Рассмотрим механизм потерь мощности в одномодовом волоконном световоде.      При распространении электромагнитной энергии вдоль не­регу­лярного световода часть световой мощности рассеивается.  Часть рассеивающейся мощности перераспределяется между вперед и назад распространяющимися модами, а остальная часть излучается.  Интерес представляет вывод выражений для определения  численной оценки величины рассеивающейся мощности для волокон с известными характеристиками профиля показателя преломления и допусковыми значениями нерегуляр­ностей.

            Неоднородности нерегулярных световодов удобно пред­ставлять как источники вынужденных токов, находящихся внутри регулярного световода. При этом может быть описано возбуж­дение как направленных мод, так и поля излучения.

Нерегулярности световодов приводят к зависимости пока­зателя преломления от продольной координаты, т.е. n=n(x,y,z). Полные электрическое и магнитное поля E (x,y,z) и H(x,y,z) в любой точке внутри нерегулярного световода связаны между собой уравнениями Максвелла для среды без источников. С другой стороны, эти поля можно представить в виде поля регулярного световода, в котором имеются источники тока :

    (2.1)   

Здесь    - волновое число в свободном пространстве;

              - профиль того же световода без неоднородностей.

Величину  

                                             (2.2)

называют вынужденной плотностью тока, обусловленной неоднородностью. Источник вынужденного тока  (2.2)  существует только внутри области неоднородности и целиком определен при условии известности полного электрического поля Е. Если световод является слабонаправляющим и n » n, то поля мод являются приблизительно поперечными и в первом приближении можно считать, что E = Ex , а     

                                                             (2.3)

Индекс x означает поперечную компоненту поля, а n1 - показатель преломления сердцевины волокна, иначе n(a)= n1 при а<r, где r - радиус сердцевины волокна.

Таким образом из (2.2) и (2.3) имеем:

                                    (2.4)

В этом приближении не учтены все поляризационные эффекты, обусловленные неоднородностями, поскольку в рамках приближения слабонаправляющего световода поперечные поля всех мод ортогональны друг другу. В частности, поляризованная вдоль оси x чётная основная мода не может быть возбуждена нечётной или поляризованной вдоль оси y основной модой.

Подставив в (2.4) выражение для электрического поля в гауссовом приближении рассмотренном в [1], получим следующее выражение для плотности тока, если на неоднородность в круглом световоде падает основная мода, поляризованная вдоль оси x :              

   ,  (2.5)

где - фундаментальное решение скалярного волнового уравнения для поля основной моды, определяемой в зависимости от профиля показателя преломления .

Вследствие того что, волоконные световоды, используемые в волоконной гироскопии, являются слабонаправляющими, т.е. относительная разность между максимальным и минимальным значениями профиля показателя преломления n ( r ) мала, векторы Е и H аппроксимируются решениями скалярного волнового уравнения. Постоянная распространения b основной моды, направляемой по световоду, ограничивается интервалом между двумя экстремумами, которые определяются значениями b для плоских волн. В бесконечных средах с показателями преломления n1 и n2 :

     ,                                                     (2.6)

где n1 , n2 - максимальное и минимальное значения показателя преломления n ( r );  - длина волны в вакууме.

В силу слабой канализации волн в световодах, т.е. n1 »n2 из (2.6) следует b » 2 p n / l, что совпадает с постоянной распространения плоской волны в направлении Z в бесконечной среде с показателем преломления n2 £ n £ n1 .

Таким образом, основная мода волоконного световода является квазипоперечной электромагнитной (Т) волной. В простейшем случае - это волна, однородно поляризованная только в одном направлении в отличии от мод высших порядков. Если обозначить направление поляризации через Х, поле в световоде можно представить в виде

                              ,                                     (2.7)

где  - магнитная проницаемость среды;

        =  -  диэлектрическая проницаемость среды;

        - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Здесь неявно подразумеваем временную зависимость  . Компоненты поля Ey , Ez , Hx , Hz не учитываются поскольку они пренебрежимо малы, Y описывает пространственное изменение поля в плоскости, перпендикулярной оси световода. Следует отметить, что отражение плоской волны от границы раздела диэлектрических сред с близкими параметрами практически не чувствительно к поляризации падающей волны. Соответственно, и пространственное изменение поля Y должно быть нечувствительно к поляризационным эффектам, поэтому Y - решение скалярного волнового уравнения, т.е.

