.

Подобным же образом dy=y2-y1 и, следовательно,  к нему применимо .

Вообще говоря, подобных друг другу явлений бывает не два, а значительное количество. Мы будем говорить, что они составляют группу подобных явлений.

Сравнивая все члены группы с одним явлением, которое служит образцом для них, замечаем, что при переходе от одного, подобного образца явления к другому, к третьему и т.д. константы подобия каждый раз получают другое значение, сохраняя в то же время свое свойство – быть постоянными во всех точках каждой системы, подобной образцу.

Объединяя переход от явления образца ко всем подобным ему, мы можем рассматривать его выражение  как групповое преобразование явления, подразумевая под константой  последовательно ее значения для всей группы подобных образцу величин.

Подобие явлений можно выразить и другим способом: не константами подобия, а посредством так называемых инвариантов подобия.

Перейдем от абсолютной системы единиц, общей для всех явлений данного класса, к относительной системе, пригодной только для одного явления этого класса. Для этого выберем  за единицы измерения величин рассматриваемой системы значения этих величин в каких-нибудь точках самой системы. Отметим их подстрочным индексом (0). Тогда все величины  и другие для первого явления получат численные значения:

и т.д.

Если во втором явлении за единицы измерения величин выбрать их значения в сходственных первой системе точках, то их значения в относительных единицах будут

и.т.д.

     Очевидно,  и т. д. будут те же, что и в первой системе.

В самом деле легко видеть, что

и. т. д.

 Переставляя члены пропорции, получим

.

 То же самое  получится для любых других величин, характеризующих подобные явления.

Поэтому значки, отмечающие, к какому из явлений относятся величины L, W и т. д., можно отбросить, так как при переходе от одного явления к другому, ему подобному, все величины, выраженные в относительных единицах измерения, останутся численно прежними.

Иными словами, они являются инвариантами подобия. Будем обозначать это свойство их словами іnv. (инвариант) или іdem (то же самое).

Следовательно, L=idem, W=idem или для общего случая .

Следует уметь хорошо отличить понятия «константа подобия» и «инвариант подобия».

Константа сохраняет постоянное значение во всех точках системы, но она делается другой, когда одна пара подобных явлений заменяется другой.

Инвариант подобия, наоборот, различен для разных точек системы, поскольку он изображает одну из величин этой системы, имеющую разное численное значение в разных точках системы; но он не меняется при переходе от одного явления к любому другому, подобному ему. Иначе говоря, он сохраняет одно и то же значение в сходственных точках всей группы подобных явлений.

В дальнейшем мы будем пользоваться определением подобия и через константы, и через инварианты в зависимости от того, какое определение при рассмотрении различных вопросов оказывается удобнее в смысле простоты изложения.

Возвращаясь к определению подобия через константы подобия, отметим, что на первый взгляд выбор всех констант подобия может казаться произвольным. На самом деле это не так. Величины, характеризующие различные явления, не являются независимыми друг от друга. Часто между ними существует определенная связь. Эта связь, называемая законом природы, во многих случаях может быть выражена в математической форме в виде уравнения.

Наличие такого уравнения, делающего одни величины зависимыми от других, налагает и на константы подобия определенные ограничения.

Нахождение зависимости между константами подобия, вызываемой существованием уравнения, связывающего между собой характеризующие явление величины, составляет содержание теоремы подобия, которая будет изложена в следующей главе.

Уравнения, описывающие различные явления природы, можно рассматривать, как имеющие различную степень общности.

Наиболее общие уравнения, выражающие общие законы природы, такие, как общие законы механики, закон сохранения энергии, можно назвать уравнениями, охватывающими целый класс явлений. Таковы были уравнения, представляющие второй закон Ньютона и первый закон термодинамики. Эти общие уравнения могут получать различные частные виды в зависимости от того, к каким частным видам явлений данного класса они будут прилагаться. Так общие уравнения механики принимают вид уравнения Навье-Стокса в применении к течению жидкости, вид уравнения колебаний упругой среды и т. п. Эти виды явлений содержат отдельные свойства однотипных явлений, отличающихся друг от друга только заданием различных условий однозначности явлений. И, наконец, единичные явления выделяются из семейства численным заданием условий однозначности, которые для каждого единичного явления семейства буквенно одинаковы, но численно отличны друг от друга.

В дальнейшем свойство уравнений связи, которое налагает на них подобие явлений, будет излагаться сперва для самых общих знаков природы и для них будут выводиться теоремы подобия. Однако  не меньшее значение будет иметь приложение общей теории подобия к частным случаям и к единичным явлениям, так как только таким путем окажется возможным скрыть наиболее важные стороны учения о подобии.

