Amp=П0-Пn=mg(h0-hn),   (92)

где h0, hn - начальная и конечная высота подъема шарика. Вы­сота подъема шарика может быть выражена через угол наклона штанги β, угол отклонения шарика от положения равновесия в плоскости колебаний α и длину нити подвеса (рис. 21)

h=Rcosβ(1-cosα),   (93)

В этом случае выражение (92) принимает вид

Amp=mgRcosβ(cosαn-cosα0)=

=

поскольку для малых углов (α≤5º0,09 рад) sinαα,

то

Тогда

Сопоставляя соотношения (90) и (95), получаем выражение для коэффициента трения

где α0 и αn выражены в радианах. Поскольку шкала для изме­рения углов @@ про градуирована в градусах, то рабочий вид формулы (96) имеет вид:

где углы α0  и αn  выражены в угловых градусах.

Порядок выполнения работы

1. Установить угол β наклона штанги прибора на 50...60°.

2. Отклонить шарик от положения равновесия на угол α0<= 5° с помощью вспомогательного предмета (карандаш, ручка).

3. Убрать вспомогательный предмет, представив возможность шарику свободно перемещаться.

4. Зафиксировать угол отклонения шарика от положения равнове­сия @n после 8-10 его полных колебаний.

5. Повторить измерения 3-4 раза и результаты занести в таб­лицу.

6. Найти среднее значение αn. Результаты внести в таблицу.

7. Найти среднюю ошибку измерения конечного угла отклонения. Результаты   занести в таблицу.

в. Используя полученные данные, по формуле (97) определить величину коэффициента трения, результат записать в таблицу,

9. Увеличить угол наклона β  штанги прибора на 5-10° и повторить измерения.

10. Сделать выводы.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое сила нормального давления? и. Запишите уравнение, связывающее силу трения с силой нормального давления.

3. Какие виде трения вы знаете?

4. Чем обусловлены силы трения?

5. В каких случаях силы трения играют положительную роль?

6. В каких случаях силы трения играют отрицательную роль?

7. Как можно изменить силу трения?

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ТЕПА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Цель работы

Определить экспериментально скорости движения тела.

Приборы и принадлежности

Баллистический крутильный маятник.

Описание экспериментальной установки

Общий вид баллистического маятника показан на рис.22.

В основании 1 установлена колонка 2, на которой закреплены верхний 3, нижний 4 и средний 5 кронштейны. К среднему кронштей­ну прикреплены стреляющее устройство 6, прозрачный   экран с нанесенной на него угловой шкалой 7 и фотоэлектрический датчик 8.

Кронштейны 3 и 4 имеют зажимы, служащие для крепления сталь­ной проволоки 9, на которой подвешен маятник. Маятник состоит из двух мисочек, наполненных пластилином 10, двух перемещаемых грузов 11, двух стержней 12 и водилки 13.

Блок управления прибором 14 размещен на основании 1.

Параметры маятника:

диапазон отклонения маятника от положения равновесия - 0-90°;

значение деления угловой шкалы - 1°;

масса каждого из грузов, перемещаемых по стержню маятника (указана непосредственно на грузах);

масса "снаряд" (указана на установке).

Работа с прибором

1. Включить шнур питания прибора в сеть и нажать клавишу "Сеть".

2. Проверить работу индикаторов и лампочек фотоэлектрическо­го датчика: индикаторы электронного секундомера и счетчика числе колебаний (периодов) должны высвечивать "О" вс всех разрядах, а лампочке фотоэлектрического датчика светиться.

3. Если на индикаторах отсутствуют "О" во всех разрядах, то необходимо нажать клавишу "Сброс".

4. После нажатия клавиши "Сброс" счетчик периодов и электронный секундомер готовы к измерениям.

5. для окончания измерений следует нажать клавишу "Стоп".

П р и м е ч а н и е. После нажатая клавиши "Стоп" секундомер останавливается не мгновенно, а продолжает счет до окончания очередного периода колебаний.

Теоретическое введение

В основе экспериментального определения скорости полета тела с помощью баллистического маятника лежит закон сохранения момента импульса.

Если тело массой m движется со скоростью V в плоскости колебаний маятника (рис. 24), то момент импульса тела относитель­но оси маятника

L0=mVr,

где r - кратчайшее расстояние от оси маятника до траектории движения тела. Во время выстрела маятник покоится, т.е. момент импульса его равен нулю. После влипания тела в мисочку маятника последний вместе с телом приобретает начальную угловую скорость вращения w0.

