Движение в центрально-симметричном поле

Национальный Технический Университет Украины

«Киевский Политехнический Институт»

Реферат

По курсу: Квантовая Механика

На тему:

« Движение в центрально – симметричном поле »

Выполнил студент группы ДС-71

Садрицкий Роман.

Киев-1999г.

Содержание:

Движение в центрально-симметричном поле.

Падение частицы на центр.

Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

1.Движение в центрально-симметричном поле.

Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц ( с массами [pic]) , взаимодействующих по закону [pic] [pic]- расстояние между частицами), имеет вид

[pic][pic] (1,1)

где [pic]- операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов- векторов частиц [pic] и [pic] новые переменные [pic] и [pic]:

[pic] [pic]

(1,2)

[pic] - вектор взаимного расстояния, а [pic]- радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:

[pic] (1,3)

( [pic] и [pic]- операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов
[pic] и [pic];
[pic] - полная масса системы; [pic] - приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать [pic] в виде произведения [pic], где функция [pic] описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой
[pic]), а [pic] описывает относительное движение частиц ( как движение частицы массы [pic] в центрально-симметричном поле [pic] ).

Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид

[pic]

(1,4)

Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде

[pic].

(1,5)

Если ввести сюда оператор квадрата момента:

[pic],

то мы получим

[pic] (1,6)

При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется.
Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента [pic] и его проекции [pic]. Заданием значений [pic] и [pic] определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде

[pic]

(1,7)

где [pic]- сферические функции. Поскольку [pic] , то для «радиальной функции» [pic] получаем уравнение

[pic] (1,8)

Это уравнение не содержит вовсе значения [pic], что соответствует [pic]- кратному вырождению уровней по направлениям момента.

Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой

[pic]

(1,9)

уравнение (1,8) приводится к виду

[pic] (1,10)

Если потенциальная энергия [pic] везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция
[pic], а следовательно, и ее радиальная часть [pic]. Отсюда следует, что
[pic] должна обращаться в нуль при [pic]:

[pic]

(1,11)

В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося при [pic] в бесконечность.

Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией

[pic]

(1,12)

равной сумме энергии [pic], и члена

[pic] ,

который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при
[pic]). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции
[pic], определяющееся интегралом

[pic].

При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями [pic] и [pic], мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями [pic]. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин для такого движения.

Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения энергии ( дискретного спектра ) при заданном [pic] в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами [pic], причем наиболее низкому уровню приписывается номер [pic]. Тогда [pic] определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях [pic] (не считая точки
[pic]). Число [pic] называют радиальным квантовым числом. Число [pic] при движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным квантовым числом, а [pic]- магнитным квантовым числом.

Для обозначения состояний с различными значениями момента [pic] частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием:

[pic] 1 2 3 4 5 6 7 . . .[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] (1,13)

Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном поле всегда является [pic]- состояние; действительно, при [pic] угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном [pic] собственное значение энергии растет с увеличением [pic]. Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена [pic], растущего с увеличением [pic].
Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет считать, что

[pic]

(1,14)

Ищем [pic] в виде степенного ряда по [pic], оставляя при малых [pic] только первый член разложения; другими словами, ищем [pic] в виде [pic].
Подставляя это в уравнение

[pic],

получающееся из (1,8) умножением последнего на [pic] и переходя к [pic], найдем

[pic].

Отсюда

[pic] или
[pic].

Решение [pic] не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при [pic] ( напомним, что [pic] ). Таким образом, остается решение с [pic], т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным [pic] пропорциональны [pic]:

[pic].

(1,15)

Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между [pic] и [pic] определяется величиной [pic] и поэтому пропорциональна [pic]. Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение
[pic].

2. Падение частицы на центр.

Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, - движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке ( начале координат ) в бесконечность по закону [pic]; вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Этот случай – промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы на начало координат.

Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае будет следующим:

[pic]

(2,1)

( [pic]- радиальная часть волновой функции), где введена постоянная

[pic]

(2,2)

и опущены все члены более низкого порядка по [pic]; значение энергии [pic] предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже опущен.

Ищем[pic] в виде [pic]; тогда получаем для [pic] квадратное уравнение

[pic][pic] с двумя корнями

[pic], [pic]
(2,3)

Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим вокруг начала координат малую область радиуса [pic] и заменим функцию [pic] в этой области постоянной величиной [pic]. Определив волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу [pic].

Предположим сначала, что [pic]. Тогда [pic] и [pic] - вещественные отрицательные числа, причем [pic]>[pic]. При [pic] общее решение уравнения
Шредингера имеет вид ( везде речь идет о малых [pic])

[pic]

(2,4)

([pic]- постоянные). При [pic] решение уравнения

[pic]

конечное в начале координат, имеет вид

[pic]

(2,5)
При [pic] функция [pic] и ее производная [pic] должны быть непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности логарифмической производной от [pic]. Это приводит к уравнению

[pic]

или

[pic].

