Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.3.5. Область применения.

Классические методы спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумов в предположении о стационарности. Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье. Недостатком всех методов спектрального анализа является искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна. Сравнение экспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающих окон приведены в соответствующем разделе.

1.4. Авторегрессионное спектральное оценивание.

1.4.1. Введение

Одна из причин применения параметрических моделей случайных и процессов и построения на их основе методов получения оценок спектральной плотности мощности обусловлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами. Еще одна важная причина  - более высокое спектральное разрешение. Далее рассматриваются следующие методы: метод Юла-Уалкера оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок автокорреляционной функции, метод Берга оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения, метод раздельной минимизации квадратичных ошибок линейного предсказания вперед и назад - ковариационный метод, метод совместной минимизации квадратичных ошибок прямого и обратного линейного предсказания - модифицированный ковариационный.  

Модель временного ряда (называемая модели авторегрессии-скользящего среднего в случае входной последовательности - белого шума), которая пригодна для аппроксимации многих встречающихся на практике детерминированных и стохастических процессов с дискретным временем, описывается следующим разностным уравнением:

Системная функция , связывающая вход и выход этого фильтра имеет рациональную форму:

Если в качестве входной последовательности использовать белый шум, то приходим к АРСС-модели. Спектральную плотность для АРСС-модели получаем, подставляя , что дает

, где

, , а  - дисперсия

возбуждающего белого шума

В частных случаях для авторегрессионной модели и модели скользящего среднего получаем соответственно :

1.4.2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера.

Из соотношения, связывающего параметры АРСС-модели с порядком авторегрессии p и скользящего среднего q:

Поскольку полагается, что u[k] - белый шум, то  

,

, m>q

, m<0

В частном случае для авторегрессионных параметров, получаем :

,

, m=0

, m<0

В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом :

Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для , то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричного соотношения (называемого нормальными уравнениями Юла-Уалкера), где автокорреляционная матрица является и теплицевой, и эрмитовой.

Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию является решение нормальных уравнений Юла-Уалкера, в которые вместо значений неизвестной автокорреляционной функции подставляем их оценки. Результаты экспериментов с этим, первым методом АР-оценивания и сравнение с другими методами этого класса приведены в соответствующем разделе.

1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения.

Рекурсивное решение уравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p c параметрами порядка p-1 выражением :

, где n=1,2,..p-1

Коэффициент отражения определяется по известным значениям автокорреляционной функции :

, где

Из всех величин только  непосредственно зависит от автокорреляционной функции. В разное время предлагалось несколько различных процедур оценки коэффициента отражения, рассмотрим некоторые из них.

1.4.3.1. Геометрический алгоритм.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно следующими выражениями:

Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделей порядков p и p-1, определяются простой подстановкой   и в рекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров:

Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством (является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад) :

Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад, получим :

Таким образом, геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициента отражения, вычисляемого по известной автокорреляционной функции, используется его оценка 

Окончательный вид выражений геометрического алгоритма :

, где n=1,2,..p-1

,  

, где

1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.

Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений, а именно : при каждом значений параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания):

Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для  :

Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого при использовании базового метода Берга:

что приводит к следующей оценке :

1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.

Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Берга происходит минимизация по одного параметра - коэффициента отражения . Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания.

Итак, пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка p используются последовательность данных .Оценка линейного предсказания вперед порядка p для отсчета будет иметь форму:

где  - коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p.

Ошибка линейного предсказания :

В матричном виде это выражение записывается как :

и соотношение для ошибки :

Однако если рассматривать, в котором  минимизируется следующая, невзвешенная  выборочная дисперсия :

то матрица принимает теплицевый вид (далее ее будем обозначать ).

Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид:

Элементы эрмитовой матрицы имеют вид корреляционных форм

, где

Таким образом, авторегрессионные параметры могут быть получены в результате решения нормальных уравнений. Рассмотрим алгоритм, который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитова матрица  получена как произведение двух теплицевых  и в результате этого сводит количество вычислений к  . При использовании алгоритма Холецкого потребовалось бы операций.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад p-ого порядка

Здесь вектор данных , вектор коэффициентов линейного предсказания вперед  и вектор линейного предсказания назад определяется следующими выражениями:

 , ,

На основе отсчетов измеренных комплексных данных ковариационный метод линейного предсказания позволяет раздельно  минимизировать суммы квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад:

, 

что приводит к следующим нормальным уравнениям :

,

Введем необходимые для дальнейшего определения :

, 

исходя из вида  и  можно записать :

, ,

где вектор столбцы  и даются выражениями :

,

Важными также являются следующие выражения :

Пара векторов-столбцов и  определяются из выражений :

Аналогично определяются вектора и , а также и  через матрицы  и .

Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующим образом :

, где , в котором

Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка для вектора предсказания назад:

, где ,

Векторы и должны удовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка:

Используя тот факт, что  является эрмитовой матрицей имеем следующие выражения для  и :

Введем скалярные множители

Соответствующие рекуррентные выражения для  и имеют следующий вид :

Наконец, еще одна рекурсия обновления порядка необходима для вектора  :

Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением :

Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания вперед :

Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением :

Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания назад :

, 

где комплексный скаляр удовлетворяет выражениям :

Соответствующие рекурсии по временному индексу для действительных скаляров  и  даются следующими выражениями:

,

Начальные условия необходимы для того, чтобы начать рекурсивное решение с порядка равного нулю:

, , ,

, ,

,

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод

1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов

1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего .

Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чем авторегрессионная модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими возможностями для передачи формы различных спектров. Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка. Пусть

   - системная функция СС(q)-процесса

-системная функция АР-процесса,

эквивалентного этому СС(q)-процессу, то есть

Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства, используя теорему об обратном преобразовании произведения функций, получим:

причем

Таким образом, СС-параметры можно определить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной модели посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений. Используя АР-оценки высокого порядка можно записать следующую систему уравнений :

В идеальном случае ошибка должна быть равна нулю при всех значениях m, за исключением m=0, однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметров должны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки:

Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения (здесь используется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера», либо

«Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов»)  

Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем. Этап первый - определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеет системную функцию вида :

, где - оценки

авторегрессионных параметров, определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна , поэтому

 Таким образом, пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией , получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Этап третий : для оценивания СС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела. Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид :

, где

- оценка автокорреляции, полученная по фильтрованной последовательности

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

.

1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.

Оценка спектральной плотности мощности по методу минимума дисперсии не является 

истинной функцией СПМ, поскольку площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощность измеряемого процесса. Обратное преобразование Фурье, соответствующее МД-оценке, также не совпадает с автокорреляционной последовательностью. Таким образом, МД-оценку можно считать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра, но не является  оценкой истинной СПМ. Минимальная дисперсия - это характеристика, которая более информативна вблизи начала координат оценки. Она получается посредством минимизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра, частотная характеристика которого адаптируется к спектральным компонентам входного процесса на каждой представляющей интерес частоте.

Рассмотрим фильтр с p+1 коэффициентами . Выход этого фильтра, соответствующий входу , определяется сверткой:

Дисперсия на выходе рассматриваемого фильтра определяется выражением :

Коэффициенты фильтра необходимо выбирать таким образом, чтобы на частоте  частотная характеристика этого фильтра имела единичный коэффициент усиления. Это ограничение можно записать следующим образом:

, где

Отсюда следует, что синусоида с частотой , поданная на вход такого фильтра, пройдет без искажений. Для режекции компонент спектра, удаленных от частоты , необходимо минимизировать дисперсию на выходе рассматриваемого фильтра при последнем ограничении. То есть рассматривается задача условной минимизации:

Несложно показать, что при таком ограничении решение по методу минимума дисперсии для коэффициентов фильтра будет удовлетворять уравнению:

Само значение дисперсии:

Отсюда получается выражение для спектральной оценки минимальной дисперсии:

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.7. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.

