4. Напряжение на
выходе детектора в отсутствии шума прямопропорционально амплитуде входного сигнала
, (3.9)
где - коэффициент преобразования детектора,
который определяется по формуле:
. (3.10)
где Q-угол
отсечки.
Угол отсечки тока определим решением трансцендентного
уравнения:
. (3.11)
Решение уравнения (3.11) произведем в [3].Решив
(3.11) находим Q=21.83, а К0=0.928.
Раскрыв скобки в выражении (3.9), приведём
выражение для выходного сигнала к виду
, (3.12)
где: - постоянная составляющая выходного сигнала;
- амплитуда выходного сигнала.
Подставив значения, получим:
Построим сигнал на выходе детектора:
. (3.13)
Рисунок
3.2 - График сигнала на выходе детектора.
Изобразим ВАХ диода, а также
временные диаграммы тока диода и напряжения на диоде:
Рисунок 3.3 – График ВАХ диода, временные диаграммы
тока диода и напряжения на диоде
Задание
№4
Генератор на
полевом транзисторе с контуром в цепи стока генерирует гармоническое колебание
с частотой .
Контур состоит из индуктивности L, емкость C и имеет добротность Q. Крутизна сток-затворной
характеристики транзистора в рабочей точке S.
Условие:
1.
Изобразить
электрическую схему генератора. Записать дифференциальное уравнение и вывести
условие самовозбуждения генератора.
2.
Определить
критические коэффициенты включения .
3.
Выбрать
значение P, обеспечивающее устойчивую
генерацию и рассчитать неизвестный элемент контура.
4.
Изобразить
качественно процесс установления колебаний в генераторе, указать области
нестационарного и стационарного режимов.
Исходные данные:
Индуктивная трехточечная схема;
Решение:
1. Представим
принципиальную схему индуктивного трехточечного автогенератора [2]:
Рисунок 4.1 – Автогенератор, собранный по индуктивной
трехточечной схеме.
Для составления
дифференциального уравнения генератора рассмотрим колебательный контур
подробнее, при этом как бы разорвав обратную связь (рисунок 4.2).
Рисунок 4.2 – Колебательный контур автогенератора.
В схеме на
рисунке 4.2 R – сопротивление потерь
контура.
По законам
Кирхгофа и, используя компонентные уравнения элементов запишем систему
характеристических уравнений [6] цепи представленной на рисунке 4.2.
.
(4.1)
Для решения
системы (4.1) не хватает еще одного уравнения. Его мы возьмем воспользовавшись
характеристиками транзистора:
.
(4.2)
Теперь проведя
необходимые подстановки запишем уравнение с одним неизвестным током i.
. (4.3)
Чтобы избавиться
от интеграла продифференцируем уравнение (4.3) по времени.
. (4.4)
Обозначим
коэффициенты при неизвестном и его производных, как и соответственно при дифференциалах 0-ого,
1-ого, 2-ого и 3-его порядков. Тогда (4.4) примет вид:
. (4.5)
Для определения
условия самовозбуждения воспользуемся критерием устойчивости Рауса-Гурвица [2].
В соответствии с этим критерием, для самовозбуждения необходимо и достаточно
чтобы выполнялось:
1) ;
(4.6)
2) .
(4.7)
Подставляя
значения коэффициентов ,
получим условие самовозбуждения автогенератора.
.
(4.8)
2. Определим
критические коэффициенты включения индуктивности. Для этого проведем в (4.8)
некоторые преобразования.
Поскольку
индуктивность не
отрицательна и не равна 0, то разделим (4.8) на нее.
.
(4.9)
Введем величину
коэффициента включения индуктивности р:
.
(4.10)
Где - полная индуктивность
контура. (4.11)
Исходя из (4.10)
и (4.11) можно записать:
.
(4.12)
Подставим (4.12)
в (4.9).
.
(4.13)
Как известно - характеристическое
сопротивление контура. Т.о. неравенство (4.13) примет вид:
.
(4.14)
Разделив (4.14)
на получим:
,
(4.15)
но это есть добротность
контура Q.
.
(4.16)
Теперь если
учесть, что (4.15),
а затем умножить неравенство на , получим окончательное уравнение для
вычисления критических коэффициентов включения.
.