Из закона сохранения момента импульса для системы тело - маятник следует, что

mV2=I1w0,    (98)

где I1 - суммарный момент инерции маятника и тела относительно оси вращения. Маятник с угловой скоростью w0 и соответственно кинетической энергией  начинает поворачиваться. При этом происходит закручивание подвеса (упругой нити) и возникает тормозящий момент. Поворот маятника прекращается, когда его ки­нетическая энергия вращения полностью перейдет в потенциальную энергию закрученной нити:

где К - коефициент упругости нити; α0 максимальный угол закручивания маятника.

Решая совместно уравнения (98) и (99), находим

Дня определения скорости V  из (100) необходимо знать величины К и I1. Для этого следует выполнить два  дополнительных измерения, основанных на законах крутильных колебаний маятника.

Из второго закона динамики для вращательного движения следует

IE=M= - kα,    (101)

где Е - угловое ускорение маятника; ;  - угловая скорость маятника); М - тормозящий момент; α - угол поворота маятника.

Таким образом, уравнение крутильных колебаний маятника (101) преобразуется к виду;

где  - циклическая частота колебаний маятника). Решением уравнения (105) являются гармонические колебания с периодом

Период колебания маятника можно найти экспериментально, причем период будет зависеть от момента инерции маятника и коэффициента упругости подвеса k.

Изменяя момент инерции маятника перемещением грузов массой М из положения R1, для которого момент инерции I1, в положение R2, для которого момент инерции I2, и определяя для этих моментов периоды T1 и T2, составляем систему урав­нений (рис. 24):

где I0 – момент инерции системы без подвижных грузов;

I1= I0+2MR12; I2= I0+2MR22.

Решая систему (104), находим коэффициент упругости нити

и момент инерции

I1= I0+2MR1;

Подставляя значения К и I1 в выражение (100), определяем ско­рость полета тела

Порядок выполнения работы

1. Приблизить грузы, перемещаемые по стержням, к оси  маятника на расстояние 4-5 см (R1).

2. Установить маятник в таком положении, чтобы черта на мисочке с  пластилином совпадала с положением "О" на прозрач­ном экране.

3. Выстрелить тело из стреляющего устройства (первая зарядка тела в стреляющее устройство осуществляется при помощи пре­подавателя или лаборанта).

4. Измерить максимальный угол отклонения маятника α0.

5. Включить и обнулить счетчик времени и периодов.

6. Отклонить вручную маятник на угол α0, деблокировать измеритель времени (нажатием клавиши "Сброс") и отпустить маятник.

7. Измерить время десяти колебаний и вычислить период крутильных колебаний Т1.

8. Отдалить от оси подвижные грузы на расстояние 9-10 см (R2) и повторить действия согласно  пп. 2, 5, 6 данного подраздела.

9. Измерить время десяти колебаний и вычислить величину Т1

10. Вычислить скорость полета тела по формуле (107).

11. Повторить опыт по определению скорости полета тела не менее трех раз.

12. Вычислить среднее значение скорости полета тела.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте закон сохранения импульса.

2. Что такое момент силы?

3. Дайте определение момента инерции тела относительно неподвижной оси вращения.

4. Дайте определение момента импульса тела и сформулируйте закон сохранения момента импульса для замкнутой системы.

5. Запишите основное уравнение динамики вращательного дви­жения.

6. Запишите формулу кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

7. Запишите формулу работы при вращательном движении тела.

8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТЫ ДЕФОРМАЦИИ, КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ И СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ ПРИ УДАРЕ

Цель работы

Изучить законы сохранения энергии и импульса; определить экспериментально работу деформации, коэффициент восстановления, время и силу взаимодействия тел при ударе.

Приборы и принадлежности

Прибор для исследования столкновений шаров, комплект шаров. Понятие "удар" включает в себя совокупность явлений, воз­никающих при столкновении движущихся твердых тел, а также при некоторых взаимодействиях твердых тел с жидкостями и газами (гидравлический удар, взрыв и т.д.). Отличительная особенность данных физических явлений заключается в том, что время взаимодействия мало (10-4 - 10-6 с), а давление, возникающее в точках контакта соударяющихся тел или сред, достигает значений порядка 107 - 1088 Н/м2.

Описание экспериментальной установки

Общий вид прибора для исследования столкновения шаров пока­зан на рис. 24. В основании I закреплена колонка 2, к которой при­креплены нижний 3 и верхний кронштейны 4. К верхнему кронштейну подведены провода 5 от шаров 6. Винт 7 позволяет изменять расстоя­ние между шарами. На нижнем кронштейне укреплены угольники 8 с измерительными шкалами и электромагнит 9. После отвинчивания бол­тов 10 электромагнит можно передвигать вдоль первой шкалы и фик­сировать высоту его установки. Сила притяжения электромагнита регулируется винтом 11, перемещающим сердечник 12.