            ,                   (2.8)

где:

n ( r ) - профиль показателя преломления; l - длина волны в вакууме.

Таким образом, основная мода описывается решением уравнения (2.8), соответствующим наибольшему b и , не зависящей от угла . Для регулярного световода n ( r ) не зависит от длины, в случае нерегулярного световода n=n(x,y,z).

В практически интересных случаях применяют в одномодовых световодах оптические волокна как со ступенчатым, так и градиентным профилем. При этом наибольшее распространение получили оптические волокна с гауссовым и ступенчатым профилями.  Эти волокна целесообразно применять и в волоконной гироскопии поэтому остановимся на их анализе подробнее.

При изготовлении световодов в следствии диффузии границы между оболочкой и сердцевиной реальные профили могут отличаться как от ступенчатого, так и от гауссова, занимая некоторое промежуточное положение (сглаженный ступенчатый профиль). При этом профиль показателя преломления представляют в виде  :

                                                               (2.9)

            где   - параметр высоты профиля.

Численные решения волнового уравнения  для ступенчатого и степенного профилей волокна [2] показывают, что форма Y (r) примерно гауссова. В соответствии с этими исследованиями поле моды HE11 можно представить в виде:

                                         (2.10)

где r0 - размер светового пятна, определенный вариационным методом в [2].

Для решения волнового уравнения умножим его на

и воспользуемся тождеством:

            (2.11)

После интегрирования в пределах от 0 до ¥ получаем

                                    (2.12)                      

Кроме (2.12) появляется дополнительный член   ,

который вычисляется при значениях r = 0 и ¥. Этот член равен нулю, поскольку  конечно при r = 0 и экспоненциально стремиться к нулю при r ® ¥.

            Размер пятна r0 выбирается из условия обеспечения наибольшего b, которое соответствует основной моде. Подставляя приближенное выражение (2.10) в (2.12), можно определить r0 из условия db2/ dr0 = 0. Приближение для постоянной распространения b получается далее подстановкой найденного r0 в выражение (2.12). Таким образом, зная r0 и b можно полностью характеризовать поле с помощью формул (2.7) и (2.10). Используем полученную методику для определения параметров r0 и b для профилей применяемых в волокнах для оптической гироскопии.

В случае гауссова профиля показателя преломления:

             ,                   (2.13)

                        где  .

            Таким образом, n(r) с ростом r от 0 до ¥ уменьшается плавно от n1 до n2. Поскольку чёткой границы между сердцевиной и оболочкой нет, то форму профиля определяет радиус сердцевины a. Такая форма профиля показателя преломления представляет практический интерес, так как является хорошим приближением реального случая, когда в процессе изготовления волоконных световодов происходит взаимная диффузия материала сердцевины и оболочки.

            Подставляя (2.13) в (2.10) и (2.12), из условия db2/dr0 = 0 находим величину

                                                                                   (2.14)

Выражение (2.14) имеет физический смысл только при V >>1 (r0 - положительно), однако это не уменьшает его практической ценности, так как при V £ 1 вблизи оси световода распространяется лишь малая доля мощности основной моды. Подставляя r0 в (2.12) получаем выражение для

                                                  ,               (2.15)

где

                      (2.16)             

                Размер пятна r0 и постоянная распространения b полностью характеризуют поле основной моды, а следовательно, и передаточные свойства одномодовых световодов.

            Распределение плотности мощности или профиль интенсивности S(r) имеет вид :

            ,      (2.17)

где e,m - относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума.

С увеличением расстояния от оси световода интенсивность падает экспоненциально. При меньших значениях V спад происходит медленнее, поэтому чем меньше V, тем меньшая часть полной мощности распространяется вблизи оси волокна. Доля мощности, распространяющейся в интервале от 0 до r, равна

       (2.18)

Таким образом в световодах с малым V распространяющееся излучение захватывает большую область поперечного сечения. Поскольку в практических ситуациях такое положение нежелательно, ограничение на V >1 (2.14) не важно. Практический интерес представляет определить ширину a профиля показателя преломления, при которой мощность пучка света будет наиболее сильно концентрироваться вблизи оси волокна при фиксированных значениях D и длины волны излучения, т.е. определить значение радиуса сердцевины, обеспечивающего минимальный размер пятна r0.  Дифференцируя (2.14) по a и учитывая, что согласно (2.16) V пропорционально a, получим оптимальное значение a, соответствующее V=2, т.е.