(4.17)
Используя [3]
определим критический коэффициент включения индуктивности:
3. Рассчитаем
неизвестный элемент контура (в нашем случае это индуктивность) по следующей
формуле:
(4.18)
Подставив исходные данные, получим:
Определим коэффициент усиления усилителя:
Найдём значения индуктивностей L1 и L2 при
помощи [3], используя операцию Given:
4. Представим качественный график процесса
установления колебаний в автогенераторе (рисунок 4.3):
Рисунок
4.3 – Процесс установления автоколебаний:
1.
Нестационарный
режим –
режим, при котором параметры колебания меняются.
2. Стационарный режим – режим, при котором параметры колебания не
меняются.
Задание
№5.
Условие:
Аналоговый сигнал
S(t) (рисунок 5.1) длительностью подвергнут дискретизации
путем умножения на последовательность - импульсов. Интервал дискретизации Т.
Требуется:
1.
Рассчитать
спектр аналогового сигнала S(t) и построить график модуля
спектральной плотности.
2.
Определить
максимальную частоту в спектре аналогового сигнала , ограничив спектр, использовав один
из критериев.
3.
Рассчитать
интервал дискретизации Т и количество выборок N. Изобразить дискретный сигнал под
аналоговым в том же временном масштабе.
4.
Определить
спектральную плотность дискретного сигнала и построить график модуля под
графиком спектра аналогового сигнала и в том же частотном масштабе.
5.
Провести
дискретное преобразование Фурье (ДПФ), определить коэффициенты ДПФ и построить
спектрограмму модуля этих коэффициентов под графиками спектров аналогового и
дискретного сигналов и в том же частотном масштабе.
Записать выражение для Z - преобразования дискретного
сигнала.
Решение:
Рисунок
5.1 – график исходного сигнала
1.Рассчитаем спектр аналогового сигнала S(t), данный сигнал представляет собой ни
четную ни нечетную функцию. Зададим сигнал S(t) аналитически:
(5.1)
Спектральная
плотность рассчитывается путем прямого преобразования Фурье [7]:
.
(5.2)
где (5.3)
Где и весовые коэффициенты. Подставляя значения с
помощью [3] построим график спектральной
плотности (рисунок 5.2).
Рисунок
5.2 – график модуля спектральной плотности
2. Определим
максимальную частоту в спектре аналогового сигнала по уровню 0,1.
(5.4) .
(5.5)
3. Условие выбора
интервала дискретизации возьмем из теоремы Котельникова :
.
(5.6)
Подставив значения, получим:
Воспользовавшись (5.6) выберем
интервал дискретизации:
В этом случае
количество выборок определяется следующим образом:
.
(5.7)
N = 21;
Теперь, когда мы
нашли интервал дискретизации и количество выборок построим график дискретного
сигнала, а так же для сравнения в одном масштабе с ним график аналогового
(рисунок 5.3):
Рисунок 5.3 – Графики: а) аналогового сигнала;
б) дискретного сигнала.
На рисунке 5.3 в
величине выборок отражен весовой коэффициент δ - импульсов
дискретизации.
4. Спектр
дискретного сигнала, как известно, представляет собой сумму копий спектральных
плоскостей исходного аналогового сигнала, подвергнутого дискретизации,
сдвинутых на величину частоты следования выборок друг относительно друга [7].
Т. о. Формула
спектральной плотности дискретного сигнала примет вид:
.
(5.8)
Пользуясь (5.8)
построим график при помощи [3]:
Рисунок 5.4 – а) модуль спектральной
плотности аналогового сигнала; б) ограниченный спектр аналогового
сигнала;
в) спектральная плотность дискретного сигнала;
5. Дискретное
преобразование Фурье определяется формулой (5.9) [2]:
.
(5.9)
Где: - номер отсчета
спектральной плотности; ;
- номер отсчета
дискретного сигнала; .
Т. о. по формуле
(5.9) и при помощи [3] можно подсчитать значения дискретных отсчетов:
Зная, что выше
вычисленные отсчеты следуют через интервалы , величина которых определяется следующим
соотношением [2]:
,
(5.10)
где: N – количество выборок дискретного сигнала;
Т
– период дискретизации;
можно построить
спектрограмму модулей этих коэффициентов.
Данную
спектрограмму будем строить в одном частотном масштабе с графиками спектров
аналогового и дискретного сигналов и расположив ее под ними.
Рисунок 5.5 – а) Спектр
аналогового сигнала;
б) Спектральная плотность дискретного сигнала;
в) Спектрограмма модулей коэффициентов ДПФ.
6. Заменив в
формуле (5.9) на
Z (в данном случае играет роль частоты)
прейдем к выражению для Z-преобразования.