Решенное относительно [pic], это уравнение дает выражение вида

[pic]

(2,6)

Переходя теперь к пределу [pic] , находим, что [pic] ( напоминаем, что [pic] ). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро:

[pic].

Пусть теперь [pic]. Тогда [pic] и [pic] комплексны:

[pic].

Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (2,6), которое при подстановке значений [pic] и [pic] дает

[pic].

(2,8)

При [pic] это выражение не стремится ни к какому определенному пределу. Так что прямой переход к пределу [pic] невозможен. С учетом (2,8) общий вид вещественного решения может быть написан следующим образом:

[pic]. (2,9)

Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением [pic]. Поскольку, с одной стороны, выражение (2,9) справедливо для волновой функции ( при достаточно малых [pic]) при любом конечном значении энергии [pic] частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что «нормальное состояние2 частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии [pic]. Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится в основном в области пространства, в которой [pic]. Поэтому при [pic] частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т.е. происходит «падение» частицы в центр.

«Критическое» поле [pic] , при котором становится возможным падение частицы в центр, соответствует значению [pic]. Наименьшее значение коэффициента при [pic] получается при [pic], т.е.

[pic].

(2,10)

Из формулы (2,8) ( для [pic] ) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера ( вблизи точки, где [pic] ) расходится при [pic] не быстрее чем [pic]. Если поле обращается при [pic] в бесконечность медленнее чем [pic], то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь [pic] по сравнению с остальными членами, и мы получим те же решения, что и для свободного движения, т.е. [pic] . Наконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем [pic] ( как [pic] с [pic]
), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна [pic]. Во всех этих случаях произведение [pic] обращается при [pic] в нуль.

Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больших расстояниях по закону [pic] при произвольном его виде на малых расстояниях. Предположим сначала, что [pic]. Легко видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уровней энергии[1]. Действительно, при энергии [pic] уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид (2,1) с общим решением (2,4). Но функция
(2,4)не имеет ( при [pic] ) нулей; поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня
[pic], замыкающего дискретный спектр, конечен.

Если же [pic], то дискретный спектр содержит бесконечное число отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния
[pic] имеет на больших расстояниях вид (2,9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.

Наконец, пусть поле [pic] во всем пространстве. Тогда при [pic] происходит падение частицы. Если же [pic], то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния [pic] будет во всем пространстве вида (2,7); она не имеет вовсе нулей на конечных расстояниях, т.е. соответствует наиболее низкому (при данном [pic] ) уровню энергии.

3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

Очень важным случаем движения в центрально-симметричном поле является движение в кулоновом поле

[pic]

( [pic] - положительная постоянная ). Мы будем рассматривать сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать [pic]. Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет дискретным ( с бесконечным числом уровней ), а спектр положительных энергий – непрерывным.

Уравнение (1,8) для радиальных функций имеет вид

[pic] (3,1)

Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то под [pic] надо подразумевать их приведенную массу.

В вычислениях, связанных с кулоновским полем, удобно пользоваться вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем называть кулоновскими единицами. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выберем соответственно

[pic] [pic]
[pic]

Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энергии будет

[pic].

Далее будем пользоваться этими единицами.

Уравнение (3,1) в новых единицах принимает вид

[pic] (3,2)

Дискретный спектр.

Введем вместо параметра [pic] и переменной [pic] новые величины:

[pic] [pic]

(3,3)

При отрицательных энергиях [pic] есть вещественное положительное число.
Уравнение (3,2) после подстановки (3,3) приобретает вид

[pic] (3,4)

( штрихи обозначают дифференцирование по [pic] ).

При малых [pic] решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально [pic] ( см. (1,15)). Для выяснения асимптотического поведения [pic] при больших [pic] опускаем в (3,4) члены с
[pic] и [pic] и получаем уравнение

[pic]

откуда [pic]. Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение, следовательно, при больших [pic] ведет себя, как [pic].

Виду этого естественно сделать подстановку

[pic],

(3,5)

после чего уравнение (3,4) принимает вид

[pic] (3,6)

Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности быстрее конечной степени [pic], а при [pic]=0 должно быть конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция

[pic] [pic] [pic]

(3,7)

Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых отрицательных ( или равных нулю ) значениях [pic], когда функция (3,7) сводится к полиному степени [pic]. В противном случае она расходится на бесконечности, как [pic].

Таким образом, мы приходим к выводу, что число [pic] должно быть целым положительным, причем при данном [pic] должно быть

[pic]

(3,8)

Вспоминая определение (3,3) параметра [pic], находим

[pic]

(3,9)

Этим решается задача об определении уровнем энергии дискретного спектра в кулоновском поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем [pic] и нулем. Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением [pic]; уровни сгущаются по мере приближения к значению [pic], при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (3,9) имеет следующий вид:

[pic]

(3,10)

Целое число [pic] называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число, определенное в п.1, равно

[pic].

