Кинематика

Кинематика

тема 1 кинематика точки

1.1 предмет изучения

С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика».

Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам.

Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени.

Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные
 кинематические характеристики движения.

Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку.

1.2 Способы задания движения точки

Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.

1.2.1 Векторный способ

Положение движущейся точки М определяется с помощью радиуса вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в эту точку (рис. 1.1). В процессе движения этот вектор изменяется по величине и направлению, т.е. является функцией времени. Зависимость

 (1.1)

называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения.

1.2.2 Координатный способ

С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z. Положение точки определяется тремя координатами: х, у, z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени.

Зависимости

х=f1(t);        у=f2(t);        z=f3(t)          (1.2)

называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t).

Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.

1.2.3 Естественный способ

При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета.

Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S, измеряемой вдоль траектории. Зависимость

S = f(t) (1.3)

называется уравнением движения в естественной форме.

1.2.4 Связь между способами задания движения

Координатный векторный способы связаны зависимостью:

 (1.4)

где  - единичные орты координатных осей.

Переход от координатного способа к естественному:

здесь: ;            

(т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой).

1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения

Пусть точка за время  переходит из положения М в положение М1, двигаясь вдоль траектории (Рис. 1.4)  называется вектором перемеще-ния.  - средняя скорость.

Например, вектор  по хорде М М1. если уменьшать промежуток времени , то хорда будет приближаться к касательной, а средняя скорость к мгновенной.

Рис. 1.4

 (1.6)

Направлен вектор скорости по касательной к траектории.

Определение ускорения:

Пусть в положении М скорость , а в положении М1 (через время ) скорость . Приращение скорости (рис. 1.5).

Среднее ускорение:

Ускорение в данный момент

  (1.7)

Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.

1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

при координатном способе задания движения:

 (а)

с другой стороны:

 (б)

Сравнивая (а) и (б) находим:

;     ;      (1.8)

т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Величина скорости:

 (1.9)

направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).

 (1.10)

Аналогично ищем ускорения:

Сравнивая (в), (г), (д) находим:

 (1.11)

Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат.

Величина ускорения:

 (1.12)

Направляющие косинусы:

;  ;  ; (1.13)

1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения

Пусть за время  точка переместилась из положения М в положение М1, совершив перемещение (рис. 1.17).

величина скорости точки:

 (1.14)

Направлена скорость по касательной к траектории:

Найдем ускорение точки.

Пусть в положении М точка имеет скорость (рис. 1.8).

Полное ускорение точки будет:

Обозначим угол между касательными через  (угол смежности). Спроецируем вектор ускорения  на касательную и нормам п.

Найдем эти пределы, учитывая, что при одновременно и  и .

где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.

Подставив эти значения в ап получим:

Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:

(1.17)

(1.16)

(1.15)

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости.

Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.

1.6 Частные случаи движения точки

По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении ап = 0, т.к. ρ = ∞.

По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные.

Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const).

Закон равномерного движения:

S=S0+Vt (1.18)

Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна.

Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами:

 (1.19)

Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения

Тема 2 Простейшие движения тела

К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

2.1 Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе.

Это самое простое движение тела.

Оно описывается одной теоремой:

При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.

Доказательство:

Проведем в теле произвольный отрезок АВ. При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А на величину АВ, т.е. они одинаковые.

Проведем из неподвижного центра О радиусы-векторы точек А и В (), а также вектор  из точки А в точку В.

Очевидно, что

Продифференцируем это векторное равенство по времени, учитывая, что .

;       но , значит

 (2.1)

дифференцируя (2.1) по времени: , получаем:

 (2.2)

Так как точки А и В взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела.

Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки.

2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси

Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения.

Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2).

Положением тела будет однозначно определяться углом φ между этими полуплоскостями. Угол φ называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ – против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z.

Зависимость

φ = φ(t) (2.3)

называется уравнением вращательного движения.

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω. Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ к промежутку времени ∆t, за который оно произошло.

Угловая скорость в данный момент времени:

 (2.3)

Вектор угловой скорости  направлен по оси вращения в ту сторону, чтобы, глядя навстречу ему, мы видели вращение происходящей против часовой стрелки. Изменяется ω в радиан/сек. На производстве угловую скорость измеряют в об/мин. В этом случае она обозначается буквой «п».

Формула перехода:

 (2.4)

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε, которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени:

 (2.5)

Направлен вектор  также по оси вращения в сторону  при ускоренном и противоположном  при замедленном вращении. Единица измерения – 1Рад/с2.

2.3 Равномерное и равнопеременное вращение

Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, т.е. ω = const.

Закон равномерного вращения:

φ=φ0+ωt  (2.6)

Вращение называется равнопеременным, если угловое ускорение постоянно, т.е. ε = const.

Но . Разделяя переменные и интеграции  находим, что

 (2.7)

Подставив сюда  и еще раз интегрируя , получим уравнение переменного вращения:

 (2.8)

2.4 Скорости и ускорение точек вращающегося тела

пусть за время dt тело повернулось на угол dφ, а точка М, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, получила перемещение dS=ч* dφ (рис. 2.3).

 Тогда скорость точки

 (2.9)

Направлен вектор скорости по касательной к траекториям, т.е. по касательной к окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, а ее плоскость перпендикулярна оси вращения.

Найдем нормальное и касательное ускорение точки:

			(2.10)

 

Страницы: 1, 2