Гениальное предвидение этой науки было высказано Ньютоном в 1686 г. Но только в 1848 г. Член французской академии наук Жозеф Бертран впервые установил основное свойство подобных явлений, сформулировав первую теорему подобия, теорему о существовании инвариантов подобия.

Подобными называются явления, происходящие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках отношения одноимённых величин есть постоянные числа. Эти отношения, так называемые константы подобия, не могут быть выбираемы произвольно, так как величины, характеризующие явление, вообще говоря, не независимы друг от друга, а находятся в определённой связи, обусловленной законами природы. Во многих случаях эта связь может быть выражена в виде уравнения. Для подобных между собой явлений оно должно иметь одинаковый вид. Наличие такого «уравнения связи» между физическими величинами, характеризующими явление, налагает определённое ограничение на выбор констант подобия.

Эти отношения, так называемые константы подобия, не могут быть выбираемы произвольно, так как величины, характеризующие явления, вообще говоря, не независимы друг от друга, а находятся в определенной связи, обусловленной законами природы. Во многих случаях эта связь может быть выражена математически в виде уравнения. Для подобных между собой явлений оно должно иметь одинаковый вид. Наличие такого «уравнения связи» между физическими величинами, характеризующими явление, налагает определенное ограничение на выбор констант подобия.

Бертран вывел первую теорему подобия для случая подобия механических явлений.

Исходя из существования математической связи между силой, массой и ускорением, устанавливаемой вторым законом Ньютона, Бертран показал, что у подобных явлений комплекс величин: «сила*длина/масса*скорость в квадрате» имеет одно и то же значение в сходственных точках подобных явлений. Этот комплекс называется инвариантом, или критерием механического подобия. В природе существуют только те подобные явления, у которых критерии одинаковы.

Если бы физическое уравнение связи можно было бы преобразить так, чтобы оно было составлено из инвариантов подобия, то это было бы общее уравнение, численно одинаковое для всех подобных явлений.

Вторая история подобия устанавливает возможность такого преобразования физических уравнений.

Она была выведена русским ученым А. Федерманом в 1911 г. и несколькими годами позже, в 1914 г., американским ученым Букингэмом.

В 1925 г. Т.А. Афанасьева-Эренфест вывела обе теоремы для случая подобия любых явлений природы и показала, что критериальное уравнение содержит, кроме критериев-комплексов, составленных из переменных величин, еще критерии краевых величин и симплексы – отношения одноименных величин (например, отношения двух скоростей, характеризующих явление). Тем самым учение о свойствах подобных явлений в основном было завершено.

Тотчас после вывода первой теоремы она начала находить практическое применение для обработки опытных данях в критериях подобия. Осборн Рейнольдс выразил закон движения жидкости по трубам одной общей формулой, через критерий подобия, названой в последствии его именем. Оказалось возможным объединить таким путем все численные данные опытов по гидравлическому сопротивлению, проведенных различными исследователями на воде, воздухе, паре, различных маслах и т.д. Фруд, изучая мореходные качества судов на моделях, представил результаты опытов над ними в виде критериального уравнения, которое можно было распространить на суда, подобные по своей геометрической конфигурации испытанным моделям. Наш выдающийся ученый Н.Е. Жуковский положил теорию подобия в основу критериальной обработки опытов над моделями самолетов, продуваемых в аэродинамической трубе, для того, чтобы результаты опытов можно было перевести на подобные моделям самолеты.

Вторая теорема узаконила эту практику.

Критерии подобия выводятся из уравнения связи. Поэтому для получения критериального уравнения надо знать уравнение, связывающее между собой величины, характеризующие рассматриваемое явление.

Для большинства физических явлений уравнения связи найдены в форме дифференциальных уравнений, однако получить интегральные решения их удается только для отдельных частных случаев. Поэтому критерии подобия, как правило, выводятся из дифференциальных уравнений связи, и требовалось еще подтвердить, что критерии, выведенные из проинтегрированных уравнений, остаются те же. Это было сделано П.К.Конаковым.