3.   Теоремы подобия.

Для обеспечения максимальной эффективности (в широком смысле слова) любых экспериментальных исследований эти исследования необходи­мо организовать так, чтобы можно было определить критерии подо­бия и представить полученные результаты критериальной функцио­нальной зависимость. Такой подход позволяет при ограни­ченном числе экспериментов дать оценку хода процесса или поведения системы при разнообразных сочетаниях параметров, их характеризую­щих, и, следовательно, получить ответы на те дополнительные вопро­сы, которые обычно возникают уже после окончания эксперименталь­но-исследовательских и испытательных работ.

Рассмотренные положения, однако, относятся к случаю заведомо подобных процессов, т.е. определяют необходимые усло­вия существования подобия. В связи с этим возникает естественный вопрос относительно того, как распознать подобие или специально обеспечить его при построении модели, т. е. вопрос об условиях, не только необходимых, но и достаточ­ных для существования подобия. Такие условия включают в себя наряду с требованием равенства критериев подобия сопоставляемых процессов также и определенные дополнительные тре­бования к условиям однозначности — требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов (а при соблюдении геометрического подобия — и подобия геометрических характеристик соответствующих пространственных областей).

Изложенные выше положения относительно необходимых и достаточных условий подобия обычно систематизируются  в виде первой, второй и третьей теорем о подобии; первые две теоремы определяют необходимые, третья — необходимые и достаточные условия подобия (Высказываются соображения, что только вторая теорема подобия может рассматриваться как теорема в том смысле, в каком это понятие употребляется в математике, а первая и третья теоремы являются правилами выявления и обеспечения подобия. В данном изложении сохраняется наиболее распростра­ненная терминология — введенное еще И. Ньютоном название первой теоремы и предложенное М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом название третьей теоремы).

Первая теорема подобия. В основной современной фор­мулировке, учитывающей возможность существования различных ви­дов подобия, первая теорема имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, ма­тематически и т. д.), имеют определенные сочетания параметров, на­зываемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных яв­лений. Первая теорема подобия называется также теоремой Ньютона или Ньютона—Бертрана.

Первая теорема подобия утверждает, что для явлений (объектов, процессов), подобных в том или ином смыс­ле, существуют одинаковые критерии подобия — идентичные по форме алгебраической записи и равные численно безразмерные сте­пенные комплексы (произведения или отношения) определенных групп физических факторов, характеризующих эти явления. Формулируя необходимые условия существования подобия (одинаковые критерии подобия у подобных явлений), первая теорема, однако, не указывает способы установления подобия и способы его реализации при построе­нии моделей.

Вторая теорема подобия. В основной формулировке эта теорема, чаще встречающаяся под названием π-теоремы, имеет следующий вид: всякое полное уравнение физического процесса, записан­ное в определенной системе единиц, может быть представлено функ­циональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Эта теорема утверждает, что полное уравнение физического процесса, записанное в определённой системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т. е. зависимостью, связывающей безразмерные величины, определенным образом полученные из участвующих в процессе параметров. Так же как и первая, вторая теорема подобия основывается на предпосылке, что факт подобия между процессами известен, и устанавливает число критериев подобия и существование однозначной зависимости между ними. При этом выражения для критериев подобия могут быть получены, если известен состав параметров (факторов), участвующих в рассматриваемом процессе, но неизвестно его математическое описание. Теорема эта, однако, также как и первая, не указывает способов выявления подобия между сопоставляемыми процессами и способов реализации подобия при построении моделей.

Вторая теорема устанавливает возможность представления интеграла диф­ференциального уравнения физического процесса не как функции параметров процесса и системы, в которой протекают эти процессы, а как функция соответст­вующим образом построенных некоторых безразмерных величин — критериев подобия. Если исходное дифференциальное уравнение проинтегрировано, то функциональные связи между критериями подобия будут однозначно определе­ны в соответствии с теми допущениями, которые были приняты при составлении и интегрировании данного уравнения. Если же дифференциальное уравнение от­сутствовало или не интегрировалось, то вид функциональных связей между критериями подобия не будет выявлен.

