yj+ ½                                                                               x ½

ene0 ò(E-x(0,y) - Ex(x -½,y))dy  + ene0 ò (Ey(x,yj+½) - Ey(x,j-½))dx = 0

yj- ½                                                                      0

где  E+x(0,y) и E-x(0,y)   -предельные значения х компоненты вектора

Е со стороны кремния и окисла.Складывая   равенства и учитывая

условия:

ene0 dj + -  e1e0 dj -  = -Qss

 dx              dx

имеем

yj+½                                                                                                                                x½ 

ò (ene0Ex(x½,y) - e1e0Ex(x-½,y) - Qss(y))dy   +   ene0ò (Ey(x,yj+½) + Ey(x,yj-½))dx  +

yj-½                                                                                0

0                                                   x½  yj+½ 

+ e1e0 ò (Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½))dx  =  q ò ò (Nd + Na)dxdy

x-½                                                0  yj-½   

Сделав относительно  Ex и Ey предположения анологичные (**) положив Qss(y) = Qss = const при yj-½ < y < yj+½  и учитывая условия :

j+ = j-        dj +   =    dj -

              dy          dy

“+”- со стороны кремния

“-“ - со стороны окисла

Получим :

ene0(Ex)½,j  -  e1e0(Ex)-½,j  - Qss   r*j   +   ene0h1 + e1e0h-1   .    (Ey)0,j+½  - (Ey)0,j-½     =

2            2

= q (Nd0j - Na0j) h1r*j

2

что можно записать   :

1  ene0 jij -j0j  - e1e0  j0j - jij   +   ene0h1 + e1e0h-1    j0,j+1 -  j0j   -   j0j  - j0,j-1   =

h*            h1                     h-1                      2h*r*j                   rj+1                   rj

= - q  ( Nd0j - Na0j ) .  h1  -  Qss

 2                            h*      h*

где h* =  h1 + h-1

                   2

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления

Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчёт которых оказывается проще, чем прямой расчёт равновесного состояния.

Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи Дирихле:

LxxUmn + LyyUmn = j(xm,yn)                                                        (1)

Umn|г = Y(smn)                                       m,n = 1,2,...,M-1

аппроксимирующий дифференциальную задачу Дирихле:

d2U  +  d2U   =  j(x,y)                      0<= x <=1                                      

dx2        dy2                                                                   (2)

 U|г = Y(s)                                         0<= y <=1

Вслучае задачи (1) удаётся провести теоретический анализ различных алгоритмов установления с помощью конечных рядов Фурье.

Способыточного решения задачи (1) выдерживающие обобщения на случай переменных коэффициенто и областей скриволинейной границей, например, метод исключения Гаусса , при сколько-нибудь больших и становится неудобным и не применяются.

Решение U(x,y) Задачи (2) можно понимать как не зависящую от времени температуру в точке (x,y) пластинки, находящейся в теплолвом равновесии. Функция j(x,y)  и Y(s) означаютв таком случае соответственно распределения источников тела и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о распределении тепла:

dV = d2V + d2V - j(x,y)

 dt     dx2    dy2

V|г = Y(s)                                                                        (3)

V(x,y,0) = Y0(x,y)

где j и Y те же что и в задаче (2), а Y0(x,y) - произвольная.

Поскольку источники теплп j(x,y) и температура на границе Y(s) не зависит от времени, то естественно, что и решение V(x,y,t) с течением времени будет менятся всё медленнее, распределение температур V(x,y,t) в пределе при t àOO превращается в равновесное распределение тмператур U(x,y), описываемое задачей (2). Поэтому вместо стационарной задачи (2) можно решать нестационарную задачу (3) до того времени t, пока её решение перестаёт менятся в пределах интересующей нас точности. В этом  состоит идеал решения стационарных задач методом установления.

В соответствии с этим вместо задачи (2) решается задача (3), а вместо разностной схемы (1) для задачи (2) рассмотрим и составим три различные разностные схемы для задачи (3).

Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему:

Up+1mn - Upmn = LxxUpmn + LyyUpmn - j(xm,yn)

          t

  Up+1mn|г = Y(smn)                                                             (4)

U0mn = Y0xm,yn)

Рассмотрим так же простейшую неявную разностную схему:

Up+1mn - Upmn = LxxUp+1mn + LyyUp+1mn - j(xm,yn)

t

Up+1mn|г = Y(smn)                                                             (5)

U0mn = Y0(xm,yn)

и исследуем схему применения направлений

U’mn - Upmn = 1  [ LxxU’mn + LyyUpmn  -  j(xm,yn)]

         t              2

Up+1mn - U’mn = 1  [ LxxU’mn + LyyUp+1mn  -  j(xm,yn)]

         t               2                                                              (6)

Up+1mn|г = U’mn|г = Y(smn)

U0mn = Y0(xm,yn)

Будем считать, что Y0(xm,yn) по уже известному Up={Upmn} для схемы (4)  оссуществляется по уже явным формулам.

Вычисление Up+1 = {Up+1mn} по схеме (5) требует решения задачи :

LxxUp+1mn + LyyUp+1mn - Up+1mn  =  j(xm,yn) - Upmn

  t                              t              (7)

Up+1mn|г = Y(smn)

Вычисление Up+1 = {Up+1mn} по уже известным Up = {Upmn} по схеме (6) осуществляется прогонками в направлении оси OX для вычисления решений {U’mn} одномерных задач при каждом фиксированом n, а затем прогонками в направлнии оси OY для вычисления решений {Up+1mn} одномерных задач при каждом фиксированом m.

Для каждой из двух разностных схем (4) и (6) рассмотрим разность для счёта погрешностеи вычислений:

epmn = Upmn - Umn

между сеточной функцией Up = {Upmn} и точным решением U = {Umn} задачи (1).

Решение {Umn} задачи (1) удовлетворяет уравнениям:

Upmn - Umn =  LxxUmn - j(xm,yn)

         t

Umn|г = Y(smn)

U0mn = Umn

Вычитая эти равенства из (4) почленно, получим для погрешности epmn следующую разностную задачу:

ep+1mn - epmn = Lxxepmn + Lyyepmn

           t

ep+1mn|г = 0                                                                   (9)

e0mn = Y0(xm,yn) - Umn

Сеточная функция epmn при каждом p (p=0,1,...) обращается в ноль на границе Г.

Метод переменных направлений

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:

dU = LU + f(x,t)   ,  xÎG02 , tÎ[0,t0]

 dt

U|г = m(x,t)                                                                  (1)

U(x,0) = U0(x)

LU = LU = (L1 +L2)U  , где LaU = d2U   , a=1,2

dx2

Область G0a =G0 = {0<= xa <=la , a=1,2} -прямоугольник со сторонами l1 и l2, Г - граница G0 = G0 + Г.

В G0 построили равномерную по xa сетку vh с шагами h1 = l1/N1 , h2 = l2/N2. Пусть nh - граница сеточной области wh, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, vh = wh + nh.

Оператор La заменим разностным оператором La:

Lay = yxaxa     ,     L = L1 + L2

В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида:

Aiyi-1  - Ciyi  + Biyi+1 = -F   , i=1,...,N-1

y0=m1                                                                                                                                 (2)

yn=mN

Ai > 0, Bi > 0, Ci > Ai + Bi

которая решается методом прогонки.

Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку vh можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i2=0,1,2,...,N2, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i1=1,2,...,N1. Всего имеется N1+1 столбцов и N2+1 строк. Число узлов в каждой строке равно N1+1, а в каждом столбце N2+1 - узлов.

Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i2(или i1), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(N1N2) арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2) вдоль строк и вдоль столбцов.

Наряду  с основными значениями искомой  сеточной  функции  y(x,t),  т.е.  с  y = yn и y` = yn+1 вводится промежуточное значение y = yn+½ , которое можно формально рассматривать как значение при t = tn+½ = tn+½  . Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t .

yn+½ - yn = L1yn+½ + L2yn  + jn                                                              (3)

0.5t

yn+1 - yn+½  = L1yn+½ + L2yn+1 + jn                                     (4)

0.5t

Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = xi сетки vh и для всех t=th > 0.

Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2, вторая схема явная по х1 и неявная по х2. К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:

y(x,0) = U0(x)   ,    xÎvh                                                            (5)

и разностно краевые условия, например, в виде:

yn+1 = mn+1   при    i1=0, i2=N2                                 (6)

yn+½  = m      при     i1=0, i2=N1                                (7)

где m = 1 (mn+1 + mn) -  t  L2(mn+1 - mn)                                                                   (8)

 2                       4

Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:

2 y - L1 y  =  F    ,   F = 2 y  + L2 y  + j

t                                  t                                        (9)

2y`  - L2 y` = F’  ,   F = 2 y + L1 y +  j

t                                  t

Введём обозначения:

xi = (i1h1 , i2h2)

F = Fi1,i2

y = yi1,i2

при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2), т.е.:

1   yi1-1  -  2   1    +  1   yi1   +  1  yi1+1  =  - Fi1

h21                 h21      t              h21

i1 = 1,...,N1-1                                                                     (10)

y =m  при  i1 = 0,N1

1   y`i2-1  -  2   1    +  1   y`i2   +  1  y`i2+1  =  - Fi2

h22                  h22      t                h22

i2 = 1,...,N2-1                                                                     (11)

y` = m` при  i2 = 0,N2

Пусть задано у=уn. Тогда вычисляем  òF, затем методом прогонки вдоль строк i2=1,...,N2-1 решаем задачу (10) и определим y’ во всех узлах сетки wh, после чего вычисляем F и решаем задачу (11) вдоль столбцов i1=1,...,N1-1, определяя y`=yn+1. При переходе от слоя n+1 к слою n+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.

Построение разностных схем

Для каждой области МДП - структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия.

Разобьём данную МДП - структуру на несколько областей следующим образом:

L                                     M            N

 y

K0

K1

x

I :    jk0,y  = Un

    t    . jk+½i-1,y  +  1  +       t        +         t        .  jk+½ij  -      t     . jk+½i+1y   =  Yij

2h*ihi                              2h*ihi+1         2h*i2hi                     2h*ihi+1

jk1,y = Un

где Yij = jkij  +  t (Lyjkij  +  f kij )

2

Ly = 1    jkij+1 - jkij   -  jkij - jkij-1

        r*j          rj+1                   rj

II:    jij=U3

   t       . jk+½i-1,j   +    1  +      t        +      t      .  jk+½ ij -       t      jk+½i+1,j  =

2h*ihi                                   2h*ihi+1       2h*ihi                    2h*ihi+1

= jkij  +  t  Lyjkij

                2                         ,                0 < i < k0-1     L< j <M

   eok   . jk+½ i-1,j  +    -  enn    -   eok    . jk+½ ij   +    en    . jk+½ i+1,j   =  Y*ij     ,  i=k0

  h*i-1                             h*hi     h*hi-1                     h*ihi

     t       . jk+½i-1,j   +    1  +      t      +     t     .  jk+½ ij  -     t       . jk+½i+1,j    =

 2h*ihi                                   2h*ihi       2h*ihi                   2h*ihi+1

=   jkij  +  t  Lyjkij  -  f kij                               ,k0+1< i < k1

              2

jk1,j = Un

...

III :  jk0,j =Uc

           t       . jk+½i-1,j   +    1  +      t        +      t      .  jk+½ ij -       t      jk+½i+1,j  =

2h*ihi                                 2h*ihi+1       2h*ihi                    2h*ihi+1

= jkij  +  t  Ly (jkij  -  f kij ),                           M+1 < j < N

 2

jk1,j = Un

Разностные схемы (I)-(III) решаются методом прогонки в направлении оси OX.

y

K0

K1

            x

()

Разностные схемы (IV)-(VI) также решаются методом прогонки в направлении оси OY.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Годунов С.К.,Рыбинский В.С.: ”Разностные схемы”

2.  Кобболд Р.: “Теория и приминение транзисторов”

3.  Самарский А.М.: “Теория разностных схем”

4.  Самарский А.М.,Николаев Е.С.: “Методы решения сеточных уравнений”

5.  Самарский А.А.,Андреев В.Б.: “Разностные методы решения эллиптических уравнений”

6.  Калиткин Н.Н.: ”Численные методы”

Страницы: 1, 2