Звичайно нормальні координати вибирають таким чином, щоб коефіцієнти при квадратах швидкостей у функції Лагранжа були рівні 1/2. Для цього досить визначити нормальні координати (позначимо їх тепер Qa ) рівностями

 (3.13)

Тоді

Все викладене мало міняється у випадку, коли серед корінь характеристичного рівняння є кратні коріння. Загальний вид (3,9), (3,10) інтеграли рівнянь рухів залишається таким же (з тим же числом s членів) з тією лише різницею, що відповідним кратним частотам коефіцієнти ∆kа вже не є мінорами визначника, які, як відомо, звертаються в цьому випадку в нуль.

Кожної кратної частоті відповідає стільки різних нормальних координат, яка ступінь кратності, але вибір цих нормальних координат не однозначний. Оскільки в кінетичну й потенційну енергії нормальні координати (з однаковим ωа) входять у вигляді однаково, що перетворяться сум,  можна піддати будь-якому лінійному перетворенню, що залишає інваріантної суму квадратів.

Досить просте знаходження нормальних координат для тривимірних коливань однієї матеріальної крапки, що перебуває в постійному зовнішнім полі. Поміщаючи початок декартової системи координат у крапку мінімуму потенційної енергії U(x,y,z), ми одержимо останню у вигляді квадратичної форми змінних х, в, z, а кінетична енергія

(т — маса часток) не залежить від вибору напрямку координатних осей.

Тому відповідним поворотом осей треба тільки привести до діагонального виду потенційну енергію. Тоді

 (3,14)

і коливання уздовж осей х, в, z є головними із частотами

В окремому випадку центральносиметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr²/2) ці три частоти збігаються.

Використання нормальних координат дає можливість привести завдання про змушені коливання системи з декількома ступенями волі до завдань про одномірні змушені коливання. Функція Лагранжа системи з обліком діючих на неї змінних зовнішніх сил має вигляд

 (3,15)

де L0 — лагранжева функція вільних коливань. Уводячи замість координат хk нормальні координати, одержимо:

 (3.16)

де уведене позначення

Відповідно рівняння руху

будуть містити лише по одній невідомій функції Qa(t).

Загасаючі коливання

Дотепер ми завжди мали на увазі, що рух тіл відбувається в порожнечі або що впливом середовища на рух можна зневажити. У дійсності при русі тіла в середовищі остання чинить опір, що прагне сповільнити рух. Енергія тіла, що рухається, при цьому зрештою переходить у тепло.

Процес руху в цих умовах уже не є чисто механічним процесом, а його розгляд вимагає обліку руху самого середовища й внутрішнього теплового стану як середовища, так і тіла. Зокрема, уже не можна затверджувати в загальному випадку, що прискорення тіла, що рухається, є функцією лише від його координат і швидкості в цей момент часу, тобто не існує рівнянь руху в тому розумінні, який вони мають у механіку. Таким чином, завдання про рух тіла в середовищі вже не є завданням механіки.

Існує, однак, певна категорія явищ, коли рух у середовищі може бути приблизно описане за допомогою механічних рівнянь руху шляхом введення в них деяких додаткових членів. Сюди ставляться коливання із частотами, малими в порівнянні із частотами, характерними для внутрішніх дисипативних процесів у середовищі. При виконанні цієї умови можна вважати, що на тіло діє сила тертя, що залежить (для заданого однорідного середовища) тільки від його швидкості.

Якщо до того ж ця швидкість досить мала, то можна розкласти силу тертя по її ступенях. Нульовий член розкладання дорівнює нулю, оскільки на нерухливе тіло не діє ніякої сили тертя, і перший незникаючий член пропорційний швидкості. Таким чином, узагальнену силу тертя fтр, що діє на систему, що робить одномірні малі коливання з узагальненою координатою х, можна написати у вигляді

де а — позитивний коефіцієнт, а знак мінус показує, що сила діє убік, протилежну швидкості. Додаючи цю силу в праву сторону рівняння руху, одержимо :

 (4.1)

Розділимо його на m і введемо позначення

 (4.2)

ω0 є частота вільних коливань системи під час відсутності тертя. Величина λ називається коефіцієнтом загасання. Таким чином, маємо рівняння

 (4.3)

Дотримуючись загальних правил рішення лінійних рівнянь із постійними коефіцієнтами, думаємо х — ert і знаходимо характеристичне рівняння

Загальне рішення рівняння (4.3) є

Тут варто розрізняти два випадки.

Якщо λ < ω0, то ми маємо два комплексно сполучених значення r. Загальне рішення рівняння рухи може бути представлене в цьому випадку, як

де А — довільна комплексна постійна. Інакше можна написати:

 (4.4)

де а й α — речовинні постійні. Рух, що виражається цими формулами, являє собою так звані загасаючі коливання. Його можна розглядати як гармонійні коливання з експоненціальне убутною амплітудою. Швидкість убування амплітуди визначається показником ?, а частота ? коливань менше частоти вільних коливань під час відсутності тертя; при ?<<?0 різниця між ? і ?0- другого порядку малості. Зменшення частоти при терті випливало очікувати заздалегідь, оскільки тертя взагалі затримує рух.