При включении прибора в сеть и нажатии клавиши "Сеть" заго­рается цифровой индикатор. Для установки нулевых показаний необ­ходимо сбросить измерительную схему нажатием клавиши "Сброс". Управление электромагнитом осуществляется клавишей "Пуск". При от­жатой клавише "Пуск" включается электромагнит и шар, отведенный к магниту, удерживается в отклоненном положении. В этом положении по шкале измеряется начальный угол @@ отклонения нити от вертикального положения. При нажатии клавиши "Пуск", электромагнит отключается, шар под действием силы тяжести начинает перемещаться и, сталкиваясь с покоящимся шаром, вызывает его смещение. При этом нить второго шара отклоняется на угол  @@, а первого на угол @@, величины которых зависят от упругих свойств материа­лов шаров. При столкновении шара с неподвижной стенкой, установ­ленной вместо покоящегося шара, нить правого шара отклоняется на угол @@1.

Порядок выполнения работы

Измерение времени взаимодействия шаров и углов α, β, γ, γ1.

1) Измерить расстояния  R от точки подвеса до центра даров и при необходимости отрегулировать их; эти расстояния должны быть равны. Массы шаров указаны на установке.

2) Включить источник питания нажатием клавиши "Сеть".

3) Отжать клавишу "Пуск" и отвести правый шар к электромаг­ниту, измерить угол первоначального отклонения нити α от вер­тикального положения.

4) Нажать клавишу "Сброс".

5) Нажать клавишу "Пуск". Измерить углы максимальных отклонений от вертикального положения нитей левого шара β и правого γ после их взаимодействия. Зафиксировать по микросекундо­меру время взаимодействия шаров. Измерения повторить 3-5 раз и по­дученные данные занести в таблицу.

6) Используя пары с различными упругими свойствами, выполнить исследования в соответствии с пп.1-5.

7) Заменить левый  шар неподвижной стенкой и в соответствии с пп.3)-6) определить максимальный угол отклонения нити γ1 правого шара от вертикального положения после его взаимодействия со  стенкой. Данные занести в таблицу.

Определение скоростей шаров

При абсолютно упругом столкновении шара массой m1, который двигаетcя со скоростью  V1, с шаром массой  m2, который дви­гается со скоростью V2 (V2<V1,рис.25), поверхности их де­формируются, но этот процесс обратим, так как форма шаров мгно­венно восстанавливается, а энергия деформации без потерь превра­щается в кинетическую энергию движения шаров.

После удара шары будут двигаться с измененными скоростями U1 и U2, определить которые можно с помощью законов сохранения кинетической энергии

и сохранения импульса (количества движения)

m1V1+m2V2=m1U1+m2U2,    (109)

После несложных преобразований находят скорости шаров после удара

Если происходит встречный центральный абсолютно упругий удар (скорости шаров до удара имеют противоположные знаки), то необхо­димо учитывать знак скорости при вычислении соответствующих вели­чин в выражениях (110), (111). При равенстве масс шаров (т1 = т2 = т) из (110) и (111) следует

U1=V2,  U2=V1,   (112)

т.е. первый шар приобрел после удара скорость, равную скорости второго шара, и наоборот. Если до столкновения один из шаров (на­пример, второй) покоился (V2 = 0), то U1 = 0; U2 = V1).

После абсолютно неупругого удара тела совершают совместное движение (рис. 26), а кинетическая энергия соударяющихся тел час­тично переходит в другие виды энергии и тела приобретают остаточ­ную деформацию. При этом закон сохранения механической энергии системы не выполняется. Скорость U' после удара, как известно, можно определить, используя закон сохранения импульса и считая, что внешние силы отсутствуют, а масса системы после удара - т1+ т2:

Если первоначально тело было поднято на высоту h1, то в момент удара его кинетическая энергия равна исходной потенциальной энергии (рис. 27):  .

Скорости шаров после взаимодействия можно определить из условий

где h2 и h3 - высота подъемов второго и первого шара после взаимодействия.

Из этих соотношений следует

1) По измеренному значению угла α начального отклонения правого шара вычислить по формулам (114) и (116) его скорость U1 при прохождении им положения равновесия.

2) Определить теоретические значения скоростей шаров после взаимодействия для случаев абсолютно упругого удара (формулы (110), (111) и абсолютно неупругого удара (формула (113)).

3) По измеренным углам отклонения шаров после их взаимодействия (β и γ) вычислить по формулам (115), (116) действительные зна­чения скоростей шаров.

