Кроме того, в
большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела,
обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через
центр инерции. Напомнив правило разметки осей систем координат, связанных со
звеньями, в соответствии с которым одна из осей системы совпадает с осью звена (вектором ), а две другие образуют с
ней правую триаду, получим при помещении точки в центр инерции (см. рис. 1.1) оси полученной системы становятся главными осями инерции и
тензор вектора в точке имеет
вид диагональной матрицы
моменты инерции
относительно осей в которой определяются выражениями
и для звеньев
заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых
симметрий тензор инерции звена в точке характеризуется матрицей
центробежные
моменты в которой определяются выражениями
и также являются
известными константами.
Определим
вектор скорости центра инерции звена i через проекции на оси связанной с
ним системы координат как
или через
проекции на оси неподвижной системы осей в виде
По
аналогии с введем
вектор угловой скорости звена
и запишем
равенство (1.6[DG19] )
в развернутой форме для случая, когда звенья манипулятора обладают симметрией
относительно главных осей инерции. Для этого подставим выражения , , из (1.7), (1.11), (1.13[DG20] )
в (1.6[DG21] )
и получим
При
использовании вектора скорости центра инерции в форме (1.14[DG23] )
выражение
с учетом
которого равенство (1.4) принимает вид
2.
Построение динамической модели переходных процессов манипулятора
МРЛ-901П
2.1 Модель переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Модель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 2.1.
Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень,
обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная
масса m. Деформация поперечной консоли обозначена на схеме углом . Исходными данными для
расчета такой модели будут: значение подвижной массы m, плечо приложения
этой массы l, а также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый
как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и
демпфирование модуля линейного перемещения.
При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение
под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение и соответственно, затем остановятся и
под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать
колебательное движения.
Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые
обобщенные координаты как , и . Для описания данной модели воспользуемся
уравнением Лагранжа второго рода:
где T - кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы.
Кинетическая энергия системы с тремя степенями
свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:[DG26]
Коэффициенты являются функциями
координат , и .
Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения
равновесия, где .
Располагая коэффициенты по степеням и пологая для упрощения записи , получим:
Потенциальная энергия системы:
При этом
учитываем, что в положении равновесия обобщенные силы также обращаются в нуль.
В (2.4) для упрощения приняты следующие
обозначения:
,
, , , , .
Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме
уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные
координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы …,. Потенциальная энергия в состоянии
устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием
сил отклонении
от него выражается квадратичной формой вида (2.4).
Элементарная работа всех сил действующих на
систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:
Замечая, что
а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях , и , получаем три уравнения:
Здесь , и -
обобщенные силы для системы сил …,, уравновешивающих потенциальные силы,
возникающие при отклонении системы из положения равновесия . Заменяя в (2.6) производные потенциальной
энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих
значение координат ,
и в положении равновесия:
причем , и .
Решение системы (2.7) имеет вид:
где
.
На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы
и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5[DG27] ] силу сопротивления принимают пропорциональной первой
степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол мал и координаты массы m
можно записать как .
Поэтому на основании кинетостатики можем записать:
где - обобщенная
сила, - коэффициент сопротивления пропорциональный
первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно
консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок,
захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования
колебаний (практически - рабочий орган
манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.
Сила действует
на все звенья манипулятора следовательно:
Коэффициенты в
(2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать
независимо друг от друга. Положим сначала, что действует только по координате , затем только по
координате и
наконец только по координате , тогда в выражение (2.7) можно переписать:
таким образом ,
используя (2.9) находим:
Коэффициенты ,
и определяют податливость
звеньев манипулятора по координатам , и соответственно. Выражая податливость звеньев
через их жесткость, запишем:
где , и жесткости звеньев по координатам , и соответственно.
Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8)
получим:
Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m
через их составляющие:
Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально
определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так как
в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты
которой выражаются как ,
то для этого достаточно сложить уравнения в выражении (2.15):
или:
где С - суммарная
жесткость звеньев манипулятора.
Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от
плеча приложения l сосредоточенной массы m.
Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие
переходный процесс в системе:
Уравнение (2.19) легко решается классическим
способом при следующих начальных условиях:
где - скорость рабочего органа манипулятора в
момент выхода на конечную точку.
Выражение (2.19) представляет собой линейное
дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение
уравнения в виде:
где и - произвольные постоянные, которые могут быть определены из
начальных условий: при t = 0; и -
корни характеристического уравнения:
Решение уравнения
(2.22) будет иметь вид:
Определим
произвольные постоянные и
, решая систему
уравнений:
Решение системы
(2.24) будет иметь вид:
если учесть
(2.20) то:
подставляя
(2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:
где - реальная часть; -
мнимая часть.
