ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: ознакомление с динамическим методом определения модуля сдвига.

Принадлежности: проволока из исследуемого материала, грузы, секундомер.

Если механический стержень с двумя симметрично расположенными грузами, подвешенный горизонтально к металлической проволоке, заставить колебаться, то уравнение движения для этого случая запишется в виде

, (1)

Здесь: М – момент сил, происходящий из упругих деформаций; I – момент инерции стержня с грузом; j – угол поворота стержня. Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил можно воспользоваться законом Гука в форме

M=fj, (2)

где f – модуль кручения проволоки ().

Момент М в этом случае вызван деформацией проволоки и стремится уменьшить, а не увеличить угол j. В формуле (2) поэтому необходимо изменить знак.

После подстановки (2) в (1) формула приобретает вид

, (3)

где .

Выражение (3) является дифференциальным уравнением 2-го порядка. Его решение находится в виде гармонической функции.

j=j0 sin(wt+q), (4)

где амплитуда j0 и фаза q определяются начальными условиями. Таким образом, w является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период которых равен

, (5)

Следует заметить, что последняя формула получена для незатухающих колебании, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однако, затухание невелико, т. е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (5) можно пользоваться. Критерием ее применимости служит неравенство

n>>1, (6)

где n – число полных колебаний, после которого амплитуда уменьшается в 2 – 5 раз.

Отметим, что период Т, как видно из формулы (5), не зависит от амплитуды. Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая зависимость может проявляться. Таким образом, вторым условием применимости данного метода является соблюдение равенства Т = const.

Описание экспериментальной установки

Данные прибора: 2m = 410,8 + 410,8 = 821,6 г; расстояние от центров грузов до оси системы (при установке грузов внутренней стороной на риску):

1-я риска – 0,1 м, 2-я риска – 0,15 м, 3-я риска – 0,2 м, 4-я риска – 0,25 м, 5-я риска – 0,288 м.

Экспериментальная установка (рис. 7) состоит из длинной вертикально висящей проволоки 1, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень 2 с двумя симметрично расположенными грузами 3. Их положение на стержне можно фиксировать. Верхний конец проволоки зажат в цангу 4 и при помощи специального приспособления вместе с цангой может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом, в системе можно возбудить крутильные колебания.

Ход работы

1. Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (6). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе крутильные колебания. Измеряя время нескольких полных колебаний, найдите период T1. Затем, уменьшив амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т2. Если T1=T2 то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду, но не больше первой. Если же окажется, что T1 ¹ T2, то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения j, начиная с которого для всех j0=j будет справедливо равенство T1 =T2.

2. Установите грузы так, чтобы их центры находились на некотором расстоянии L1 от оси системы, измерьте период, как описано выше. Если I – момент инерции стержня без грузов, а I1 – момент инерции грузов, то очевидно, что

. (8)

Изменив расстояние грузов до значения L2, аналогично получим

.(9)

Из (8) и (9) следует

, (10)

где m – масса одного груза.

Измерьте период колебаний для трех разных положений грузов на оси маятника (L1, L2, L3). Определите величину f по формуле (10) для нескольких (не менее трех) пар значений L1 и L2. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:

3. Зная f, вычислите значение модуля сдвига G, который связан с модулем кручения формулой , где r – радиус проволоки (r=(1±0,01) мм), l – длина проволоки (l=(508±1) мм). Сравните экспериментальное значение модуля сдвига G с табличным значением для стали.

4. Вычислите погрешность результатов косвенного измерения f и G. Число колебаний N = 20; t – время, за которое происходит 20 колебаний; период одного колебания Т = t /N.

Контрольные вопросы

1.Как формулируется основной закон динамики вращательного движения?

2.В каком случае правую часть уравнения (1) можно записать в таком виде?

3.Что такое деформация кручения? Проиллюстрируйте графически деформацию кручения балки, закрепленной на одном из концов.

4.Каков физический смысл параметров f и G?

5.В каком случае справедлива формула М =fj?

6. Запишите уравнение гармонических незатухающих колебаний в дифференциальной форме и сравните его с уравнением (3). Какой вывод можно сделать из этого сравнения?

Когда гармонические колебания станут ангармоническими?

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т. 1. § 33, 38, 45, 64, 86.

Лабораторная работа №8

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ НА МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы: опытное изучение равноускоренного движения и нахождение ускорения свободного падения.

Принадлежности: машина Атвуда, секундомер, набор перегрузков.

Краткая теория

Машина Атвуда предназначена для исследования закона движения тел в поле земного тяготения. Естественнее всего изучать этот закон, исследуя свободное падение тел, но этому, однако, мешает большая величина ускорения свободного падения. Поэтому опыт возможен либо при очень большой высоте прибора (намного выше высоты комнаты), либо с применением специальных методов, позволяющих точно измерить небольшие промежутки времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностей и замедлить движение до удобных скоростей.

