Опис та типологія коливань

Курсова робота на тему: "Опис та типологія коливань"

Зміст

Введення

Вільні одномірні коливання

Змушені коливання

Коливання систем з багатьма ступенями волі

Загасаючі коливання

Змушені коливання при наявності тертя

Висновок

Література

Введення

Робота присвячена вивченню різних коливань. Механіка й акустика, радіофізика й оптика, квантова фізика й фізика твердого тіла - усюди ми зіштовхуємося з коливаннями. Єдиний підхід до вивчення коливань заснований на спільності рівнянь, що описують коливальні закономірності, дозволяє виявити глибокі зв'язки між різними, на перший погляд, явищами. Таким чином, вивчаючи коливання, ми будемо звертати увагу не тільки на те, що «хвилюється» і що «коливається», а головним чином на те, як і чому відбуваються коливання.

Вільні одномірні коливання

Дуже розповсюджений тип руху механічних систем являють собою, так звані малі коливання, які система робить поблизу свого положення стійкої рівноваги. Розгляд цих рухів ми почнемо з найбільш простого випадку, коли система має всього один ступінь волі.

Стійкій рівновазі відповідає таке положення системи, у якому її потенційна енергія U(q) має мінімум; відхилення від такого положення приводить до виникнення сили - dU / dq, що прагне повернути систему назад. Позначимо відповідне значення узагальненої координати за допомогою q0. При малих відхиленнях від положення рівноваги в розкладанні різниці U(q)-U(q0) по ступенях q - q0 досить зберегти перший незникаючий член. У загальному випадку таким є член другого порядку

де k - позитивний коефіцієнт (значення другій похідній U" (q) при q = q0). Будемо надалі відраховувати потенційну енергію від її мінімального значення (тобто покладемо U(q0) = 0) і введемо позначення

x = q – q0 (1, 1)

для відхилення координати від її рівноважного значення. Таким чином,

U(x) = kx2/2. (1,2)

Кінетична енергія системи з одним ступенем волі має в загальному випадку вид

У тім же наближенні досить замінити функцію a(q) просто її значенням при q = q0. Уводячи для стислості позначення

одержимо остаточно наступне вираження для лагранжевої функції системи, що робить одномірні малі коливання:

 (1,3)

Відповідної цієї функції рівняння руху говорить:

 (1,4) або

 (1,5)

де уведене позначення

 (1,6)

Два незалежних рішення лінійного диференціального рівняння

(1,5): cos ?t і sin ?t, так що його загальне рішення

 (1,7)

Це вираження може бути написане також і у вигляді

 (1,8)

Оскільки cos (ωt + α) = cos ωt cos α — sin ωt sin α, те порівняння з (1,7) показує, що довільні постійні  пов'язані з постійними  співвідношеннями

 (1.9)

Таким чином, поблизу положення стійкої рівноваги система робить гармонійний коливальний рух. Коефіцієнт а при періодичному множнику в (1,8) називається амплітудою коливань, а аргумент косинуса — їхньою фазою; а є початкове значення фази, що залежить, мабуть, від вибору початку відліку часу. Величина ω називається циклічною частотою коливань; у теоретичній фізиці, втім, її називають звичайно просто частотою, що ми й будемо робити надалі.

Частота є основною характеристикою коливань, що не залежить від початкових умов руху. Відповідно до формули (1,6) вона цілком визначається властивостями механічної системи як такої. Підкреслимо, однак, що ця властивість частоти пов'язане з передбачуваною малістю коливань і зникає при переході до більше високих наближень. З математичної точки зору воно пов'язане із квадратичною залежністю потенційної енергії від координати.

Енергія системи, що робить малі коливання, є

або, підставивши сюди (21,8):

 (1,10)

Вона пропорційна квадрату амплітуди коливань.

Залежність координати коливної системи від часу часто виявляється зручним представляти у вигляді речовинної частини комплексного вираження

 (1,11)

де А — комплексна постійна; написавши її у вигляді

A = aeia, (1,12)

ми повернемося до вираження (1,8). Постійну А називають комплексною амплітудою; її модуль збігається зі звичайною амплітудою, а аргумент — з початковою фазою.

Оперування з експонентними множниками в математичному відношенні простіше, ніж із тригонометричними, тому що диференціювання не міняє їхнього виду. При цьому поки ми робимо лише лінійні операції (додавання, множення на постійні коефіцієнти, диференціювання, інтегрування), можна взагалі опускати знак узяття речовинної частини, переходячи до останнього лише в остаточному результаті обчислень.

Змушені коливання

Перейдемо до розгляду коливань у системі, на якій діє деяке змінне зовнішнє поле; такі коливання називають змушеними на відміну від розглянутих так званих вільних коливань. Оскільки коливання передбачаються як і раніше малими, те тим самим мається на увазі, що зовнішнє поле досить слабке, у противному випадку воно могло б викликати занадто великий зсув х.