Тогда разделяя
реальную и мнимую части в (2.27) получим:
Учитывая что:
имеем:
Преобразуя
(2.30) получим решение уравнения (2.19):
Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него
значение допустимой погрешности позиционирования:
где -
допустимая погрешность позиционирования.
Преобразуя
(2.32) получим выражение для определения времени переходного процесса:
Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования в модели используются
экспериментально полученные зависимости. В частности коэффициент демпфирования определяется
по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа.
Таким образом, время переходного процесса, для
данного типа манипулятора при заданной массе положении рабочего органа
определяется по выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования
предварительно определены экспериментально.
2.2 Анализ переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Источниками
возникновения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и
его свободная консоль.
На этапе зондирующих
экспериментов исследовались парные зависимости коэффициента демпфирования от
натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли. Результаты
анализа полученных осциллограмм сведены в таблицы 2.1 и 2.2.
Анализ результатов
показывает, что натяжение зубчатого ремня существенным образом влияет на
коэффициенты демпфирования модуля линейного перемещения: так
при увеличении начального натяжения ремня от минимального значения h = 0,03778 до максимального h = 0,00667 (в исследуемых приделах) коэффициент демпфирования
уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что
демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной передачей может задаваться и
варьироваться в широких пределах, как на этапе конструирования, так и в
процессе его эксплуатации.
Табл. 2.1
|
Результаты анализа осциллограмм собственных колебаний
рабочего органа манипулятора МРЛ-901П на консоли
|
Величина смещения рабочего
органа вдоль консоли ly, мм
|
Период колебаний рабочего органа
T, с.
|
Частота колебаний w,
с-1
|
Логарифмический декремент
затухания n
|
Коэффициент демпфирования b, кг/c
|
Время затухания колебаний tп.п., с.
|
0
|
0,057
|
17,54
|
0,956
|
369
|
0,6
|
175
|
0,067
|
15
|
0,693
|
227,55
|
0,9
|
350
|
0,08
|
12,5
|
0,446
|
122,65
|
1,2
|
Анализ результатов исследований показывает, что
смещение рабочего органа манипулятора МРЛ-901П вдоль свободной консоли, также
как и
|
Табл. 2.2
|
Результаты исследований демпфирующих свойств модуля
линейного перемещения с ременной передачей
|
Номер опыта
|
Номер параллельного опыта
|
Случайный порядок проведения
|
Степень начального натяжения
|
Период колебаний Т, с.
|
Логарифмический декремент
затухания n
|
Коэффициент демпфирования b, кг/c
|
Среднее время затухания
|
|
|
опытов
|
ремня h
|
парал-лельные опыты
|
среднее
|
парал-лельные опыты
|
среднее
|
парал-лельные опыты
|
среднее
|
колебаний tп.п., с
|
|
1
|
3
|
|
0,1
|
|
1,15
|
|
460,15
|
|
|
|
2
|
1
|
|
0,102
|
|
1,23
|
|
482,35
|
|
|
1
|
3
|
12
|
0,03778
|
0,113
|
0,105
|
1,383
|
1,253
|
489,72
|
477,33
|
0,4
|
|
4
|
7
|
|
0,108
|
|
1,258
|
|
465,91
|
|
|
|
5
|
11
|
|
0,102
|
|
1,244
|
|
488,52
|
|
|
|
1
|
4
|
|
0,125
|
|
0,85
|
|
272,12
|
|
|
|
2
|
15
|
|
0,128
|
|
0,815
|
|
254,68
|
|
|
2
|
3
|
10
|
0,02
|
0,117
|
0,12
|
0,756
|
0,8
|
258,3
|
266,67
|
0,45
|
|
4
|
9
|
|
0,115
|
|
0,79
|
|
275,08
|
|
|
|
5
|
14
|
|
0,115
|
|
0,789
|
|
273,17
|
|
|
|
1
|
6
|
|
0,12
|
|
0,486
|
|
162,11
|
|
|
|
2
|
5
|
|
0,12
|
|
0,493
|
|
164,25
|
|
|
3
|
3
|
3
|
0,0067
|
0,132
|
0,128
|
0,496
|
0,504
|
150,32
|
157,47
|
0,6
|
|
4
|
8
|
|
0,14
|
|
0,544
|
|
155,43
|
|
|
|
5
|
2
|
|
0,128
|
|
0,5
|
|
155,24
|
|
|
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
|