1.7.1. Введение

Ключевой операцией в методах, основанных на анализе собственных значений, является разделение информации, содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпространство шума. В этих подпространствах можно определять различные функции от векторов сигнала и шума для получения оценок частоты. Однако эти оценки не сохраняют мощность анализируемого процесса и, следовательно, не являются оценками истинной СПМ. Далее будет рассмотрен метод классификации множественных сигналов.

Основная формула практически всех методов  оценивания частоты, основанных на анализе собственных значений имеет следующий вид:

, здесь

- собственные значения автокорреляционной матрицы, упорядоченные по степени их убывания; главные собственные вектора  (), соответствующие собственным значениям .На собственные векторы   натянуто подпространство шума матрицы и всем им соответствует одно и то же собственное значение . На главные собственные векторы  натянуто подпространство сигнала матрицы .

Разложение автокорреляционной матрицы на собственные значения можно двумя способами использовать для получения спектральных оценок или, точнее говоря, улучшенных процедур оценок частоты. Сохранение одной лишь информации, соответствующей собственным векторам пространства сигнала, то есть формирование для матриц аппроксимации пониженного порядка, эффективно способствует увеличению отношения сигнал/шум, поскольку устраняет вклад мощности компонент подпространства шума. Этот факт лежит в основе процедур оценок частоты главных компонент (подпространства сигнала). Свойство инвариантных прямых подпространств (подпространств шума и сигнала) положено в основу процедур оценок частоты в подпространстве шума.

1.7.2.Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала.

1.7.3.Оценки частоты в пространстве шума.

Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа.

В данной работе математическое моделирование и вычислительные эксперименты преследовали следующие задачи:

1.) Провести сравнительный анализ численных методов спектрального анализа на различных типах тестовых сигналах.

2.) Выявить особенности каждого из методов и на их основе сделать вывод о целесообразности применения того или иного алгоритма в следующих условиях вычислительного эксперимента:

2.0.) Тест-сигнал состоит из смеси комплексных синусоид и шумовых процессов (белых шумов, пропущенных через фильтры с частотными характеристиками типа приподнятого косинуса) (используем для проверки способности метода к сохранению «достоверности» формы спектра)

2.1.) Несколько комплексных синусоид, присутствующие в анализируемом сигнале,  имеют близкие частоты (этот тип тестовых сигналов используем для получения предельной разрешающей способности по частоте)

2.2.) В сигнале присутствуют слабые синусоидальные составляющие на фоне сильных шумовых процессов (анализируем способность спектральных оценок обеспечивать обнаружение слабых компонент сигнала).

2.3.) Проводим серию испытаний с одним методом и формируем при этом различные реализации процесса (здесь анализируем качество оценки СПМ, рассматриваемое  как функция дисперсии оценки, зависящая от частоты; меньшим значениям функции соответствует лучшая оценка на заданной частоте). Здесь же вводится в рассмотрение равномерный критерий оценки качества получаемых оценок СПМ и на основе его делается вывод о наилучшем методе в рамках своего класса и, вообще, о лучшем из всех исследованных в рамках данной работы.

2.4.) Для вычислительных схем функционирующих в реальном масштабе времени проводим серию экспериментов, направленных на выявление влияния   значений параметров на структурную устойчивость алгоритма.

2.5.) Серия экспериментов, направленных на решение вопроса о  выборе значений параметров в параметрических методах оценки СПМ (выбор порядка в авторегрессионном  методе и методе авторегрессии-скользящего среднего, а также порядок модели линейного предсказания в ковариационном методе; шаг адаптации в адаптивном авторегрессионном алгоритме; действительный весовой множитель в рекурсивном алгоритме наименьших квадратов; количество главных собственных векторов, отвечающих подпространству сигнала в методе, основанном на собственных значениях; тип окна в классических методах спектрального анализа).