Якщо λ<<ω0 , то за час одного періоду 2π/ω амплітуда загасаючого коливання майже не міняється. У цьому випадку має сенс розглядати середні (за період) значення квадратів координати й швидкості, зневажаючи при усередненні зміною множника е-е-λt. Ці середні квадрати, мабуть, пропорційні е-2λt. Тому й енергія системи в середньому убуває за законом

 (4.5)

де Е0 — початкове значення енергії.

Нехай тепер λ > ω0. Тоді обоє значення r речовинні, причому обоє негативні. Загальний вид рішення

 (4.6)

Ми бачимо, що в цьому випадку, що виникає при досить великому терті, рух складається в убуванні |x|, тобто в асимптотичному (при t → ∞) наближенні до положення рівноваги. Цей тип руху називають аперіодичним загасанням.

Нарешті, в особливому випадку, коли λ = ω0 , характеристичне рівняння має всього один (подвійний) корінь r = ― λ . Як відомо, загальне рішення диференціального рівняння має в цьому випадку вид

 (4.7)

Це - особливий випадок аперіодичного загасання, Воно теж не має коливального характеру.

Для системи з багатьма ступенями волі узагальнені сили тертя, що відповідають координатам xi, є лінійними функціями швидкостей виду

 (4.8)

Із чисто механічних міркувань не можна зробити ніяких висновків про властивості симетрії коефіцієнтів аik по індексах i і k. Методами ж статистичної фізики можна показати, що завжди

aik = aki. (4.9)

Тому вираження (4.8) можуть бути написані у вигляді похідних

(4.10)

від квадратичної форми

 (4.11)

називаної дисипативною функцією.

Сили (4.10) повинні бути додані до правої сторони рівнянь Лагранжа

 (4.12)

Дисипативна функція має сама по собі важливий фізичний зміст - нею визначається інтенсивність дисипації енергії в системі. У цьому легко переконатися, обчисливши похідну за часом від механічної енергії системи. Маємо:

Оскільки F— квадратична функція швидкостей, то в силу теореми Ейлера про однорідні функції сума в правій стороні рівності дорівнює 2F. Таким чином,

 (4.13)

т е. швидкість зміни енергії системи дається подвоєної дисипативної функцією. Тому що дисипативні процеси приводять до зменшення енергії, то повинне бути завжди F > 0, тобто квадратична форма (4.11) істотно позитивна.

Рівняння малих коливань при наявності тертя виходять додаванням сил (4.8) у праву сторону рівнянь (3.5):

 (4.14)

Поклавши в цих рівняннях

xk = Akert,

одержимо по скороченні на ert систему лінійних алгебраїчних рівнянь для постійних Ak

 (4.15)

Дорівнявши нулю визначник цієї системи, знайдемо характеристичне рівняння, що визначає значення r:

 (4.16)

Це — рівняння ступеня 2s відносно r. Оскільки всі його коефіцієнти речовинні, те його коріння або речовинні, або попарно комплексно сполучені. При цьому речовинні коріння неодмінно негативні, а комплексні мають негативну речовинну частину. У противному випадку координати й швидкості, а з ними й енергія системи експоненціальне зростали б згодом, тим часом як наявність дисипативних сил повинне приводити до зменшення енергії.

Змушені коливання при наявності тертя

Дослідження змушених коливань при наявності тертя цілком аналогічно зробленому в п. 1.2 змушені коливання. Ми зупинимося тут докладно на випадку, що представляє самостійний інтерес, періодичної сили, що змушує.

Додавши в правій стороні рівняння (4.1) зовнішню силу f cos yt і розділивши на т, одержимо рівняння руху у вигляді

 (5.1)

Рішення цього рівняння зручно знаходити в комплексній формі, для чого пишемо в правій частині eiγt замість cos yt:

Приватний інтеграл шукаємо у вигляді x = B eiγt і знаходимо для В:

 (5.2)

Представивши В у виді beiδ, маємо для b і δ:

 (5.3)

Нарешті, відокремивши речовинну частину від вираження Beiγt = bei(γt+δ), одержимо приватний інтеграл рівняння (5.1), а додавши до нього загальне рішення рівняння без правої частини (яке ми напишемо для визначеності для випадку ω0>?), одержимо остаточно:

х = ае-λt cos (ωt+ a) + b cos (γt + δ). (5.4)

Перший доданок експоненціальне убуває згодом, так що через досить великий проміжок часу залишається тільки другий член:

x = b cos (γt + δ). (5.5)

Вираження (5.3) для амплітуди b змушеного коливання хоча й зростає при наближенні частоти γ до ω0, але не звертається в нескінченність, як це було при резонансі під час відсутності тертя. При заданій амплітуді сили f амплітуда коливання максимальна при частоті

при λ<<<ω0 це значення відрізняється від ω0 лише на величину другого порядку малості.

