Определение реакций опор составной конструкции

Задание С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Вариант № 1.

Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции. Схема конструкции представлена на рис. 1 (размеры – в м), нагрузка указана в таблице 1.

Рис. 1

Таблица 1.

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Решение. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис. 2).

           y

                                                            P1y          P1

                                                            90°

                                                              P1x                                             C

      Q                                                                                            M

                   RAy                                                                      RBy

                   RAx                                                                      RBx                      x

         A                                                               B

Рис. 2.

Разложим силу P на составляющие Px и Py.

                                                                  P1y          P1

                                                                          a

                                                     P1x              a                              a

                                                             6

Рис. 3.

P1x = P1×sin(a),

P1y = P1×cos(a).

a = arctg(1,5/6) = arctg(0,25) = 14°.

P1x = P1×sin(a) = P1×sin(14°) = 6×0,24 = 1,44 (кН),

P1y = P1×cos(a) = P1×cos(14°) = 6×0,97 = 5,82 (кН).

Q = q×3,5 = 0,8×3,5 = 2,8 (кН).

С-3. Определение реакций опор составной конструкции.

Запишем уравнения равновесия:

                                       (1)

                                                (2)

     (3)

Данная система из 3 уравнений содержит 4 неизвестных,  для их нахождения рассмотрим отдельно правую и левую части конструкции.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к левой части конструкции (рис.4):

         y

                                                            P1y          P1

                                                            90°

                                                              P1x                                             C

                                                                                     RCx

      Q                                                                                     RCy

                   RAy                                                                     

                   RAx                                                                                                     x

         A

Рис. 4.

Запишем уравнения равновесия:

                                     (4)

                                            (5)

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

           (6)

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к правой части конструкции (рис.5):

                                                         y

                                                   R`Cy

                                                                  R`Cx

                                                       C

                                                    M

                                                    RBy

                                                                  RBx             x

                                                      B

Рис.5.

Запишем уравнения равновесия:

                                                         (7)

                                                         (8)

                                                        (9)

где  RCx = R`Cx,  RCy = R`Cy.

Таким образом, имеем систему 4 уравнений (1), (2), (6) и (9) с 4 неизвестными.

Из уравнения (9)

Из уравнения (1)

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Из уравнения (6)

Из уравнения (2)

Найдем реакции шарнира С:

RCx = -RBx = 12,5 кН,

RCy = -RBy = 0,07 кН.

Отрицательные значения RBx и RBy говорят о том, что действительное направление RBx и RBy противоположно указанному на рис.4.

Итак,

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Найти реакции опор конструкции изображенной на рис.1.

Составим уравнения сумм моментов относительно всех осей:

    Р*15-q*5=0, где , отсюда Р=(q*5)/15

    -qx*20+P*60-RBx*80, отсюда RBx=(qx*20-P*60)/80

    -qx*20-G*(20+30)+RBz*(20+30+30) отсюда RBz= (qx*20+G*50)/80

         -Raz*80+qz*60+G*30=0 отсюда Raz= (qz*60+G*30)/80

         Rax*80+ qx*60-P*30=0 отсюда Rax=-( qx*60-P*30)/80

qx=Q*cos45; qz=Q*sin45

Ra=   RB=

Результаты работы

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.

Вариант № 1.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; b - угол наклона плоскости к горизонту; f – коэффициент трения скольжения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Рис. 1

Таблица 1.

Решение.

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

                                  (1)

где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

                                         (2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4.                                     (3)

                                          2

                                                                               1

                   w2

           VA

                 V3

     3                                                                          b               V1

                   A   C3   CV

                            w3

                V4

       4

Рис. 2.

Д-10

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

                                          (4)

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

,                                       (5)

где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

,                                       (6)

w2 – угловая скорость барабана 2:

.                                           (7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

.                                        (8)

Кинетическая энергия барабана 3, совершающего плоское движение:

,                                              (9)

где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3, J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

,                                       (10)

w3 – угловая скорость барабана 3.

Так как двигается по нити без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому

,                                          (11)

.                                    (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

.                                               (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно,

,                                        (14)

где V4 = VC3 = V1/2:

.                                        (15)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

.                                               (16)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

                                          2

                                                                               1

                                                                                            N1

                                                             FTP

     3                                                                            b

                             C3

                         P3                                                                                                              P1

       4

                   P4

Рис. 2.

Работа силы тяжести :

                                   (17)

Работа силы трения скольжения :

Так как

то

                                      (18)

Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:

                                    (19)

Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:

                                   (20)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (20):

.

Подставляя заданные значения масс, получаем:

или

.                                               (21)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (21):

,

откуда

м/с.

Д-10

Задание Д-19. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы.

Вариант № 1.

Для заданной механической системы определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Рис. 1

Таблица 1.

Решение.

Применим к решению задания общее уравнение динамики. Так как система приходит в движение из состояния покоя, направления ускорений тел соответствуют направлениям их движения. Движение таково, что груз 1 опускается.

Покажем задаваемые силы: силы тяжести - груза 1, - блока 2 и - катка 3 (рис. 2).

           a3

        M3Ф                                2       e2                M3Ф

Ф3       e3                         dj3

                                                                                         dj2

                 ds3

3

       G3

                                                                                 Ф1

                                                                    G2                    1

                                                                                          a1

                                                                                                    ds3

                                                                                  G1

Рис. 2.

Приложим силы инерции. Сила инерции груза 1, движущегося поступательно с ускорением :

.

Силы инерции блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением e2, приводятся к паре, момент которой

Силы инерции катка 3, совершающего плоское движение, приводятся к силе

,

где  - ускорение центра масс катка 3, и к паре сил, момент которой

,

где e3 – угловое ускорение катка 3, J3 – момент инерции катка 3 относительно центральной продольной оси:

Страницы: 1, 2