Разработка программно-методического комплекса для анализа линейных эквивалентных схем в частотной об...

1. Обзор методов

Цель метода:

1. Составляем (или уже имеем) эквив. схему.

    Эквив. схема отображает: способ связи элементов друг с другом, физическая сущность отдельных элементов, граф же только - способ связи.

Введем правила построения эквив. схем:

1) Эквив. схема, как и граф, состоит из множества ветвей и узлов.

2)    Каждая ветвь относится к одному из 5-ти возможных типов:

      а.            б.        в.          г.              д.              е.             ж.              з.  

                                                                                    II             IU            UU  

3) Каждой ветви соответствует компонентное уравнение:

  а.

                dU

       I=C*

                dt

I, U - фазовые переменные типа потока и разности потенциалов (напряжения) в рассматриваемой ветви, С - емкость.

  б.

                   dI

       U=L*

                   dt

L - индуктивность

  в.

       U=R*I

R - сопротивление

  г.

      U=f1(V,t)

U - вектор фазовых переменных,

t - время, в частном случае возможное U=const

  д.

     I=f2(V,t)

U - вектор фазовых переменых,

I - м.б.  I=const

Зависимая ветвь - ветвь, параметр которой зависит от фазовых переменных.

4) Каждому узлу схемы соответствует определенное значение фазовой  переменной типа потенциала, каждой ветви - значения переменных I и U, фигурирующих в компонентных уравнениях. Соединение ветвей друг с другом (т.е. образование узлов) должно отражать взаимодействие элементов в системе. Выполнение этого условия обеспечивает справедливость топологических уравнений для узлов и контуров.

В качестве фазовых переменных нужно выбирать такие величины, с помощью которых можно описывать состояния физических систем в виде топологических и компонентных уравнений.

В ЭВМ эта схема представляется в табличном виде на внутреннем языке.

Граф электрич. схем характеризуется некоторыми так называемыми топологическими мат-рицами, элементами которых являются (1, 0, -1). С помощью них можно написать независимую систему уравнений относительно токов и напряжений ветвей на основании законов Кирхгофа. Соединения ветвей с узлами описываются матрицей инциденции А . Число ее строк равно числу узлов L, а число столбцов - числу ветвей b. Каждый элемент матрицы a(i, j):

                       ì -1  - i-я ветвь входит в j-й узел,

           a(i, j) = í  1  - i-я ветвь выходит из j-го узла,

                       î  0  - не соединена с j-м узлом.

Легко видеть, что одна строка матрицы линейно зависит от всех остальных, ее обычно исключают из матрицы, и вновь полученную матрицу называют матрицей узлов А. Закон Кирхгофа для токов с помощью этой матрицы можно записать в виде:

                                   А * i = 0,  где i - вектор, состоящий из токов ветвей.

Для описания графа схемы используют еще матрицы главных сечений и главных контуров. Сечением называется любое минимальное множество ветвей, при удалении которых граф распадается на 2 отдельных подграфа. Главным называется сечение, одна из ветвей которого есть ребро, а остальные - хорды. Главным контуром называется контур, образуемый при подключении хорды к дереву графа. Число главных сечений равно числу ребер, т.е. L-1, а число главных контуров - числу хорд  m=(b-(L-1)).  Матрицей главных сечений П называется матрица размерностью (L-1) * b, строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы - ветвям графа. Элементы матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-е сечение в соответствии с направлением ориентации для сечения; a(i, j)=-1, если входит, но против ориентации, и a(i, j)=0, если не входит в сечение.

Закон Кирхгофа для токов можно выразить с помощью матрицы главных сечений.

  Пi = 0

Матрицей главных контуров Г называется матрица размерностью (b-(L-1))*b, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы - ветвям графа. Элемент этой матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-й контур в соответствии с направлением обхода по контуру, -1, если ветвь входит в контур против направления обхода, и 0, если ветвь не входит в контур.

Закон Кирхгофа для напряженй выражается с помощью матрицы главных контуров в виде:

   Пи = 0

Располагая в матрицах П и Г сначала столбцы, соответствующие ветвям-ребрам, а затем столбцы, соответствующие ветвям- хордам, можно записать:

   П = [E, Пх]                Г = [Гр, Е]

где Пх содержит столбцы, соответствующие хордам; матрица Гр - столбцы, соответствующие ребрам, а Е - единичные матрицы [размерность матрицы Е, входящей в П,  (L-1)*(L-1), а входящей в Г,  (b-(L-1))*(b-(L-1))].

Матрицы Гр и Пх связаны следующим соотношением:

Гр=-Пxт ,  где т - знак транспонирования матрицы, или, обозначая Гр=F, получаем Пх=-Fт.

Если для расчета электрической схемы за искомые переменные принять токи i и напряжения u ветвей, то уравнения:

    Ai = 0             или              Пi = 0

    Гu = 0                                 Гu = 0

совместно с компонентами уравнений:

       Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t)=0

составят полную систему уравнений относительно 2b переменных.

То есть полная система в общем случае представляет собой набор обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.(в случае линейных схем)

Число переменных и уравнений можно уменьшить следующим образом. Токи ребер Ip и напряжения хорд Ux можно выразить через токи хорд Ix  и напряжения ребер Up:

    Ip= F  * Ix             Ux = -Fu

Если подставить эти уравнения в уравнение:

      Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t)=0

то число уравнений и переменных можно уменьшить до числа ветвей b.

Обозначения:    L - число вершин (узлов),

                           b - число ветвей,

                           p - число ребер,

                           m - число хорд.

