочтительнее нулевого элемента , будем называть конусом.

Отметим, что из перечисленных свойств ,  критерия качества вытекают следующие важные свойства конуса К:

1) если   и , то  при  и  при < 0;

2) из  uKи  v K следует, что (u + v)  K;

3) если х К и (-х) К, то х = .

При наличии в  конуса К у нас появляется возможность устанавливать отношение предпочтения > для некоторых (не для всех) пар х, у элементов, если условиться считать, что х  у в том и только в том случае, если (х - у) К. Отметим при этом, что все приведенные выше свойства  ,  соблюдаются.

Пример конуса в множестве  n-мерных векторов - это множество векторов с неотрицательными координатами, этот конус принято обозначать через  Хотя понятно это не единственный пример конуса в . Так в случае n = 3  это множество векторов первого октанта, хотя в  можно рассматривать и другие примеры конусов, например «круглый» конус (см. рис.1). Каждый конус можно описать аналитически с помощью системы функций и неравенств. Например, конус  можно описать аналитически с помощью системы линейных неравенств:

                                     L

                           K

                       Рис.1

 «Круглый» конус, изображенный на рис.1 - это множество векторов, лежащих внутри или на границе конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей - линией L, не проходящей через начало координат. Выбирая разные направляющие, мы будем получать разные примеры конусов. Так, если выбрать в качестве направляющей  контур треугольника (рис.2), мы получим трехгранный конус. Аналогично можно рассмотреть четырехгранные, пятигранные и т.д. конусы. «Круглый» конус, изображенный на рис.1, можно рассматривать в этой связи как конус, имеющий бесконечное число граней (каждое из ребер является одномерной гранью).

Особое место среди конусов занимают конусы с минимально возможным числом граней. Заметим, что в случае пространства  (т.е. плоскости) каждый конус имеет ровно две грани и число 2 - это единственно возможное число граней конуса на плоскости.

              Рис.2     

Поэтому каждый конус на плоскости имеет минимально возможное число граней. В случае пространства  - минимально возможное число граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно трем. В пространстве минимально возможное число (n-1)-мерных граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно n.

Тогда миниэдральным  конусом будет называться всякий конус, который, во-первых, содержит хотя бы одну внутреннюю точку и, во-вторых, имеет минимально возможное число граней.

Миниэдральные конусы обладают одним важным свойством. Для формулировки этого свойства нам понадобятся некоторые вспомогательные понятия.

Пусть Е- линейное пространство с конусом К и знак «» есть отношение предпочтения по конусу К.

Однако, миниэдральные конусы в конечномерных пространствах  обладают следующим фундаментальным свойством:

если конус К миниэдрален, то каждое ограниченное сверху (соответственно, снизу) множество М элементов имеет точную верхнюю sup М (соответственно, точную нижнюю inf  M) грань.

Пример. Рассмотрим в пространстве  с конусом  векторов из   с неотрицательными координатами множество  векторов , удовлетворяющих для заданного вектора неравенству

.

Тогда inf , sup не существует.

Аналогично, если - множество векторов  из, удовлетворяющих неравенству

,

то sup, а inf  не существует.

§3. Интегральные операторы

Большой интерес представляют линейные интегральные операторы

,

действующие в различных пространствах Е функций, определенных на множестве W, которое мы предполагаем ограниченным и замкнутым подмножеством конечномерного пространства Rп [1], [16], [20].

Термин "интегральные уравнения" расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в "одномерном" случае) могут быть записаны в виде

                              (1)

где x: [a, b] → R — искомая функция, α, f: [a, b] → R и K: [a, b]×[a, b] → R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.

Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при a ≤ t ≤ s ≤ b, называют уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма [2]. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде

Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона

и уравнения Гаммерштейна

Уравнения I и II рода

Если α(t) ≠ 0 при всех t [a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде

                                     (2)

Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода

                                     (3)

Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] определить интегральный оператор

то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде

x = Ix + f                                                    (4)

и

0 = Ix + f                                                    (5)

Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E1, E2) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f E2 уравнение имеет единственное решение xE1 и, кроме того, найдется такая константа C, что ||x||E1 ≤ ||f ||E2.

Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в операторном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)–1, что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения. Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I–1 если он существует, необходимо, чтобы он являлся неограниченным [].

Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования.

§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения

типа свертки

Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде

                                            (6)

Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде

                                          (5)

где

.

Умножение (7) на ηj и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных cj:

в которой

,

Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(t – s):

Название наследуется от интегрального оператора свертки

играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.

Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства  множество в компактное множество.

Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения , при которых уравнение

,

где  – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор  ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений , не являющихся регулярными, называется спектром оператора  и обозначается . Спектральным радиусом  оператора называется число, определенное формулой

,    .

Если уравнение

при данном  имеет решение, отличное от тривиального, то  называется собственным значением оператора , а нетривиальное решение уравнения  называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению . При этом собственное значение  называется позитивным, если  и отвечающий ему собственный вектор  принадлежит конусу .

Глава II

Оценки спектральных радиусов интегральных операторов

§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных

операторов

Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа

lx = Ax + f.

Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.

В  терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).

Приведем соответствующее определение.

Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора  А, если оператор

(lI - A)

имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s(А).

Спектральным радиусом r(А) оператора А называется следующая величина:

.

Для ограниченного оператора А спектральный радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка

r(А) < ||A||.

Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:

Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r(А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).

Более того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x*Î К (теорема Перрона-Фробениуса [2]).

В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида

r(A)<1,                                             (1)

где r(A)  - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:

10) A=(aij)    (i,j=1,2,3…);                                                                    (2)

20) A – интегральный оператор вида

,                                   (3)

где W - ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства Rm, K(t,s) – измеримая по sÎW  почти при всех значениях tÎW функция, для которой при некоторых p>1 и  выполняется условие:

.                                         (4)

При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве Lp(W) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].

Введем в рассмотрение следующие функции

Страницы: 1, 2, 3, 4