ЗАДАЧА 2

Требуется определить минимальную по стоимости смесь сырья для изго­товления пищевых концентратов, которые должны содержать питательные ве­щества (П). Эти вещества содержаться в сырье (М) в различных сочетаниях. Со­держание питательных веществ в сырье и готовом продукте, а также цена на ка­ждый вид сырья показаны в таблице.

Виды используемого сырья условно обозначены через М1, М2, М3; содер­жание питательных веществ в сырье и готовом продукте обозначены П1, П2, П3, П3.

Исходные условия задачи выражаются неравенствами:

1х1 + 1х2 + 0х3 ≥ 50

4х1 + 1х2 + 3х3 ≥ 140

1х1 + 4х2 + 1х3 ≥ 127

0х1 + 3х2 + 2х3 ≥ 80

F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min

Умножив обе части неравенств на -1, получим систему с другим направле­нием знака неравенств:

-1х1 - 1х2 - 0х3 ≥ -50

-4х1 - 1х2 - 3х3 ≥ -140

-1х1 - 4х2 - 1х3 ≥ -127

0х1 - 3х2 - 2х3 ≥ -80

F = 8х1 + 12х2 + 10х3 = min

Преобразуем неравенства в эквивалентные равенства с помощью дополни­тельных неизвестных. Симплексные уравнения будут следующими:

-50 = -1х1 - 1х2 - 0х3 + 1х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7

-140 = -4х1 - 1х2 - 3х3 + 0х4 + 1х5 + 0х6 + 0х7

-127 = -1х1 - 4х2 - 1х3 + 0х4 + 0х5 + 1х6 + 0х7

-80 = 0х1 - 3х2 - 2х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 1х7

F = 8х1 + 12х2 + 10х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 = min

Записанные уравнения отличаются от тех, которые нами рассматривались выше, тем, что коэффициенты при основных неизвестных и свободные члены имеют отрицательные знаки.

Решение таких задач производится двойственным симплексным методом. Система симплексных уравнений записывается в таблице.

Элементы целевой строки рассчитывают по обычным правилам и получа­ют отрицательные знаки.

В отличие от вычислительной процедуры основного симплексного метода решение задач двойственным методом выполняется в обратном порядке.

В итоговом столбце свободные числа имеют отрицательные знаки. Это яв­ляется свидетельством того, что данный план нельзя считать допустимым, так как он противоречит экономическому смыслу. План можно считать допустимым только тогда, когда в итоговом столбце не будет отрицательных чисел.

Ликвидация отрицательных чисел в итоговом столбце начинается с наи­большего по абсолютной величине. В нашем примере таким числом является (-140). Строка х5, в которой находится это число, принимается за ключевую и со­ответственно выделяется.

Определив ключевую строку, находим ключевой столбец. Для этого нужно элементы целевой строки разделить на элементы ключевой строки и из получен­ных отношений выбрать наименьшее. Столбец, имеющий наименьшее отноше­ние, принимается за ключевой и так же как ключевая строка, выделяется.

Столбцы х1, х2, х3 будут иметь следующие отно­шения:

Наименьшее отношение имеет столбец х1, он и будет являться ключевым.

Определив ключевую строку, ключевой столбец и ключевое число, по обычным правилам преобразуются все элементы матрицы и записываются в но­вой таблице.

1-я итерация