Таким образом, оказалось возможным результаты опытом над явлениями выражать в критериях подобия, полученных из дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых не удалось найти.

Для того чтобы иметь право переносить данные опытов, произведенных на одном объекте, на другие, ему подобные, в выводах теории подобия не хватало еще одного важного звена.

Первая и вторая теоремы были выведены на основе предположения, что речь идет о явлениях, подобие которых заранее известно. Обе теоремы устанавливают свойства подобных явлений, но они не указывают способа для определения того, подобны ли два каких-нибудь, сравниваемых между собой, явления. Возникает вопрос, по каким признакам можно узнать, что явления подобны друг другу.

Ответ дается третьей теоремой подобия.

Третья теорема устанавливает условия, необходимые и достаточные для того, чтобы явления оказались подобными друг другу. Формулировка ее была дана М.В. Кирпичевым и А.А. Гухманом, а доказательство теоремы – М.В.Кирпичевым в 1930 г. (8).

Единичное явление выделяется из группы явлений, подчиняющихся одному и тому же уравнению связи, присоединением к нему условий однозначности, или моновалентности. В подобных явлениях входящие в условия однозначности величины, моноваленты, очевидно, должны быть подобны. Далее, согласно первой теореме, реально существующие подобные явления должны иметь одинаковые критерии, в том числе и составленные моновалентов.

Третья теорема доказывает, что два эти признака достаточны для того, чтобы иметь право считать явления подобными.

Сделанный исторический отбор показывает, что учение о подобии, состоящее первоначально в изучении свойств подобных явлений, постепенно сделалось учением о методах обработки физических опытов. Экспериментатор ставит перед собой следующие вопросы: какие величины надо измерять в опыте, как следует обрабатывать результаты опыта и на какие явления их можно распространять.

Теория подобия дает ответ на все три вопроса.

1) Измерить надо все величины, которые входят в состав критериев подобия.

2) Обрабатывать результаты опыта надо в виде зависимости между критериями подобия для того, чтобы можно было распространить их на все подобные явления.

3) Подобие же их можно узнать по подобию моновалентов и одинаковости моновалентных критериев.

Применение теории подобия к эксперименту развивалось в двух направлениях.

С одной стороны, теория подобия проникла в физику и стала научной основой физического эксперимента. С другой стороны, она нашла приложение в технике, открыв возможность изучать различные технические устройства на моделях.

Между обоими направлениями нельзя провести резкую границу, так как эксперимент в физике часто ставится над процессами, протекающими в различных частях технических устройств, модели же могут охватывать также не только целые технические объекты, но и отдельные части их. Таким образом, теория подобия сделалась научной основой одновременно как физического, так и технического эксперимента.

Осуществить все условия подобия, налагаемые третьей теоремой, часто бывает очень трудно.

Поэтому развитию моделирования весьма способствовал разработанный в СССР метод не точного, а приближенного моделирования, когда соблюдаются не все условия подобия и в модели получается с достаточной для практики точностью приближенное подобие.

Экспериментальная проверка приближенного метода моделирования проведена была в широких пределах М.А.Михеевым и рядом других советских ученых.

Иногда исследователю приходится встречаться с явлениями, настолько сложными и неизученными, что их не удается выразить посредством математических формул и составить уравнение связи между физическими величинами. Для случаев, когда оказывается возможным установить те физические величины, которые должны были бы войти в уравнение связи, Ж.Бертран в 1878 г. предложил метод, позволяющий из соображений о размеренности отдельных членов физического уравнения отгадать вид критериев подобия и подобрать эмпирическое уравнение связи для них. Этот путь менее надежен, и его следует применять только при невозможности вывести уравнения связи.

Так как учение о размерности лежат в основе физических уравнений, то с него мы и начнем изложение учения о подобии.

2. Математическое и физическое подобие.

Всякое явление природы представляет собой систему материальных тел, которая претерпевает определенное изменение состояния, поскольку в ней протекают различные процессы.