Вторая теорема основывается на исследованиях Букингема, Федермана и Эренфест-Афанасьевой. Возможность представления интеграла как функции от критериев подобия, найденных из дифференциального уравнения, была строго доказана для частного случая Букингемом. В более общем виде это положение как математическая теорема было доказано Федерманом. Эренфест-Афанасье-ва привела доказательство в общем виде, показав условия, при которых интеграл можно представить как функцию критериев подобия. Одновременно было пока­зано, что из соотношений, указывающих на однородность уравнения, связываю­щего физические величины (одинаковая размерность всех членов уравнения), и из возможности получения безразмерных соотношений после деления этого урав­нения на любой из его членов следует важный вывод о существовании определен­ных соотношений между размерностями физических параметров. Эренфест-Афа­насьевой было показано, что критерии подобия можно найти при отсутствии диф­ференциального уравнения процесса на основе анализа размерностей физичес­ких величин, участвующих в этом процессе. Эта возможность была сформулиро­вана и строго доказана в виде теоремы, названной л-теоремой, поскольку упомя­нутые выше безразмерные параметры (критерии подобия) обозначались буквой л.

Третья теорема подобия. В наиболее распростра­ненной формулировке третья теорема имеет следующий вид: необхо­димыми и достаточными условиями для создания подобия являются про­порциональность сходственных параметров, входящих в условия одно­значности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева—Гухмана.

Напомним понятия условий однозначности. Известно, что дифференциальное уравнение в общем виде описывает бесконечное множество процессов, относящихся к данному классу. Так, например, дифференциальное уравнение u=iR+Ldi/dt описывает изменение тока во времени в цепи с активным сопротивлением R и индуктивностью L при включении ее на u=const. Условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление, называются условиями однозначности. К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:

·        геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;

·        физические параметры среды и тел, образующих систему;

·        начальное состояние системы (начальные условия);

·        условия на границах системы (граничне или краевые условия);

·        взаимодействие объекта и внешней среды.

Очевидно, нельзя математически формулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи и вида уравнения. Так, для выделения определенного процесса из совокупности процессов, описываемых приведенным уравнением, достаточно знать параметры u, R, L и начальные условия, например, i=i0 при t=t0. В большинстве задач, связанных с исследованием полей, однозначность процессов определяется не только начальными условиями, но и свойствами среды, геометрическими свойствами системы и граничными условиями.

     Вторая формулировка третьей теоремы подобия. Практически более удачная формулировка третьей теоремы, предложенная в последнее время, имеет вид, отвечающий реальным задачам создания различных моделей. Эта формулировка состоит из трёх положений.

Положение 1. Создание модели возможно, если критерии подобия (безразмерные комплексы), составленные из величин, характеризующих только ее системные (материальные) параметры, равны соответствующим критериям изучаемой системы-оригинала.

Положение 2. В созданной, согласно положению 1, модели осуществление процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, содержащие только параметры процессов, входящих в условия однозначности и в том числе начальные условия (параметры исходного режима, возмущений и отклонений), в модели и оригинале соответственно одинаковы.

Положение 3. Осуществление модели согласно формулировкам 1 и 2 возможно в сколь угодно сложных анизотропных, нелинейных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного соблюдения соответствующих дополнительных положениях, сформулированных ниже.

Дополнительные положения теории подо­бия. Эти положения, предложенные авторами, распространяют три основные теоремы подобия на системы сложные, системы с нелинейны­ми или переменными параметрами, анизотропные системы (с различ­ными свойствами по различным координатам) и системы, заданные ве­роятностно-статистическими характеристиками; этими же положения­ми охватываются геометрически неподобные системы, а также систе­мы, для которых понятие подобия интерпретируется шире, чем по­стоянство масштабных коэффициентов в сходственных точках прост­ранства параметров в сходственные моменты времени.

В общем случае дополнительные положения теории подобия фор­мулируются следующим образом:

— подобие сложных геометрически подобных и изотропных систем с детерминированно определенными линейными или постоянными па­раметрами, образованных несколькими соответственно подобными по отдельности подсистемами, обеспечивается, если выполняется допол­нительное условие подобия всех сходственных элементов, являющихся общими для этих подсистем;

— условия подобия сложных геометрически подобных и изотроп­ных систем с детерминированно определенными линейными и постоян­ными параметрами могут быть распространены на сложные системы с нелинейными или переменными параметрами, заданными детерминиро­ванно, если выполняется дополнительное условие совпадения относи­тельных характеристик сходственных параметров, являющихся  нели­нейными или переменными;

— условия подобия детерминированно определенных геометрически подобных изотропных сложных систем могут быть распространены на анизотропные геометрически   подобные сложные системы,   задан­ные детерминированно, если выполняется дополнительное условие обес­печения одинаковой   относительной   анизотропии   в   сопоставляемых системах;

Страницы: 1, 2, 3