Для связного графа справедливы следующие отношения:

     p = L - 1                m = b - (L-1)

хорда - ребро, не вошедшее в дерево.

Оценим эффективность использования вышеописанных матриц описания схем с точки зрения размерности, для ЭВМ это проблема экономии памяти.

Пусть имеем: число вершин (узлов)  L = 500,

                          число ветвей  b = 1000.

Оценим размеры матриц:

Инцидентности:

                 L * b = 500 * 1000 = 500000

Главных сечений:

                  (L-1) * b = p * b = 499 * 1000 = 499000

Главных контуров:

                  (b-(L-1)) * b = (b-p) * b = (1000-(500-1)) * 1000 = (1000-499) * 1000= 501000

Из вышеприведенных нехитрых вычислений следует, что для описания схемы выгоднее использовать матрицу главных сечений.

2 - Эквив.схема преобразуется в программу решения линейных дифференциальных уравнений.

Для решения таких систем необходимо организовать иттерационный процесс, решая на каждом шаге иттераций систему линейных уравнений.

Схема организации вычислит. процесса:

                                         Ввод исходной информации

                                  Трансляция исходной информации.

                                  Заполнение массивов в соответствии с

                                  внутр. формой представления данных

                                   Построение матем. модели схемы

                                   Решение системы линейных уравнений

                                       Обработка и выдача результатов

Задачи:

1. Получить АЧХ, ФЧХ (АФЧХ) решением системы дифф. уравнений

2. Построить характеристики по АЧХ и ФЧХ

                          Построение модели эквивалентной схемы.

Модель схемы может быть построена в одном из 4-х координатных базисов:

1. ОКБ - однородный координатный базис

2. РОКБ - расширенный однородный координатный базис

3. СГКБ - сокращенный гибридный координатный базис

4. ПГКБ - полный гибридный координатный базис

1) Модель представляет собой систему алгебро-интегро-дифференциальных уравнений. Неизвестные величины - напряжения U в узлах.

2) Система обыкновенных дифф. уравнений первого порядка, в неявной форме.

Неизвестные величины:

                                                Uс

                                                 Il

3) Модель - система обыкновенных дифф. уравнений в форме Коши (в явной форме). Неизвестные величины:       

                                                Uc

                                                 Il

4)    Теоретически существует, но на практике не используется, так как он избыточен. Неизвестные величины:       

                                                 U

                                                  I

Для построения модели используются:

1) МУП - метод узловых потенциалов

2) ММУП - модифицированный МУП

3) МПС - метод переменных состояния

1) ОКБ

Используются следующие матрицы:

          С                G                 L            Y

На нулевом шаге все матрицы и векторы заполнены нулями.

Рассмотрим следующий элемент:       

                                                                    i                       j

В матрице С рассматриваются i, j строки и столбцы.

      i        j

i    C   - C

j  - C     C

         C

При совпадении индексов элемент в матицу включается со знаком “+”, а при несовпадении - со знаком “-”.  В матрицу могут быть включены 4 или 1 элемент.

Рассмотрим следующий элемент:      i                      j

      i        j

i    Y     -Y

j   -Y      Y

         G

Принцип построения аналогичен матрице С.

Рассмотрим следующий элемент:       i                      j

      i        j

i    1/L  -1/L

j   -1/L   1/L

           L

Принцип построения аналогичен матрице С.

Рассмотрим следующий элемент (зависимый источник тока, управляемый напряжением):

                                                          s

                                       i         IU          j

                                      k                       l                          S - крутизна

      k        l

i     S      -S

j    -S       S

          G

Принцип построения аналогичен матрице С.

Рассмотрим следующий элемент (независимый источник тока):

                                        независ.

                              i        источник       j

                                           тока

       i

i    U(t)

j   -U(t)             Этот вектор почти нулевой

       Y

Принцип построения аналогичен матрице С.

Характеристики модели в ОКБ.

Достоинства:

- Метод построения прост, обладает низкой трудоемкостью.

- Матрицы, как правило, хорошо обусловлены, результатом чего является высокая точность решения.

Недостатки:

- Используется только один вид зависимых источников.

- Наличие интегральных уравнений.

2) Построение модели в РОКБ с помощью ММУП.

Цель - избавиться от интегральных уравнений и оставить только дифференциальные уравнения.

1. Записывается модель в ОКБ.

2. Избавляемся от интегральных членов уравнения ( вида 1/pL, т. к. 1/р - оператор интегрирования), преобразовывая их в новые неизвестные (например, токи).

3.     Получим систему вида:

   ì  C*dX(t)/dt+G*X(t)=Y(t)

   î  X(0)=X0

  X(t),dX(t)/dt,Y(t)-вектора

  С,G-матрицы.

Это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами в неявной форме.

Решаем полученную систему.

Достоинства:

1. В модели могут быть любые типы источников.

2. Низкая трудоемкость (т. к. метод прост).

3. Отсутствуют интегральные уравнения.

Недостатки:

Выросла размерность решаемых задач.

3)    Построение модели в СГКБ с помощью МПС

                                            Ul

dX(t)/dt=x(t)+C*Y(t)    X=         ;  X(0)=X0

                                            Uc 

МПС сложен для осмысления и для реализации. МПС можно построить, если в схеме нет топологических выражений (это контуры из емкостей или звезды из индуктивностей).

Чтобы выйти из этой ситуации, в схему вводят дополнительные элементы, но снижается точность вычислений.

Страницы: 1, 2