.
(5.11)
Распишем (5.11)
подробнее, при этом заметим, что как видно из рисунка 5.3 отсчеты с номерами от
0 до 8 равны 1, а 9 равен 0. С учетом всего сказанного получим:
.
(5.12)
При помощи
простых математических преобразований представим (5.12) в виде
дробно-рационального выражения:
.
(5.13)
Задание
№6.
Условие:
Уравнения цифровой фильтрации имеют вид:
(6.1)
Требуется:
1. Составить структурную схему фильтра.
2. Найти передаточную функцию фильтра.
Определить полюса передаточной функции и нанести их на - плоскости. Сделать вывод об
устойчивости.
3. Рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ фильтра.
4. Найти системную функцию фильтра. Определить
полюса системной функции и нанести их на - плоскости. Сделать вывод об устойчивости.
5. Рассчитать и построить импульсную
характеристику фильтра.
6. Рассчитать и построить выходной
сигнал цифрового фильтра, если на вход подаётся дискретный сигнал из задания 5.
Исходные данные:
Решение:
1. Данный фильтр
реализовывается с помощью рекурсивного фильтра 1-го порядка. Схема данного
фильтра представлена на рисунке 6.1:
Рисунок 6.1 - Рекурсивный фильтр
2. Передаточная функция цифрового
фильтра имеет вид:
, (6.2)
где ак, bk коэффициенты уравнения; - интервал дискретизации; - количество элементов
задержки в трансверсальной части; - количество элементов задержки в рекурсивной
части.
Найдём полюса передаточной функции с
помощью формулы:
(6.3)
Для нахождения полюсов воспользуемся [3]:
Для обеспечения устойчивости необходимо
и достаточно, чтобы полюса передаточной функции находились в левой
полуплоскости комплексного переменного p. Поскольку
- система устойчива.
3. С помощью [3] рассчитаем и
построим АЧХ и ФЧХ фильтра:
(6.4)
Для данной передаточной функции с
помощью [3] построим АЧХ и ФЧХ фильтра (рисунок 6.2):
Рисунок 6.2 - а) АЧХ фильтра; б) ФЧХ
фильтра.
4. Найдем системную функцию фильтра путем
замены ePT на Z. Системная функция будет иметь вид:
(6.5)
Устойчивость фильтра оценивается
расположением полюсов системной функции на z плоскости. Фильтр устойчив, если полюса системной функции расположены внутри круга
единичного радиуса с центром в точке .
Определим полюса системной функции в
плоскости Z с помощью [3]:
- т.е. система устойчива.
5. Импульсная характеристика - это реакция цифрового
фильтра на воздействие в виде единичного импульса (функция Кронекера). Используя уравнение
цифровой фильтрации, получаем:
(6.6)
где
Для данного фильтра импульсная
характеристика будет определятся формулой:
(6.7)
График импульсной характеристики
представлен на рисунке 6.4:
Рисунок 6.4.-Импульсная
характеристика.
6. Графики входного дискретного
сигнала и выходного цифрового сигнала (рисунок6.3):
Рисунок 6.3 - а) входной дискретный сигнал; б) выходной цифровой сигнал.
Задание
№7
Условие:
Синтезировать
согласованный фильтр для данного сигнала.
Требуется:
1.
Определить
комплексный коэффициент передачи фильтра.
2.
Синтезировать
структурную схему фильтра.
3.
Определить
и построить выходной сигнал (под входным).
4.
Оценить
отношение сигнал/помеха на выходе в зависимости от .
Исходные
данные:
Когерентная пачка из радиоимпульсов с прямоугольной огибающей и
скважностью равной ,
Рисунок 7.1 – Входной сигнал
Решение:
1. Синтезировать согласованный фильтр
удобно при помощи его комплексного коэффициента передачи. Запишем общую
формулу для его определения [2]:
.
(7.1)
Где - постоянный коэффициент;
- функция,
комплексно сопряженная со спектральной плотностью входного сигнала;
- время
задержки пика выходного сигнала.
Для существует ограничение - , это связано с физическими
принципами работы согласованного фильтра [2]. Однако обычно полагают:
.
(7.2)
Из формулы (7.1)
видно, что задача сводится к определению спектральной плотности входного
сигнала. Для ее определения разобьем входной сигнал на отдельные импульсы,
затем определим спектр одного из них, а результат запишем в виде суммы вышеопределенных
спектральных плотностей всех составляющих пачки, но сдвинутых по времени на
расстояния кратные периоду их следования.