4) Сравнить теоретические и экспериментальные значения скорос­тей, дать объяснение полученным результатам.

Определение работы деформации при ударе шаров

При неупругом ударе часть механической анергии тел переходит в другие формы энергии (например, тепловую) и затрачивается на ра­боту о статочной, деформации поверхности шаров. В этом случае полная энергия системы не изменяется, кинетическая энергия шаров после удара будет меньше, чем до удара.

Уменьшение механической энергии системы ∆W с достаточной степенью точности можно считать равным работе сил, создающих ос­таточную деформацию.

По закону сохранения энергии при столкновении реальных тел следует учесть работу деформации тел A, т.е. ту часть общей энергии, которая необратимо расходуется на совершение невосстанавливающейся деформации и преобразуется в энергию теплового движения молекул вещества:

Это уравнение позволяет определить работу деформации шаров равных масс (m1 = m2 = m), закрепленных на нерастяжимых нитях длины R. Если второй шар покоится (V2 = 0), а первый - отклонен на угол α от вертикального положения (рис. 27), то (117) преобразуется к виду:

A=∆W=mg(h1-h2-h3),   (118)

где h2 и h3 - высота подъема второго и первого шара после удара. С учетом (116)

A=mgR(cosβ+cosγ-cosα-1),   (119)

1) Вычислить кинетическую энергию шара в момент удара по из­меренному значению угла α первоначального отклонения первого шара.

2) По измеренным значениям углов α, β и γ и длины подвеса шаров R вычислить по формуле (119) изменение механи­ческой энергии системы - работу деформации.

Определение коэффициента восстановления тел при ударе

Степень "неупругости" удара определяется отношением нормальных составляющих скоростей тела после его удара о неподвижную стенку Un (после удара) и V1 (до удара). Это отношение называ­ется коэффициентом восстановления:

В качестве неподвижной стенки можно использовать шар доста­точно  большой массы или любое плоское массивное тело. С учетом, что

где  h3 - высота подъема шара после его удара о массивную не­подвижную стенку, коэффициент восстановления

Используя связь высоты подъема шара с углом отклонения нити от положения равновесия, окончательно получаем

По измеренным значениям α и γ1   вычислить коэффициент восстановления E и результаты занести в таблицу.

Определение силы взаимодействия тел

Силу взаимодействия двух тел можно определить исходя из основного уравнения динамики Поступательного движения:

где F - средняя сила удара; ∆t - время взаимодействия соударяющихся тел; ∆V - изменение скорости тела, возникающее в результате удара.

Так как скорость первого шара после его столкновения с поко­ящимся шаром отлична от нуля и направлена в ту же сторону, что и скорость до удара, то ∆(mV) = mV1 - mU1 и, следовательно, сила взаимодействия шаров

С учетом (114)-(116) результат (123) преобразуется к виду

1) По измеренным значениям длины подвеса R, углов α и γ начального и конечного отклонений первого шара и времени взаимо­действия шаров ∆t вычислить по формуле (124) силу взаимодей­ствия шаров. Результаты занести в таблицу.

2) Предполагая, что площадь контакта взаимодействующих шаров составляет S = 0,1 мм, найти величину давления, действующего на стенку шара.

Контрольные вопросы и задания

1. Что называется ударом?

2. Какой удар называется абсолютно упругим? Приведите пример.

3..Какой удар называется абсолютно неупругим? Приведите пример.

4. Запилите закон сохранения анергии при ударе.

5. Выведите формулы для определения скорости шаров после абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.

6. Запишите закон сохранения импульса при центральном ударе шаров.

7. Выполняется ли закон сохранения механической анергии при абсолютно неупругом ударе?

8. Выведите формулу для определения работы деформации тел при ударе.

9. ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы

Исследовать явления резонанса и биений в колебательных механических системах.

Приборы и принадлежности

Прибор для изучения колебаний связанных систем.

Описание экспериментальной установки

На основании 1 установки (рис. 28) смонтирован блок управления и измерений 2, в котором находится электродвигатель. На валу элект­родвигателя закреплен ведущий стержень 3, движения которого возбуж­дают колебания механической системы. На колонке 4 закреплен кронш­тейн с фотоэлектрическим датчиком 5 и измерительной шкалой 6. Свя­занная система представляет собой маятник 8 с грузом 7 и стер­жень 9, жестко скрепленный скобой 10 со стержнем 3. Связь между маятником и стержнем осуществляется П-образной скобой 11, снаб­женной пружинами 12.

