Нормальное ускорение
направлено от данной точки к оси вращения.
Касательное ускорение
направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с
направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном –
противоположно скорости.
Рассмотрим векторное
произведение (рис. 2.4). Его модуль , а направление совпадает с направлением
скорости. Из этого делаем вывод, что вектор скорости:
(2.11)
взяв от этого выражения производную по
времени, получим:
Первое произведение по
величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным
ускорением.
Таким образом,
касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном
движении определяется формулами:
(2.12)
Отметим, что
радиус-вектор точки М можно проводить из
любой точки О1, лежащей на оси вращения (все точки оси
вращения неподвижны) и что этот вектор постоянный по модулю (у него меняется только
направление).
2.5 Простейшие
передаточные механизмы
Передаточными называют
механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим
из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое
изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а, а
ременных и цепных на рис. 2.5.б.
Найдем скорость точки а: на колесе
І и на колесе
ІІ. Так как проскальзывание
отсутствует, то .
Отсюда:
(2.13)
т.е. угловые скорости
обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i1-2 называется передаточным отношением.
У зубчатых и цепных
передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть
проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на
большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных
механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в
курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин».
Тема
3 Сложное движение точки
3.1 Основные
определения
До сих пор мы
рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако,
часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в
некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно
неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем
основные определения сложного движения точки.
Движение точки в
подвижной системе отсчета называется относительным. Скорость и ускорение точки
в этом движении называются относительными и обозначаются: (или ).
Движение точки вместе с
подвижной системой называется переносным. Скорость и ускорение той точки М/
подвижной системы, в которой в данный момент находится движущаяся точка М,
являются для данной точки переносной скоростью и переносным ускорением и
обозначаются (или ).
Движение точки
относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Скорость и
ускорение точки в этом движении называются абсолютными и обозначаются (или ).
Пусть точка М движется
в подвижной системе отсчета охуz. Ее координаты х, у, z являются функциями времени, а
координаты х/, у/, z/ точки М/ подвижной
системы, в которой в данный момент находится движущая точка М, являются
константами. Но в любой момент времени
х = х/, у
= у/, z = z/ (3.1)
Введем в рассмотрение
радиусы-векторы, определяющие положение точек М и М/ в
подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1).
-
радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы охуz в неподвижной системе отсчета о1х1у1z1.
=- радиус-вектор, определяющий положение
движущейся точки М в подвижной системе отсчета. Он описывает относительное
движение точки.
-
радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной системы в
этой же системе.
-
радиус-вектор, определяющий положение точки М/ подвижной
системы в неподвижной системе отсчета. Он описывает переносное движение точки.
-
радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки М в неподвижной
системе отсчета. Он описывает абсолютное движение.
3.2 Теоремы о
схождении скоростей и ускорений
Скорости и ускорения
точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по
времени от соответствующих радиусов-векторов.
1.
Относительную
скорость и относительное ускорение находим как первую и вторую производные по
времени от радиус-вектора , считая единичные орты константами (в подвижной системе – они
постоянны).
2.
Переносную
скорость и переносное ускорение находим как первую и вторую производные по
времени от радиус-вектора , считая координаты х/,
у/, z/
константами, а единичные орты – переменными.
так как дифференцирование проведено,
то мы можем воспользоваться равенствами (3.1), т.е. заменить х/
на х, у/ на у, z/ на z:
3.
Абсолютную
скорость и абсолютное ускорение находим как первую и вторую производные по
времени от радиус-вектора , считая все величины
переменными:
Таким образом доказана
теорема сложения скоростей:
Абсолютная скорость равна
геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
(3.6)
находим абсолютное ускорение:
где введено обозначение:
(3.7)
Величина , определяемая равенством (3.7) называется
поворотным ускорением или ускорением Кориолиса, по имени французского ученого,
доказавшего теорему сложения ускорений:
Абсолютное ускорение
точки равно геометрической сумме переносного, относительного и Кориолисов
ускорений.
(3.8)
3.3 Ускорение
Кориолиса, его величина направление и физический смысл
Рассмотрим ускорение
Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется
относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение
поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению
и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение
Кориолиса равно нулю.