                        )    (2.19)

При V = 2 имеем r0 = a, т.е. распределение интенсивности S(r) совпадает с формой профиля показателя преломления.

В случае световода со ступенчатым профилем показателя преломления:

                                                                                 (2.20)

( S =1, f = 0 при r £ a и S =0, f =1 при r > a).

Следуя методике определения r0  и b для световодов с гауссовым профилем, получаем

                                                                (2.21)

                                               (2.22)

Все физические процессы имеющие место в волокнах с гауссовым профилем преломления, справедливы и для волокна со ступенчатым профилем. Радиус сердцевины a, обеспечивающий максимальную концентрацию света в волокне, определим в данном случае из условия  V = exp(1/2) » 1.65 что соответствует

     (2.23)                                      

Таким образом, плотность мощности в ступенчатом волоконном световоде выше на 17%. Доля мощности, распространяющейся в пределах радиуса r, будет равна

                                       (2.24)

            Получим основные характеристики одномодовых световодов на основе выводов сделанных ранее. Рассмотрим амплитуду излучения и мощность распространяющихся мод.

Для j - й вперёд и назад распространяющихся мод полная мощность определяется соотношениями :

                                                                           (2.25)

                   ,                                                   (2.26)

где Nj , N-j - параметры нормировки.

Полная мощность, возбуждённая во всех направляемых модах, будет равна

                        (2.27)

                Если световод является слабонаправляющим и круглым, а источники тока излучают вдоль оси x поперечного сечения световода, то мощность в каждой моде равна

      (2.28)

            где bl - скалярные постоянные распространения;

                   Yl- решение скалярного волнового уравнения (2.11).

            Для определения мощности излучения воспользуемся приближением свободного пространства, суть которого сводится к замене слабонаправляющего световода неограниченной однородной средой с показателем преломления оболочки n2 . В большинстве практических случаях излученная мощность достаточно точно описывается в рамках этого приближения.

            Решение уравнений Максвелла для полного поля в световоде с произвольным показателем преломления, согласно методике, приведённой в [2], можно выразить через векторный потенциал А, декартовы составляющие которого удовлетворяют уравнению

                                  ,                          (2.29)

         где           - распределение плотности тока; Ñ2 - скалярный оператор Лапласа. Решение уравнения (2.29) для каждой составляющей выражается через функцию Грина в виде

                        ,                           (2.30)

где V - объём, в котором распределены источники тока;

- радиусы-векторы точки наблюдения поля и точки расположения источника соответственно (рис 2.1.а).

Функция Грина находится путём решения соответствующего уравнения для свободного пространства с показателем преломления n2 и имеет вид

,    (2.31) 

где  , а c - угол между векторами  и .

Подстановка (2.31) в (2.30) приводит к выражению

,              (2.32)

            где

a)

            б)        

Рис 2.1.  Возмущение поля в точке P  источником с плотностью тока J в точке Q (а) и сферические полярные координаты точек Р и Q (б).

Достаточно далеко в оболочке поля всех источников являются локально плоскими и имеют вид .

                                               (2.33)

                            (2.34)

Отсюда запишем полную мощность излучения в виде

            ,       (2.35)

где с - скорость света; S¥ - сферическая поверхность с радиусом ¥; W - пространственный угол; S = | r | - радиус среды;- единичный вектор, параллельный радиальному вектору.

Если векторы P и Q выразить в сферической системе координат (S,Q,j) (рис 1.б), которая ориентирована так, что если угол j равен нулю, радиус-вектор расположен в плоскости Z, то уравнение (2.35) с использованием (2.32) и (2.33) можно записать так

  ,      (2.36)

где Mq и Mj , q и j - составляющие вектора  в точке Р

 В случае поперечно-ориентированного источника (токи параллельны оси x) вектор  будет иметь только составляющую Мх. Полную излученную мощность можно определить подстановкой в (2.36):

                                                 (2.37)

Здесь  q0 - угол, под которым происходит излучение источника к оси световода. Из рис 2.1.б следует, что

,        (2.38)

где a = S/ sin (q/) и z = S/ cos (q/) на трубке.

Подставляя (2.38) и (2.37) в (2.33) получаем

               (2.39)

Интеграл по j/ является интегральным представлением функций Бесселя первого рода, нулевого порядка и тогда

,              (2.40)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13