Колебания возбуждаются вращением электродвигателя. Последний, перемещая стержень 3, связанный скобой 10 и пружинами 12 с маятни­ком 8, приводит маятник в состояние колебаний. Все стержни за­креплены на подвесках 13,.установленных на неподвижной общей оси 14.

Порядок выполнения работы

Определение собственной частоты колебаний маятника.

Собственная частота колебаний маятника в основном зависит от параметров (длины, массы и формы закрепленного груза, жесткости и места закрепления пружин) и незначительно - от амплитуды колеба­ний, если она невелика.

* На выполнение работы запланировано четыре академических часа.

Последовательность выполнения:

1) Включить прибор нажатием клавиши "Сеть" и убедиться в свечении индикатора.

2) Отклонить маятник на 5-10° от положения равновесия и от­пустить его.

3) Нажать клавишу "Сброс".

4) После совершения 10-12 колебаний нажать клавишу ''Стоп". Измерительным блоком при этом фиксируется количество полных колеба­ний и их время.

В) Определить частоту собственных колебаний маятника

где n - число колебаний,  t - время.

Изучение явления резонанса

Все реальные колебательные системы диссипативные. Энергия их механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают. В случае небольших скоростей движения силы, вызывающие затухание механиче­ских колебаний, пропорциональны величине скорости. Таким образом, при отсутствии внешней силы на маятник будут действовать две силы: упругая, пропорциональная величине смещения маятника из положения равновесия, и сила трения, пропорциональная скорости движения ма­ятника. Уравнение движения маятника

где m - масса маятника;    x - координата, характеризующая положение маятника (угол);   r - коэффициент сопротивления; К - коэффициент упругости.

Решение (126) показывает, что собственно колебания маятника являются затухающими:

где β - коэффициент затухания, ; w* - собственная циклическая частота колебаний диссипативной системы, ;

w0 - частота собственных колебаний маятника при отсутствии сил трения в системе,

Если коэффициент затухания мал (β<<w0), то

Таким образом, затухающие колебания можно рассматривать как колебания с постоянными частотой w* и периодом

амплитуда которых уменьшается со временем по экспоненте (рис. 29)

Как следует из формулы (130) и рис. 30, затухание колебаний увеличивается с ростом величины β.

Для характеристики затухающих колебаний вводится кроме коэф­фициента затухания β логарифмический декремент затухания δ, равный натуральному логарифму отношения двух амплитуд колебаний, отстоящих друг от друга на период колебаний:

Если на маятник, кроме упругой силы и силы трения, действует еще внешняя периодическая сила, то уравнения движения

где F0 - амплитудное значений вынуждающей силы; w - угловая частота внешней силы.

Решение этого уравнения приводит к следующим выражениям для величины смещения x , сдвига фаз φ и амплитуды колебаний А0:

x=A0sin(wt+φ);  (133)

Если затухание мало, то при приближении частоты внешнего воз­действия к собственной частоте амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом. При частоте

амплитуда вынужденных колебаний имеет наибольшее значение. Чем меньше коэффициент затухания, тем более резко выражено явление резонанса (рис. 30).

По мере возрастания коэффициента затухания β явление резо­нанса проявляется все слабее и, наконец, исчезает при

Если затухание невелико (β и w0), то резонансная частота

Сравнивая уравнения (128) и (137), отметим, что wрез < w*,

где w* - собственная частота колебаний диссипативной системы.

При этом

По сдвигу резонансной частоты wрез относительно w*   можно определить коэффициент затухания

учитывая, что

где f* и  fрез – линейные частоты колебаний, получаем

Последовательность выполнения:

1) Включить прибор нажатием клавиши "Сеть".

2) Вывести в крайнее левое положение потенциометр "Частота колебаний".

3) Включить двигатель тумблером "Включение двигателя".

4) Установить минимальную частоту колебаний стержня 3 потен­циометром "Частота колебаний" (см. рис. 29).

5) Нажать клавишу "Сброс'', после подсчета прибором времени 10 колебаний стержня 4 нажать клавишу "Стоп".

6) Вычислить частоту колебаний вынуждающего стержня.

где n - число колебаний;   t - время.

7) Записать амплитуду колебаний маятника.

8) Произвести измерения в соответствии с пп. 5)-7), увеличи­вая частоту оборотов двигателя потенциометром "Частота колебаний", Построить зависимость амплитуды колебаний маятника 8 от частоты вынуждающей силы (частоты колебаний стержней 3 и 4). Отметить на оси частот полученное значение собственной частоты колебаний маятника.

9) Определить значение резонансной частоты fрез по данным графика. По найденным значениям резонансной частоты fрез и

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6