У цьому випадку поряд із власною потенційною енергією ½kx2 система має ще потенційну енергію Ue(x,t), пов'язаної з дією зовнішнього поля. Розкладаючи цей додатковий член у ряд по ступенях малої величини х, одержимо:

Перший член є функцією тільки від часу й тому може бути опущений у лагранжевої функції (як повна похідна по t від деякої іншої функції часу). У другому члені — dUe/dx є зовнішня «сила», що діє на систему в положенні рівноваги заданою функцією часу; позначимо її як F(t). Таким чином, у потенційній енергії з'являється член — xF(t), так що функція Лагранжа системи буде:

 (2,1)

Відповідне рівняння руху є

або

 (2,2)

де ми знову ввели частоту з вільних коливань.

Як відомо, загальне рішення неоднорідного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами виходить у вигляді суми двох виражень: х = х0 + х1, де х0— загальне рішення однорідного рівняння, a х1— приватний інтеграл неоднорідного рівняння. У цьому випадку х0 являє собою розглянуті вільні коливання.

Розглянемо особливий інтерес, що представляє, випадок, що коли змушує сила теж є простою періодичною функцією часу з деякою частотою в:

F (f) = fcos (yt + β). (2,3)

Приватний інтеграл рівняння (2,2) шукаємо у вигляді х1 = b cos (yt+β) з тим же періодичним множником. Підстановка в рівняння дає: b=f/m(ω²-y²); додаючи рішення однорідного рівняння, одержимо загальний інтеграл у вигляді

 (2,4)

Довільні постійні а й α визначаються з початкових умов.

Таким чином, під дією періодичної сили, що змушує, система робить рух, що представляє собою сукупність двох коливань - із власною частотою системи ? і із частотою сили, що змушує, в.

Рішення (2,4) незастосовно у випадку так званого резонансу, коли частота сили, що змушує, збігається із власною частотою системи. Для знаходження загального рішення рівняння руху в цьому випадку перепишемо вираження ,(2,4) з відповідним перепозначенням постійних у вигляді

При в → ω і другий член дає невизначеність виду 0/0. Розкриваючи її за правилом Лопиталя, одержимо:

 (2,5)

Таким чином, у випадку резонансу амплітуда коливань росте лінійно поки коливання не перестануть бути малими. З'ясуємо ще, як виглядають малі коливання поблизу резонансу, коли

в = ω + ε, де ε - мала величина. Представимо загальне рішення в комплексному виді, як

 (2,6)

Тому що величина  мало міняється протягом періоду 2π/ω множника , то рух поблизу резонансу можна розглядати як малі коливання, але зі змінною амплітудою

Позначивши останню через ІЗ, маємо:

Представивши А и В відповідно у вигляді  й  одержимо:

 (2,7)

Таким чином, амплітуда коливається періодично із частотою ε, міняючись між двома межами

Це явище зветься биттів.

Рівняння руху (2,2) може бути про інтегровано й у загальному виді при довільній силі, що змушує, F(t), Це легко зробити, переписавши його попередньо у вигляді

 або

 (2,8)

де уведена комплексна величина

 (2,9)

Рівняння (2,8) уже не другого, а першого порядку. Без правої частини його рішенням було б

с постійної А. Дотримуючись загального правила, шукаємо рішення неоднорідного рівняння у вигляді

і для функції A(t) одержуємо рівняння

Інтегруючи його, одержимо рішення рівняння (2,8) у вигляді

 (2, 10)

де постійна інтегрування ε0 являє собою значення ε у момент часу t = 0. Це і є шукане загальне рішення; функція x(t) дається мнимою частиною вираження (2,10).

Енергія системи, що робить змушені коливання, зрозуміло, не зберігається; система здобуває енергію за рахунок джерела зовнішньої сили. Визначимо повну енергію, передану системі за увесь час дії сили (від - ? до + ?), припускаючи початкову енергію рівної нулю. Відповідно до формули (2,10) (з нижньою межею інтегрування - ? замість нуля й з

ξ(-∞) = 0) маємо при t → ∞:

З іншого боку, енергія системи як такий дається вираженням

 (2,11)

Підставивши сюди | ξ (∞) |2, одержимо шукану передачу енергії

у вигляді

 (2,12)

вона визначається квадратом модуля компоненти Фур'є сили F(t) із частотою, рівній власній частоті системи.

Зокрема, якщо зовнішня сила діє лише протягом короткого проміжку часу (малого в порівнянні з 1/ω), те можна покласти .

Тоді

Цей результат заздалегідь очевидний: він виражає собою той факт, що короткочасна сила повідомляє системі імпульс ∫F dt, не встигши за цей час зробити помітного зсуву.

Коливання систем з багатьма ступенями волі

Теорія вільних коливань систем з декількома (s) ступенями волі будується аналогічно тому, як було розглянуто в одномірних коливаннях.