Теорема о сложении
ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством:
(3.9)
Рассмотрим переносное
вращательное движение. Пусть подвижная система вращается вокруг оси О3 с угловой
скоростью (рис. 3.2). единичные
орты можно рассматривать как радиус-векторы точек
А, В и С соответственно. А производные по времени от
радиус-векторов точек дают скорости точек.
Следовательно:
; ; (а)
с другой стороны, скорости точек А,
В и С мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11):
; ; (б)
сравнивая (а) и (б)
находим, что:
; ; ; (в)
Подставим эти значения в
формулу (3.7)
Таким образом ускорение
Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости
переносного движения на вектор относительной скорости.
(3.10)
Его величина
(3.11)
В соответствии с правилом
векторного произведения ускорения Кориолиса направлено перпендикулярно
плоскости, в которой лежат векторы и ,
в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видим поворот вектора к вектору на
меньший угол происходящим против часовой стрелки.
Другое правило: чтобы
найти направление ускорения Кориолиса, надо вектор спроецировать
на плоскость, перпендикулярно оси переносного вращения, и полученную проекцию
повернуть на 90о в сторону вращения. Эти и будет направление вектора
.
Физический смысл
ускорения Кориолиса выясним на таком примере. Пусть круглая платформа вращается
с постоянной угловой скоростью , а по радиусу платформы
двигается точка М с постоянной относительной скоростью Vч (рис. 3.3). В некоторый момент точка занимает
положение Мо, а через промежуток времени положение М1. При этом произошло
изменение относительной скорости за счет переносного движения (изменилось
направление вектора ) и изменение переносной скорости
за счет относительного движения (изменилась величина в
результате удаления точки от оси вращения). Эти два изменения и характеризуются
ускорением Кориолиса.
Таким образом, ускорение
Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате
переносного движения и изменение переносной скорости в результате
относительного движения.
В общем случае движения
формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде:
(3.12)
Задача кинематики плоского движения твердого тела - найти
характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к
таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения
тела.
Рис.
1
Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела -
векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух
произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1)
B = A + BA = A + ´ ; (1)
B = A + + = A + × ( ´ )
+ × ; (2)
где , , - векторы угловой
скорости и углового ускорения вращения плоской фигуры вокруг любой оси,
например Az' перпендикулярной плоскости движения Oxy относительно системы
координат Ax'y'z', оси которой
параллельны осям неподвижной системы координат Оxyz.На рис.1 оси Оz. и Аz' не изображены, так как
считается, что они перпендикулярны к плоскости рисунка и направлены на
наблюдателя, а плоскости Охy и Аx'y' совпадают с плоскостью рисунка.
Левые части выражений
BA = ´ ; = ×
( ´ )
= × BA; = × ;
являются соответственно векторами скорости, нормального и касательного ускорения точки В
относительно системы координат Ax'y'z' при вращении отрезка АВ в плоскости рисунка вокруг точки A, называемой в таком
случае полюсом, с угловой скоростью и угловым ускорением . Индексы n и t, в выражениях и указывают, что эти
векторы направлены соответственно по внутренней нормали и касательной в точке B к окружности радиуса r = AB с центром в точке А.
Модули упомянутых векторов находятся по формулам
½BA½ = ´ AB; ½½ = = ´ AB; ½½ = ´ AB; (3)
Векторы BA, , лежат в плоскости
движения плоской фигуры тела, причем ненулевые векторы BA, перпендикулярны отрезку AB, а ненулевой вектор направлен от точки В к
точке А . Таким образом, для этих векторов всегда известны линии действия.
Поскольку модуль ускорения может быть вычислен по формуле (3) через угловую скорость тела , обычно известную к этапу нахождения
ускорений, целесообразно в формуле (2) вектор записывать вслед за
известным вектором А, т.е. перед вектором .
Векторы и параллельны
оси Оz
и поэтому полностью определяются своими проекциями на эту ось
Модуль проекции равен модулю вектора ; ,
а знак проекции указывает на направление вектора. Например, если проекции
векторов положительны (, то векторы направлены так же, как и , или ось Oz. Таким образом, при
плоском движении тела задача нахождения векторов сводится
к задаче отыскания их проекций на ось Oz или Az'.