Сохранение «достоверности» формы спектра - одно из свойств, которое присуще практически всем исследованным методам. Однако меру «достоверности» сложно определить аналитически и затем количественно для каждого из методов, поэтому «достоверность» относится к числу субъективных критериев качества получаемых оценок и основным подходом к сравнению алгоритмов является визуальное сравнение получаемых оценок с истинным априорно известным спектром тест-сигнала. Результаты сравнения полученных каждым из исследованных методов оценок приведены в приложении C.

Максимально допустимое разрешение оценки СПМ для всех рассмотренных методов приведены в приложении D. Как и следовало ожидать наилучшими в смысле спектрального разрешения являются альтернативные неклассические методы. Основной недостаток классических методов заключается в искажающем воздействии какого бы то ни было взвешивающего окна. А псевдоусреднение  по ансамблю за счет сегментации данных приводит к еще более худшему разрешению (приложение D график N). От этого недостатка свободны все остальные взятые в рассмотрение методы. Однако в случае авторегрессионных методов увеличение порядка модели наряду с улучшением разрешающей способности приводит к эффекту появления ложного спектрального пика или к расщеплению спектральной линии (что продемонстрировано на графике N приложения D). Оценки по методу минимума дисперсии и оценки, полученные авторегрессионными методам, связаны некоторыми соотношениями, поэтому эти же эффекты присутствуют и в МД-оценках. В случае алгоритмов, основанных на сингулярном разложении матрицы данных, значительные ложные пики также имеют место при увеличении порядка модели.    

Практически все методы позволяют экспериментально обнаружить слабые синусоидальные составляющие. В таблице приложения Е приведены максимально допустимое соотношение сигнал/шум для всех методов, при котором еще возможно обнаружить составляющие сигнала, а также графики, иллюстрирующие результаты исследования.

Приложение F включает в себя получение и исследование дисперсии оценок СПМ как функции частоты.

Выбор правильных параметров в методах, функционирующих в реальном масштабе времени сопряжен со значительными трудностями. С одной стороны, если рассматривать градиентный адаптивный авторегрессионный метод, выбор большего параметра адаптации приводит к улучшению разрешающей способности и к увеличению «достоверности» спектра, с другой стороны это приводит к возрастанию структурной неустойчивости всей вычислительной схемы, а на больших порядках модели, вообще, к разрушению алгоритма. В эксперименте с аудио сигналом для каждого представления отсчетов (под представлением понимается следующий набор установок : частота дискретизации из диапазона 8 Кгц. - 44 Кгц., количество каналов - 1 (моно)/ 2(стерео), количество битов на отсчет 8 бит/16 бит ) и для каждого набора параметров схемы, осуществляющей сбор данных в реальном масштабе времени (количество (значения из диапазона : 3,...,128) и длина буферных областей задержек данных на входе и выходе (значения из диапазона : 256,...,16384 отчета)) было выбрано компромиссное решение. Результаты приведены в приложении G.   

Поскольку наилучшее значение порядка фильтра в авторегрессионной модели, как правило, не известно, на практике приходится испытывать несколько порядков моделей. Базируясь на этом, вводят тот или иной критерий ошибки, по которому затем определяем требуемый порядок модели. Если порядок модели выбран слишком  малым, получаются сильно сглаженные спектральные оценки, если излишне большим - увеличивается разрешение, но в оценке появляются ложные спектральные пики. Таким образом, применительно к авторегрессионному спектральному оцениванию  выбор порядка моделей эквивалентен компромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методов спектрального оценивания. Очевидно, что следует увеличивать порядок АР-модели до тех пор, пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнет минимума. Однако во всех исследованных методах оценка дисперсии монотонно уменьшается с увеличением порядка модели. Следовательно, одной дисперсии обычно не достаточно для того, чтобы определить момент окончания процедуры изменения порядка.

