.

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения (рис. 2). Составим общее уравнении динамики:

,             (1)

где dj2 и dj3 – углы поворотов блоков 2 и 3.

Учитывая, что G1 = G2 = G = mg, G3 = 3G = 3mg

имеем:

                                        (2)

Устанавливаем зависимости между возможными перемещениями, входящими в (1), и между ускорениями в (2), пользуясь тем, что эти зависимости такие же, как между соответствующими скоростями:

dj2 = dj3 = ds1/R = ds1/2r;

ds3 = dj2r = ds1/2;                                             (3)

e2 = e3 = a1/2r; a3 = a1/2.

С учетом (2) и (3) уравнение (1), после деления всех его членов на m и ds1, принимает вид

откуда

,

а3 = a1/2 = 1,87 м/с2.

а3

             M3Ф

Ф3       e3                           dj3    Т2-3

                            ds3

G3

Рис. 3.

Ф1

Т1-2

                         а1

                               ds1

G1

Рис. 4.

Для определения натяжения в нити 2-3 мысленно разрежем эту нить и заменим ее действие на каток 3 реакцией T2-3 (рис. 3).

Общее уравнение динамики:

,

откуда

Для нахождения натяжения в нити 1-2 мысленно разрежем эту нить и заменим ее действие на груз 1 реакцией T1-2 (рис. 4).

Не составляя общего уравнения динамики, на основании принципа Даламбера имеем:

Задание К-3. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоском движении.

Вариант № 1.

Рис. 1

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С. Схема механизма представлена на рис. 1, необходимые для расчета данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Решение.

Определение скоростей точек.

Вычислим скорость точки А при заданном положении механизма:

VA = wОА×OA = 2×40 = 80 см/с.

Скорость точки А направлена перпендикулярна к ОА. Мгновенный центр скоростей СV находится в точке соприкосновения колес.

Угловая скорость колеса

wК = VA/r = 80/15 = 5,33 c-1

Скорости точек В и С:

VB = wК×ВСV;

VС = wК×ССV,

где

ВСV = r×= 15×1,41 = 21,2 см,

ССV = см.

Следовательно,

VB = wК×ВСV = 5,33×21,2 = 113 см/с;

VС = wК×ССV = 5,33×21,4 = 114,1 см/с.

Вектор  направлен перпендикулярно к отрезку BCV, а вектор   - перпендикулярно к отрезку CCV в сторону вращения колеса.

                                                                                  VA

                                                                                                                          VC

                                                                         wК

                            O           wOA         CV              A                           VB

                                                                                   45°

                                                                                          C

                                                                           r

                                                                              B

Рис. 2

К-3

Определение ускорений точек.

Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремительного ускорений:

;

 см/с2;

 см/с2.

Вектор   направлен от А к О. Вектор  перпендикулярен к вектору   и направлен в соответствии с направлением углового ускорения eОА.

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем:

.

Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении колеса вокруг полюса А:

см/с2.

Вращательное ускорение точки В:

,

где

с-2,

см/с2.

Вектор   направлен от В к А. Вектор  перпендикулярен к вектору  и направлен в соответствии с направлением углового ускорения eK.

Ускорение точки В находим способом проекций:

см/с2;

см/с2;

см/с2.

Определяем ускорение точки С:

.

Центростремительное ускорение точки С во вращательном движении колеса вокруг полюса А:

см/с2.

К-3

Вращательное ускорение точки С:

см/с2.

Вектор   направлен от С к А. Вектор  перпендикулярен к вектору  и направлен в соответствии с направлением углового ускорения eK.

Ускорение точки С находим способом проекций:

см/с2.

                                                                                        y

                                                        aC                                                         aCy

                                                                                       aBy

                                                                                                                      aB

                                                                                        aAt

                                      eOA                                     eK                       aACt

                   x             O               aAn                                       A

                                                                                       aACn

                                                                                C

                                                        aCx                           45°

                                                                                        aABn

                                                                        aBx        B                aABt

Рис. 3

К-3

Задание K-1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

Вариант № 1.

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

K-1

Решение.

Исходные данные в см и с:

x = -2t2 + 3;   y = -5t;                                       (1)

t1 = 0,5

Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Тогда

25x + 2y2 = 75                                           (2)

Это уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

Vx = x’ = -4t см/с;  Vy = y’ = -5 см/с.