Розглянемо область поблизу резонансу. Покладемо γ = ω0 + ε, де ε — мала величина; будемо також уважати, що λ<<ω0. Тоді в (5.2) можна приблизно замінити:

так що

(5.6)

або

(5.7)

Відзначимо характерну рису ходу зміни різниці фаз δ між коливанням і силою, що змушує, при зміні частоти останньої. Ця різниця завжди негативна, тобто коливання «запізнюється» щодо зовнішньої сили. Удалині від резонансу, з боку γ < ω0, δ прагне до нуля, а з боку γ > ω0 — до значення — π. Зміна δ від нуля до — π відбувається у вузькій (ширини ~ λ) області частот, близьких до ω0; через значення -π/2 різниця фаз проходить при γ = ω0. Відзначимо в цьому зв'язку, що під час відсутності тертя зміна фази змушеного коливання на величину ? відбувається стрибком при ? = ?0 (другий член в (2.4) міняє знак); облік тертя «розмазує» цей стрибок.

При усталеному русі, коли система робить змушені коливання (5.5), її енергія залишається незмінної. У той же час система безупинно поглинає (від джерела зовнішньої сили) енергію, що дисипарується завдяки наявності тертя. Позначимо за допомогою I(γ) кількість енергії, що поглинається в середньому в одиницю часу, як функцію частоти зовнішньої сили. Згідно (4.13) маємо: I (γ) = 2F,

де F — середнє (по періоду коливання) значення дисипативної функції. Для одномірного руху вираження (4.11) дисипативної функції зводиться до

Підставивши сюди (5.5), одержимо:

Середнє за часом значення квадрата синуса дорівнює ? , тому

I(γ) = λmb²γ². (5.8)

Поблизу резонансу, підставляючи амплітуду коливання з (5.7), маємо:

(5.9)

Такий вид залежності поглинання від частоти називається дисперсійним. На півшириною резонансній кривій (мал. 1)

називають значення |ε|, при якому величина I(ε) зменшується вдвічі в порівнянні з її максимальним значенням при ε = 0.З формули (5.9) видно, що в цьому випадку ця на півширина збігається з показником загасання ?. Висота ж максимуму

I (0) = f ² / 4m?

обернено пропорційна ?. Таким чином, при зменшенні показника загасання резонансна крива стає вже й вище, тобто її максимум стає більше гострим. Площа ж під резонансною кривою залишається при цьому незмінній. Остання дається інтегралом

Оскільки I(ε) швидко убуває при збільшенні |ε|, так що область більших |ε| однаково не істотна, можна при інтегруванні писати I(ε) у вигляді (5.9), а нижня межа замінити на — ∞. Тоді

(5.10)

Висновок

Коливання - більш-менш регулярно повторюваний процес. Таке дуже нестроге, «якісне» визначення поняття «коливання». Можна привести безліч прикладів коливальних процесів, що ставляться до різних областей фізики (і не тільки фізики). Коливається маятник годин; коливається вантаж, підвішений на пружині. Коливається схвильована поверхня води й гітарна струна. Коливається заряд на пластинах конденсатора й магнітне поле в котушці індуктивності коливального контуру; періодично змінюється температура повітря (узимку холодніше - улітку тепліше) і кількість автомобілів на вулицях міста (більше в годинники пік - менше пізньої вночі). Періодично міняється економічна ситуація в житті суспільства: кризові явища переміняються підйомом економіки. Коливається тиск (або щільність повітря), викликаючи коливання вушної мембрани - і ми чуємо голос співака на оперній сцені. Таких прикладів можна привести як завгодно багато. Ознайомилися з коливаннями в тієї або іншій фізичній системі. Тут же познайомилися з найбільше що часто зустрічаються найпростішими видами коливальних рухів, основними характеристиками коливальних процесів, з математичним способом опису коливань.

У результаті проробленої роботи було розглянуте наступне:

вільні одномірні коливання;

змушені коливання;

коливання систем з багатьма ступенями волі;

загасаючі коливання;

змушені коливання при наявності тертя.

Література

1.Ландау Л.Д., Лифшнц Е.М. Теоретична фізика: Посібник. - Т.I. Механіка. - 4-е изд., випр. - К.: Наука. 1988

2.Кингсеп А.З, Локшин Г.Р., Ольхов О.А. Основи фізики. Курс загальної фізики: Підручник. В 2 т. Т. 1. Механіка, електрика й магнетизм, коливання й хвилі, хвильова оптика – К., 2001

3.Матвєєв А.Н., Механіка й теорія відносності. – К., 2003

4.Савельев И.В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. - М.: Издательство «Наука», 1970

5.Зоммерфельд А., Механика. Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 2001

Страницы: 1, 2