Для выбора порядка АР-модели предложено много различных критериев - своего рода целевых функций. Рассмотрим некоторые из них. Первый критерий называется окончательная ошибка предсказания(ООП). Согласно этому критерию, выбор порядка осуществляется таким образом, чтобы минимизировать среднюю дисперсию ошибки на каждом шагу предсказания.

, где   

N - число отсчетов данных, p- порядок АР-процесса и  - оценочное значение дисперсии белого шума (которая будет использоваться в качестве ошибки линейного предсказания).Выбирается такое значение порядка, при котором величина ООП минимальна. Однако использование этого и последующих критериев дает отличные результаты только  для идеальных авторегрессионных процессов, а в случае реальных данных результат оказывается сильно заниженным.

Вторым критерием, основанным на методике максимального правдоподобия является информационный критерий Акаике(он представляет исключительно теоретический интерес, а на практике используется как нижняя граница порядка модели)  

На практике обычно порядок модели выбирают в интервале от N/3 до N/2 где N - длина обрабатываемой последовательности отсчетов. В приложении Н приведены графики оценок СПМ, полученных при различных значениях порядка модели.

Особенности реализации

Для решения поставленных задач был разработан и реализован язык проектирования алгоритмов, включающий в себя средства межзадачного обмена данными, то есть построение распределенных по процессам вычислительных алгоритмов, определенные части которого исполняются параллельно несколькими процессам. Дальнейшим развитием этого подхода является построение сетевых распределенных  схем алгоритмов. Существует большое количество приложений этого подхода.

Заключение

В данной работе :

1.   Tеоретически проанализированы  методы спектрального анализа, а также возможность применения этих методов в современных вычислительных системах для обработки данных в  реальном масштабе времени.

2.   Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящий метод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексных синусоид и окрашенного стационарного шумового процесса для каждого из типов экспериментов, сформулированных в разделе экспериментальных результатов.

3.   Дано описание и выполнена реализация  схемы управления процессом обработки данных в реальном времени, использующая преимущества параллельной архитектуры вычислительных систем.

4.   Cформулирован ряд требований по вычислительным ресурсам при реальной обработке, сделан анализ длины выборки данных при различном представлении входного сигнала.

5.   Получены результаты по эксперименту вычисления характеристик окон и на их основе выбрано наилучшее решение в смысле разрешения (недостаточное качество разрешения по частоте в классических спектральных методах может быть улучшено исключительно выбором весового окна, а выбор параметров метода второстепенен по отношению к  выбору окна)  в каждом эксперименте по оцениванию спектральной плотности мощности тест-сигнала.

Приложениe А.

Смещение периодограммы Уэлча.

Здесь доказывается факт, который используется в разделе классических методов. Среднее периодограммы Уэлча можно записать в следующем виде:

Докажем, что его можно представить в виде свертки истинного спектра (спектральной плотности мощности) и нормированного квадрата модуля дискретно-временного преобразования используемого окна данных, то есть как

 , где   и

Рассмотрим выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот :

Найдем непосредственно квадрат модуля в последнем равенстве

Подставив в формулу для математического ожидания периодограммы Уэлча, получим следующее выражение:

Введем в рассмотрение следующее окно данных (свертка используемого окна данных с тем же комплексно сопряженным, но в обратном времени, окном):

Его дискретно-временное преобразование Фурье равно, по теореме о свертке во временной области, произведению преобразований Фурье окна данных  и окна . Если заметить, что преобразование окна  равно комплексно-сопряженному преобразованию окна , то искомое выражение для  будет равно квадрату  модуля , где

Заменяя кратную сумму в выражении

и учитывая, то обстоятельство, что за пределами интервала шириной D отсчетов окно данных тождественно равно нулю, имеем:

Приложениe I.

Список используемой литературы.

Страницы: 1, 2, 3