Явлениями, подобными друг другу, называются системы тел, геометрически подобные друг другу, в которых протекают процессы одинаковой природы и в которых одноименные величины, характеризующие явления, относятся между собой как постоянные числа.

Иными словами, можно определить подобие явления так: явление, подобное заданному, может быть получен путем такого его преобразования, когда размер каждой ее величины изменяется в определенное число раз.

Такое преобразование называется подобным преобразованием явления.

Понятие подобного преобразования первоначально возникло в геометрии, где таким путем получаются подобные фигуры и тела; отношение любых сходных отрезков в них равно одному и тому же постоянному числу сl, так что можно сказать, что тело, подобное первоначальному получено путем изображения его в ином геометрическом масштабе.

Понятие «механическое подобие» прежде всего включает в себя геометрическое подобие систем, затем – кинематическое подобие: подразумевается, что в любых сходных точках систем скорости движущихся тел параллельны и пропорциональны друг другу, т.е. что отношения между их скоростями одинаково во всех точках системы. Если система состоит из отдельных дискретных частиц, то у подобных явлений массы тоже относятся между собой как постоянное число; если же имеет место течение сплошного тела, капельной или газообразной жидкости, то плотности и коэффициенты вязкости во всех сходных точках подобных систем имеют постоянное отношение.

Далее понятие механического подобия включает в себя динамическое подобие, т.е. параллельность и пропорциональность сил в сходственных точках.

Тепловое подобие подразумевает пропорциональность друг другу всех характеризующих тепловые явления величин: температур, тепловых потоков, теплоемкостей, коэффициентов теплопроводности и т.д.

Обозначая отношение расстояний между геометрически подобными точками, т.е. сходственных отрезков длин двух подобных систем, через сl, скоростей – сw, масс – сm, сил – сf и т.д., можно дать математическую формулировку понятия подобия в виде следующей системы равенств:

и т.д., где одним и двумя штрихами обозначены первое и второе подобные явления.

Коэффициенты пропорциональности cl, cw и т.д., называются константами подобия. Для каждого рода величин они имеют свою особую численную величину; поэтому константы подобия имеют соответственные подстрочные значки, показывающие, к какого рода величинам они относятся.

Обобщая сказанное, можно подобие явлений определить, как пропорциональность друг другу всех величин, характеризующих явление, причем коэффициент пропорциональности сохраняет постоянное значение во всех точках системы для определенного наименования величин, но является различным для величин разного наименования.

В общем виде переход от величин одного явления к величинам другого, ему подобного, может быть выражен уравнением

Это первое основное уравнение теории подобия.

Константы подобия сохраняют свое значение для любых случаев отношения сходственных величин. Например, если и – сходственные отрезки двух подобных систем, имеют место равенства:

и, следовательно, отношение величин можно заменить отношением любых других отрезков при условии, что замена эта для любых подобных явлений делается одинаковым образом. Это так называемое правило замещения одних величин другими того же наименования.

Такую замену можно делать для всех других величин, например и.т.д.

В дальнейшем часто будет встречаться дифференциация величин.

На них также можно распространять правило замещения величин. Это правило можно применять, когда рассматриваемая среда предполагается сплошным телом, т.е. когда наблюдатель имеет дело с такими размерами тела, которые в очень большое число раз превосходят расстояния между молекулами δ, так что дискретное строение тела незаметно и может не приниматься во внимание.

По определению, дифференциал функции dy равен производной, помноженной дифференциал независимой переменной dx:

Здесь dx – произвольная величина, которая в физике должна лежать в пределах

т.е. быть значительно больше расстояний между молекулами, для того, чтобы можно было рассматривать тело сплошным, как континуум, и одновременно настолько малым, чтобы к нему с достаточной степенью точности можно было применять формулы дифференциального, а не разностного исчисления. Таким образом, в физике dx есть хотя и очень малая, но конечная величина и, следовательно, должна рассматриваться, как разность x2-x1. Поэтому

Страницы: 1, 2, 3

Новости

Мои настройки

Наверх