Модуль скорости точки

 .                                         (3)

Аналогично проекции ускорения точки

ax = x’’ = -4 см/с2;  ay = y’’ =  0.

Модуль ускорения точки

см/с2.

Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (3)

При t = 0,5 c

x = -2×0,52 + 3 = 2,5 см,        y = -5×0.5 = -2,5 см.

Vx = -4×0,5 =-2 см/с,  Vy = -5 см/с,  V = 5,38 см/с.

ax = -4  см/с2,   ay =  0,   a = 4 см/с2

 см/с2

K-1

Модуль касательного ускорения

at = 1,487 см/с2

Знак “+” при dV/dt показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления совпадают.

Нормальное ускорение точки:

см/с2.

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 0,5 с находится точка М:

см.

Пользуясь уравнением (2), строим траекторию (рис. 1) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим , причем он направлен по касательной к траектории точки. Вектор  находим как по составляющим , так и по .

Рис. 1

Задание К-2. Определение скоростей и ускорений точек твёрдого тела при поступательном и вращательном движениях.

Вариант № 1.

Дано:

Определить коэффициенты ,  и , при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить так же в момент времени  скорость и ускорение груза и точки М одного из колёс механизма.

Решение:

Уравнение движения груза 1 имеет вид:

      (1).

Коэффициенты ,  и  могут быть определены из следующих условий:

при                (2).

при                  (3).

Скорость груза 1:

                (4).

Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты:

Таким образом уравнение движения груза 1:

               (5).

Скорость груза 1:

                (6).

Ускорение груза 1:

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза  и угловые скорости колёс  и .

В соответствии со схемой механизма

(7).

откуда

или с учётом (6) после подстановки данных:

Угловое ускорение колеса 3:

Скорость точки М, её вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

Выполнил: ст.гр. С-045 rus Калайчиди Виктор

Проверил: Русу В.Н.

Дано: схема механизма,

Sr=OM=20 sin рt см

t1=1/3 c

a=20 cм

Решение:

Положение М на фигуре D определяется расстоянием Sr=OM

При t=1/3 c

Sr=20 sin р/3 =17.32 cм

Абсолютная скорость точки М

V=Vr+Ve

Модуль относительной скорости

Vr=| Vr |

Vr=dSr/dt=20р cos рt

При t=1/3 c

Vr=10 р=31.41 cм/с

Положительный знак у величины Vr показывает, что вектор Vr направлен в сторону возрастания Sr

Модуль переносной скорости

Ve=Rщe

R= Sr2+a2 =26.46 см

щe=|щe|               щe=dцe/dt=1-t c-1

При t=1/3

щe= 0.67 c-1

Положительный знак у величины щe показывает, что вращение фигуры D происходит вокруг Оz по направлению отсчета угла ц. Вектор щe направлен на наблюдателя.

Переносная скорость

Ve=17.73 см/с

Вектор Ve направлен по касательной к окружности вращения т.М

Из теоремы косинусов найдём

V=Vr2+ Ve2 - 2VrVeсos б

cos б = a/R = 0.76

V=21.32 cм/с

Абсолютное ускорение точки равно геом. сумме относительного, переносного, и кориолисова ускорений

W=Wr+We+Wc

W=Wrф+Wrn+Weв +Weц+Wc

Wrф= d2Sr/dt2 =-20р2 sin рt

При t=1/3 c

Wrф= -170.77 cм/с2

Wrф=170.77 cм/с2

Знак “-“ показывает, что Wrф направлен в сторону убывания Sr

Wrn=Vr2/с=0 (с=∞)

Модуль переносного вращательного ускорения

Weв=Rеe

еe= d2цe/dt2=-1 c-2

Weв= -26.46 cм/с2

Разные знаки у величин еe и щe говорят о замедленном движении круга D, вектора еe и щe противоположно направленны.

Weц=R щe2=11.88 cм/с2

Вектор Weц направлен к центру окружности L

Wc=2щe x Vr

Wc=2щeVr sin(щe Vr)

sin(щe Vr)=1

Wc=2щeVr=48.09 cм/с2

По методу проекций имеем

Wx= Weв cos б - Weц cos(90-б) - Wrф=

Wy= Wc-Weв sin б - Weц sin(90-б) =

W= Wx2+ Wy2=

Страницы: 1, 2