При заданном значении главного квантового числа число [pic] может принимать значения

[pic]

(3,11)

всего [pic] различных значений. В выражение (3,9) для энергии входит только число [pic]. Поэтому все состояния с различными [pic], но одинаковыми [pic] обладают одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу [pic] ( как при всяком движении в центрально-симметричном поле ), но и по числу
[pic]. Это последнее вырождение ( о нем говорят, как о случайном или кулоновом ) специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению
[pic] соответствует [pic] различных значений [pic]; поэтому кратность вырождения [pic]- го уровня энергии равна

[pic]

(3,12)

Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (3,5),
(3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому

[pic].

Радиальные функции должны быть нормированы условием

[pic].

Их окончательный вид следующий:

[pic]

[pic] (3,13)

Вблизи начала координат [pic] имеет вид

[pic]
(3,14)

На больших расстояниях

[pic]. (3,15)

Волновая функция [pic] нормального состояния затухает экспоненциально на расстояниях порядка [pic], т.е. в обычных единицах, [pic].

Средние значения различных степеней [pic] вычисляются по формуле

[pic].

Приведем несколько первых величин [pic] ( с положительными и отрицательными
[pic] ):

[pic], [pic],

[pic], [pic].

(3,16)

Непрерывный спектр.

Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению [pic] соответствует бесконечное множество состояний с [pic], пробегающими все целые значения от [pic] до
[pic] ( и со всеми возможными, при данных [pic], значениями [pic] ).

Определяемое формулами (3,3) число [pic] и переменная [pic] теперь чисто мнимы:

[pic], [pic],

(3,17)

где [pic]. Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид

[pic] (3,18)

где [pic]- нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла

[pic], (3,19)

который берется по контуру ( см. рис ниже ).

[pic]

[pic]

Подстановкой [pic] этот интеграл приводится к более симметричному виду

[pic] (3,20)

( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки [pic] ). Из этого выражения непосредственно видно, что функции [pic] вещественны.

Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции
[pic]

[pic]

(3,21)

Если нормировать волновые функции «по шкале [pic]» , то нормировочный коэффициент [pic] равен

[pic]

(3,22)

Действительно, асимптотическое выражение [pic] при больших [pic]( первый член разложения (3,21) ) тогда имеет вид

[pic],

(3,23)

[pic]

в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако, [pic] растет при увеличении [pic] медленно по сравнению с самим [pic], то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на бесконечности, наличие этого члена не существенно.
Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного множителя, может быть выражен через элементарные функции. Воспользовавшись известными свойствами Г-функций

[pic], [pic],

имеем

[pic],

[pic]

и далее

[pic].

Таким образом,

[pic] (3,24)

( при [pic] произведение заменяется на 1 ).

Предельным переходом [pic] можно получить радиальную функцию для особого случая равной нулю энергии. При [pic]

[pic][pic]

[pic],

где [pic] - функция Бесселя. Коэффициенты [pic] (3,24) при [pic] сводятся к

[pic]

Отсюда находим

[pic]

(3,25)

Асимптотический вид этой функции при больших [pic]

[pic] (3,26)

Множитель [pic] исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е. от функции [pic] к функции [pic]; именно функция [pic] остается конечной в пределе [pic].

В кулоновом поле отталкивания [pic] имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением знака у [pic]. Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.

Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается

[pic],

[pic]. (3,27)

Асимптотическое выражение этой функции при больших [pic] имеет вид

[pic],

(3,28)

[pic].

Природа кулонова вырождения.

При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения

[pic]

(3,29)

В квантовой механике этой величине отвечает оператор

[pic]

(3,30)

коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом [pic].

Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов [pic] друг с другом и с оператором момента:

[pic], [pic].
(3,31)

Некоммутативность операторов [pic] друг с другом означает, что величины
[pic] не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих операторов, скажем [pic], коммутативен с такой же компонентой момента [pic], но некоммутативен с оператором квадрата момента [pic]. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному вырождению уровней, - это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой механике.

Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с фиксированной отрицательной энергией, можно заменить [pic] в правой стороне соотношения (3,31) на [pic] и ввести вместо [pic] операторы [pic]. Для них правила коммутации принимают вид

[pic], [pic]

(3,32)

Вместе с правилом [pic] эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.

Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо [pic] и [pic] операторы

[pic], [pic].

(3,33)

Для них имеем

[pic] , [pic] , [pic] (3,34)

Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов [pic] и [pic] равны [pic] и [pic], где [pic]. С другой стороны, по определению операторов [pic] и [pic], находим, после простого вычисления:

[pic],

[pic]

( при вычислении суммы [pic] снова заменено [pic] на [pic] ). Отсюда

[pic]

(где [pic] ) и затем [pic].

Обозначив

[pic], [pic],

(3,35)

приходим к требуемому результату [pic]. Кратность вырождения уровней равна, как и следовало: [pic]. Наконец, поскольку [pic] , то при заданном [pic] орбитальный момент пробегает значения от [pic] до [pic].

-----------------------
[1] Предполагается, что при малых [pic]поле таково, что падения частицы не происходит.