Итак, определим - спектр одиночного
радиоимпульса, путем применения свойства [2], в котором говорится, что
спектр радиосигнала это есть спектр его огибающей только сдвинутый в область
высоких частот (окрестность ).
.
(7.3)
Где - спектральная плотность
для огибающей одиночного радиоимпульса, смещенная в область ВЧ на .
Запишем
аналитическое выражение для огибающей радиоимпульса:
.
(7.4)
Определим , для этого применим прямое
преобразование Фурье [7].
;
.
(7.5)
Представим формулу
для , заменив в
(7.5) на :
. (7.6)
Т. о.
спектральная плотность всей пачки импульсов будет определяться как сумма
спектральных плотностей определяемых формулой (7.6), но сдвинутых друг
относительно друга на:
.
(7.7)
Представим это
соотношение, применив теорему сдвига [2]:
.
(7.8)
Запишем формулу
комплексно сопряженной спектральной плотности входного сигнала, преобразовав
(7.8), путем перемены знака мнимой части.
.
(7.9)
Подставим (7.6) в
(7.9), а полученный результат в (7.1) и проведем некоторые преобразования для
удобства ее дальнейшего использования:
(7.10)
2. Т. о.
согласованный фильтр можно представить как каскадное соединение двух блоков:
1. согласованный
фильтр одиночного радиоимпульса;
2. т. н.
синхронный накопитель (многоотводная линия задержки).
Схема такого
фильтра представлена на рисунке 7.2.
Рисунок 7.2 – Структурная схема согласованного фильтра для
сигнала представленного на рис. 7.1.
График когерентной пачки
радиоимпульсов проходящей через линию задержки представлен на рисунке (7.3).
Рисунок
7.3 - График пачки радиоимпульсов, проходящих через линию задержки
Сигнал на выходе
согласованного фильтра с точностью до константы совпадает с автокорреляционной
функцией входного сигнала, сдвинутой на в сторону запаздывания [2].
АКФ пачки
радиоимпульсов с прямоугольной огибающей представляет собой последовательность
треугольных импульсов длительностью и максимумом равным , где n –количество импульсов пачки, Э1
– полная энергия одного импульса (максимум АКФ одиночного импульса).
Для начала
рассчитаем АКФ одиночного радиоимпульса.
Как известно АКФ
радиосигнала равна произведению АКФ огибающей на АКФ несущей [1]:
.
(7.11)
Поскольку АКФ
несущего колебания есть само это колебание нулевой начальной фазой и амплитудой
равной 1, то можно записать:
.
(7.12)
Рассчитаем АКФ
огибающей :
. (7.13)
Подставим (7.13)
в (7.12):
.
(7.14)
3. При помощи
(7.14) и приведенных выше условий с помощью [3] построим график
выходного сигнала и АКФ (рисунок 7.4):
Рисунок 7.4 –а) входной сигнал, б)
сигнал на выходе согласованного фильтра; в)АКФ сигнала
4. Отношение
сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра равно:
.
(7.15)
Где Э –
полная энергия входного сигнала;
W0 – спектральная плотность
мощности белого шума на входе фильтра.
Величина полной
энергии входного сигнала с точностью до константы совпадает со значением
выходного сигнала при (по
свойствам АКФ).
.
(7.16)
Из формул (7.15)
и (7.16) видно, что при увеличении n – количества и скважности импульсов пачки входного сигнала соотношение
сигнал/помеха на выходе фильтра увеличивается, что соответствует теории
поскольку при этом растет база сигнала. Однако данный способ повышения выигрыша
по величине отношения не
улучшает корреляционных свойств сигнала, из-за чего через пороговое устройство
может проходить не один, а несколько импульсов и отметок на экране индикаторного
устройства так же будет несколько. Т. о. кроме увеличения базы сигнала
необходимо еще и улучшать его корреляционные свойства.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1.
Гармаш М.
А. Конспект лекций по дисциплине СиПРТ (1,2 часть).
2.
Гоноровский
И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.4-е издание, перераб. и
доп.-М.:Радио и связь,1986.- 512с.
3.
Математический
пакет MathCAD 2000.
4.
Гимпилевич
Ю.Б., Афонин И.Л. методические указания к выполнению курсовой работы по
дисциплине СиПРТ для студентов специальности 7.090701-“Радиотехника” (дневная
форма обучения).
Страницы: 1, 2
|