Если (рад) - угол между осью Ax' (Ох) и вектором (рис. 1) и за положительное направление
отсчета угла для выбранной системы координат принято
направление против хода часовой стрелки, то
рад/с; = = рад/с. (4)
О направлении векторов и судят
по круговым стрелкам и согласно правилу:
"круговая стрелка, направленная против хода стрелки часов, соответствует
вектору, направленному так же, как ось Oz".
Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2,
´ ; B = ; ;
; , (5)
следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек
тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Рz с угловой скоростью .
Если отсчитывать угол 90 от направления
вектора скорости точки A к направлению АР от этой
точки до МЦС, то направление отсчета угла совпадает с направлением круговой стрелки . Этот
факт можно использовать для определения направления вектора .
Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3),
; ; (6)
,
следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек
тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Qz с угловой скоростью и угловым ускорением .
Угол отсчитывается от вектора
ускорения какой-либо точки в направлении
круговой стрелки . При отыскании положения МЦУ по
ускорениям двух точек, например по и , под углом к
соответствующим ускорениям проводят лучи AQ и BQ. Точка пересечения лучей
(точка Q)
является МЦУ плоской фигуры в данный момент времени.
Направления векторов и помимо формул (4) могут быть найдены из
отдельных векторных формул
; ; . (7)
Рис. 4
Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных
векторов формул (7) при известных , ,
направления и находят аналогично случаю вращательного
движения тела вокруг неподвижной оси (рис. 4).
Рис. 5
Кинематика плоского движения
катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общем случае криволинейной),
имеет некоторые особенности вследствие того, что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с
точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении катка расстояние от его центра
(точки А) до МЦС является
неизменным во времени и равным R.
AP(t)
= const = R (8)
Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить
дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик
катка. Представим вектор скорости точки А с помощью:
а) формулы естественного способа задания движения точки
, где - единичный вектор
естественного трехгранника, касательный в точке A к кривой ее движения; SA - криволинейная
координата точки;
б) формулы (7) плоского движения тела
,
;
- орт оси Оz, перпендикулярной
плоскости движения катка Qxy; j - угол, задающий
направление какого-либо отрезка плоской фигуры катка. Ввиду произвольности
выбора такого отрезка, обычно собственно отрезок, не указывают на рисунках, а
изображают лишь круговую стрелку положительного направления отсчета угла j, называя его углом
поворота катка.
Приравнивая правые части последних формул, имеем
.
Поскольку вектoр коллинеарен результату векторного
произведения
(^,
^),
то
.
Откуда, используя свойство (8),
получим формулы
, или , (9)
справедливые для любого момента времени t.
В правой части формулы (9) берется знак "+", если при
мысленном увеличении угла поворота катка j в направлении против хода
стрелки часов наблюдается возрастание координаты SА центра движущегося катка
в положительном направлении ее отсчета, иначе берется знак "-".
Так, например, для случая отсчетов SА и j, изображенном на рис.5,
в формуле (9) необходимо брать знак "-".
Дифференцируя и интегрируя по времени соотношения (9), придем к
выражениям
, или , (10),
а также ,
где С - некоторая константа, значение которой зависит от выбора
начал отсчетов SА и j. Обычно принимают С=0, так как считают, что
когда SА=0, j также равно нулю. Из произведения
соответствующих частей формул (9), (10),
(11)
следует, что если векторы , сонаправлены, то сонаправлены и векторы , .
Таким образом, с помощью формул (1-4), (8-9) могут быть найдены
характеристики векторов скоростей и ускорений точек, векторов угловых скоростей
и ускорений звеньев механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их
проверка.
Нахождение кинематических характеристик движения (, , ,
) при помощи векторных формул (1), (2)
рекомендуется проводить следующим образом:
1)
написать
формулу (1) или (2) применительно к конкретным точкам рассматриваемого звена
механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными
кинематическими характеристиками движения;
2)
установить,
известны или неизвестны на данном этапе решения две независимые характеристики
{проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора,
входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик
векторов, которые могут быть установлены из условий движения звена без решения
рассматриваемого векторного уравнения;
3) решить векторное уравнение графоаналитическим или аналитическим
методом (метод проекций).
Страницы: 1, 2
|