Машина Атвуда состоит из вертикальной штанги 2 со шкалой (рис. 8), сверху которой установлен легкий пластмассовый блок, укрепленный на корундовых подшипниках и способный вращаться вокруг оси с незначительным трением. Через блок перекинута нить, на концах которой прикреплены грузы А и В, имеющие равные массы М. На груз А могут надеваться один, два или несколько перегрузков. Система грузов в этом случае выходит из равновесия и начинает двигаться ускоренно.

Найдем закон движения груза А. При расчетах будем пользоваться неподвижной системой координат, центр которой совпадает с осью блока. Ось ОХ направлена вниз. На груз А действуют две силы – сила тяжести (M+m)g и сила натяжения левой части нити T1, m – масса перегрузка, лежащего на грузе А. По второму закону Ньютона:

(М + m)g –T1 = (М+m)a, (1)

где a – ускорение груза А.

1– подставка (столик), передвигающаяся по штанге,

2– вертикальная штанга со шкалой,

3– грузы одинаковых масс,

4– электромагнит для удерживания грузов,

5– легкий пластмассовый блок,

6– тонкая капроновая нить.

Применим второй закон Ньютона к движению груза 3. В силу нерастяжимости нити ускорение груза 3 равно ускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону, следовательно, оно равно а. Натяжение правого конца нити обозначим через Т2. Тогда

Mg-T2=Ma. (2)

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердых тел применительно к блоку:

.

Здесь  – суммарный момент сил относительно оси вращения, приложенный к блоку; I – момент инерции вращающего тела;  – угловое ускорение.

Угловое ускорение связано с линейным ускорением a следующим образом

,

где R – радиус блока.

Запишем для пластмассового блока (с учетом двух последних выражений) основной закон динамики вращательного движения:

, (3)

где I – момент инерции блока; R – радиус блока (R=0,066±0,001 м). Очевидно, что если подобран перегрузок m0, при котором система движется равномерно, то момент силы трения

МTP = m0 gR.

Учитывая, что , где М0 – масса блока, уравнение (3) перепишется в виде

. (4)

Из системы уравнений (1), (2), (4) найдем линейное ускорение:

. (5)

Здесь M0 – масса блока (M0 =(0,115± 0,0005) кг); М =(0,161±0,0005) кг – масса груза А и В; m0 = 0,2 г (определяется экспериментально).

Таким образом, движение груза А происходит равноускоренно и подчиняется уравнению (5). Формула (5) может служить для определения ускорения g. Эксперимент осложняется, однако, тем обстоятельством, что не существует простых способов прямого измерения ускорения a. Для определения a воспользуемся равноускоренным характером движения и будем измерять путь S и время t движения груза. Эти величины связаны известным соотношением:

. (6)

Из (6) выразим ускорение а:

. (7)

Экспериментальная часть

Эксперимент выполняется в следующем порядке. Один из имеющихся перегрузков кладут на груз А. Груз А поднимают на определённую высоту и фиксируют, подав ток в катушку электромагнита. Секундомер ставится на нуль. По шкале отмечается высота поднятия груза S над столиком.

Теперь следует разорвать цепь электромагнита и одновременно включить секундомер. При соприкосновении груза А со столиком секундомер выключают и замечают время опускания груза А. Зная S и t, нетрудно посчитать a по формуле (7), Опыт повторяют 5 раз и записывают полученные данные в таблицу:

Прежде чем приступить к систематическим измерениям, полезно проделать несколько опытов при разных S и t для того, чтобы убедиться в правильности работы установки. Вычисленное по экспериментальным данным по формуле (5) значение g следует сопоставить с табличным.

Экспериментально определить m0. Для этого используют миллиграммовые перегрузки разновеса; их кладут на груз А; постепенно увеличивая нагрузку до тех пор, пока груз А не начнет опускаться.

Ход работы

1.На груз А положить перегрузок и измерить время прохождения расстояния S не менее пяти раз.

2.Повторить опыт для различных перегрузков: 2 г, 4 г, 6 г.

3.Повторить опыт для трех различных высот подъёма груза.

4.Полученные данные изобразить графически t=F(S1/2). Проверить равноускоренный характер движения.

5.Вычислить значения всех ускорений a. Найти среднее значение и погрешности в определении a для каждого перегрузка.

6.Используя найденные значения a, вычислить значения g и сравнить их с табличными. Оценить точность найденного значения по формулам:

,

.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте и запишите второй закон Ньютона в дифференциальной форме.

2.Дайте определение момента сил, момента инерции, линейного и углового ускорения. Выведите связь линейного и углового ускорения.

3.Изменится ли натяжение нити (при движении грузов), если один перегрузок заменить другим?

4.Как изменится ускорение системы, если увеличить массу постоянных грузов А и В (не меняя массы перегрузка и сил трения)?

5.Почему система движется, хотя сила трения больше веса перегрузка?

6.Почему не рекомендуется ставить платформу слишком близко к началу шкалы?

7.Почему найденное значение g отличается от табличного?

Рекомендуемая литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1: Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М.: Наука, 1973. § 14, 16, 19, 21.

2.Иверонова В.И. Физический практикум. 1967. С. 51.

 /

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5