Нехай потенційна енергія системи U як функція узагальнених координат qi (i = 1, 2, .,., s) має мінімум при qi=qi0. Уводячи малі зсуви

xi = qi – qi0 (3,1)

і розкладаючи по них U з точністю до членів другого порядку, одержимо потенційну енергію у вигляді позитивно певної квадратичної форми

 (3, 2)

де ми знову відраховуємо потенційну енергію від її мінімального значення. Оскільки коефіцієнти kik і kki входять в (3, 2) помноженими на ту саму величину xi xk, те ясно, що їх можна завжди вважати симетричними по своїх індексах

У кінетичній же енергії, що має в загальному випадку вид

думаємо в коефіцієнтах qi = qi0 і, позначаючи постійні aik(qo) за допомогою mik , одержуємо її у вигляді позитивно певної квадратичної форми

 (3,3)

Коефіцієнти mlk теж можна завжди вважати симетричними по індексах

mik = mki

Таким чином, лагранжева функція системи, що робить вільні малі коливання:

 (3, 4)

Складемо тепер рівняння руху. Для визначення вхідних у них похідних напишемо повний диференціал функції Лагранжа

Оскільки величина суми не залежить, зрозуміло, від позначення індексів підсумовування, міняємо в першому й третьому членах у дужках i на k, a k на i; з огляду на при цьому симетричність коефіцієнтів mik і kik, одержимо:

Звідси видно, що

Тому рівняння Лагранжа

 (3,5)

Вони являють собою систему s(i = l, 2, ... , s) лінійних однорідних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами.

За загальними правилами рішення таких рівнянь шукаємо s невідомих функцій xk(t) у вигляді

 (3,6)

де Аk — деякі, поки невизначені, постійні. Підставляючи (3,6) у систему (3,5), одержуємо по скороченні на  систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, яким повинні задовольняти постійні Аk:

 (3,7)

Для того щоб ця система мала відмінні від нуля рішення, повинен звертатися в нуль її визначник

 (3,8)

Рівняння (3,8) -—так зване характеристичне рівняння — являє собою рівняння ступеня s відносно ω2. Воно має в загальному випадку s різних речовинних позитивних корінь ω²a,

а=1, 2, … , s (в окремих випадках деякі із цих корінь можуть збігатися). Певні в такий спосіб величини ωа називаються власними частотами системи.

Речовинність і позитивність корінь рівняння (3,8) заздалегідь очевидні вже з фізичних міркувань. Дійсно, наявність в ω мнимої частини означало б наявність у тимчасовій залежності координат хk (3,6) (а з ними й швидкостей xk) експоненціальне убутного або експоненціальне зростаючого множника. Але наявність такого множника в цьому випадку неприпустимо, тому що воно привело б до зміни згодом сповненої енергії E=U+T системи в суперечності із законом її збереження.

У т же самому можна переконатися й чисто математичним шляхом. Помноживши рівняння (3,7) на  й підсумовував потім по i, одержимо:

звідки

Квадратичні форми в чисельнику й знаменнику цього вираження речовинні в силу речовинності й симетричності коефіцієнтів kik і mik , дійсно,

Вони також істотно позитивні, а тому позитивно й ω2.

Після того як частоти ωа знайдені, підставляючи кожне з них у рівняння (3,7), можна знайти відповідні значення коефіцієнтів Аk. Якщо у всіх кореньі ωа характеристичного рівняння різні, те, як відомо, коефіцієнти Ak пропорційні мінорам визначника (3,8), у якому ω замінена відповідним значенням ωа, позначимо ці мінори через ∆ka. Приватне рішення системи диференціальних рівнянь (3,5) має, отже, вид

де Са— довільна (комплексна) постійна.

Загальне ж рішення дається сумою всіх s часток рішень. Переходячи до речовинної частини, напишемо його у вигляді

 (3,9)

Де ми ввели позначення

 (3,10)

Таким чином, зміна кожної з координат системи згодом являє собою накладення s простих періодичних коливань з довільними амплітудами й фазами, які мають цілком певні частоти.

Природно виникає питання, чи не можна вибрати узагальнені координати таким чином, щоб кожна з них робила тільки одне просте коливання? Сама форма загального інтеграла (3,9) указує шлях до рішення цього завдання.

Справді, розглядаючи s співвідношень (3,9) як систему рівнянь із s невідомими величинами Θа, ми можемо, дозволивши цю систему, виразити величини Θ1, Θ2, …, Θs через координати x1, x2, ..., xs. Отже, величини Θа можна розглядати як нові узагальнені координати. Ці координати називають нормальними (або головними), а чинені ними прості періодичні коливання — нормальними коливаннями системи.

Нормальні координати Θа задовольняють, як це виявляється з їхнього визначення, рівнянням

 (3,11)

Це значить, що в нормальних координатах рівняння рухи розпадаються на s незалежних друг від друга рівнянь. Прискорення кожної нормальної координати залежить тільки від значення цієї ж координати, і для повного визначення її тимчасової залежності треба знати початкові значення тільки її ж самої й відповідної їй швидкості. Інакше кажучи, нормальні коливання системи повністю незалежні.

Зі сказаного очевидно, що функція Лагранжа, виражена через нормальні координати, розпадається на суму виражень, кожне з яких відповідає одномірному коливанню з однієї із частот ωа, тобто має вигляд

 (3,12)

де та — позитивні постійні. З математичної точки зору це означає, що перетворенням (3,9) обидві квадратичні форми - кінетична енергія (3,3) і потенційна (3,2) - одночасно приводяться до діагонального виду.

Страницы: 1, 2