що показує, що B може мати порядок 2 та більше. Це твердження також отримане Коунто та Джеферсом (1980) в контексті твердого тіла.

Формула (2.32) забезпечує альтернативний вираз до (2.12) для середньої потужності, а саме:

який є аналогічним отриманому Ньюманом (1976), рівняння (61а) для випадку твердого тіла, яке коливається багатьма способами.

Здається імовірно, що максимальна поглинальна ефективність для N> 2 є також одиничною, але загального доказу з (2.33) ще немає. Зрозуміло, однак, що оптимальні значення для p не будуть єдиними.

2. Умови резонансу

Максимум потужності поглинання, даний в (2.21). Однак, цього можна досягнути, якщо тільки ми можемо стверджувати, що L= Z. Практично, малоймовірно що матриця L буде не реальна і діагональна з позитивними елементами. Ми розглядаємо значення цього для випадку єдиної внутрішньої вільної поверхні.

Ми маємо:

Для даних A, B, як функції w2a/g,

з

Для аксіально-симетричного розподілу тиску та зв'язаної структури, з (А 27)

таким чином, що

в той час для двовимірного симетричного розподілу тиску,

Зрозуміло, що цікаво установити, чи є значення w2a/g для якого А зникає, відповідно викликаючи об’єм потоку униз по поверхні перебуваючи в фазі з прикладеним тиском. Будемо розглядати два простих приклади, для яких можна отримати явні рішення.

(а) Двовимірна область хвилі, створена однорідним простим гармонічним тиском по кінцевому інтервалі |х| <а осі х , що представляє вільну поверхню вперше була вирішена Стокером (1957) і згодом розглянута Огільві (1969) та Фалькао і Сарменто (1980). Для цієї простої задачі маємо, (А32), (А33):

і це легко показує, що

оскільки там немає розсіяного потенціалу.

Рис. 3. Зміна функції А(ka), визначена рівнянням (3.10), з безрозмірним хвильовим числом ka, для круглого однорідного коливального поверхневого розподілу тиску радіусом a.

Вираз для А(ka) більше ускладнено, включаючи спеціальні функції Ci й Si. Однак Фалька і Сарменто (1980) показали, і це може бути підтверджене Огільві (1969), рис. 15, що А(kа) = 0 для ka = 1,3 відповідно до половини ширини смуги приблизно п’ята частина довжини хвилі. Рівняння (3.6) тепер показу, що зі збільшенням ka від нуля, максимальна ефективність 0,5 досягається приблизно при ka = 1,3 для А(ka)= 0, але ефективність знижується до нуля при наступних значеннях ka, для яких В(ka) = 0 , а саме ka = np, n = 1,2, ... . Криві, які показують зміну hmax з ka даються Фалкао та Сарменто (1980).

(b) Як наступний приклад ми розглядаємо аксіально-симетричний розклад вищезгаданого до однорідного коливального розподілу тиску по диску радіусом а на вільній поверхні в глибокій воді. Результуючу тривимірну аксіально-симетричну область хвилі можна визначити явно, використовуючи теорему Гріна разом з фундаментальним потенціалом джерела хвилі в трьох вимірах або, більш просто, за допомогою перетворення Хенкеля.

Знайдено, що

в той час:

Тут J1, Y1, I1, K1 - функції Бесселя у звичайному розумінні. Похідні цього результату разом з розкладами до кінцевої глибини і трубками, які пересікають поверхню води можна знайти у Томаса (1981)

Рис. 4. Зміна klmax з безрозмірним хвильовим числом ka, для циркулярного поглинання коливальних поверхневих розподілів тиску (суцільна лінія) і циркулярного поглинання твердого диску (пунктирна лінія).

Рис. 5. Зміна безрозмірного відношення ширини захвату lmax/2a з безрозмірним хвильовим числом для циркулярного поглинання коливального поверхневого розподілу тиску (суцільна лінія) і циркулярного поглинання коливального твердого диску (пунктирна лінія). Також показаний теоретичний оптимум (2ka) -l у кожному випадку.

Граф виразу в фігурних дужках в (3.10) показаний на рис. 3 проти ka. Здається, що А(ka) має тільки сім нулів, перший з яких є ka = 1,96 відповідно до радіуса диску приблизно три десятки довжини хвилі. Перший нуль B (ka) відбувається в ka = 3,83.

На рис. 4 показана зміна klmax з ka в той час, як рис. 5 показує безрозмірну зміну ширини захвата щодо діаметру диска. Можна побачити, що максимальне значення klmаx відбувається в першому нулі поки klmах зменшується до нуля при ka = 3,83 відповідно до першого нуля B (ka). Наступні нулі А(ka), B (ka) викликають коливальну поведінку klmax зі збільшенням ka. Найкраще це показано при відношенні ширини захвата lmax/2a зі зміною ka. Ефект позначення, який включає А (ka) дає абсолютний максимум відношення ширини захвата приблизно 0,4 у потрібному діапазоні при ka == 0,7 або відношення довжини хвилі до діаметра приблизно 5. Також показана крива (2ka) -l отримана з (2.24), приймаючи, що резонанс може бути досягнутий при всіх частотах. Як очікується єдина точка контакту з кривою lmax/2a знаходиться в першому нулі А(ka).

3. Порівняння з твердою моделлю пластини

Попередні рішення пристроїв хвильової енергії, які базуються на ідеї форсування пійманого об’єму повітря на водній поверхні через турбіну, були змодельовані вільними поверхнями з умовою для твердої поверхні запропонованої вертикальної швидкості. Подивимось, наприклад, Коунта та ін. (1981). Там обговорювалось, що довгі хвилі принаймні (k® 0), умова тиску (2.6) зводиться до умови твердої поверхні. Однак, щоб бути послідовними, те ж саме наближення потрібно зробити по вхідній вільній поверхні, в якій випадок задачі елемента хвилі втрачений.

Цікаво спостерігати за розходженням результатів двох підходів. Ми розглядаємо тільки єдиний симетричний пристрій, який складається або з твердої поверхневої пластини або з розподілу тиску. В обох випадках максимальна ефективність рівна ½ в двох вимірах, або максимальна ширина захвата - k-l для аксіально-симетричних пристроїв.

Фактична ширина захвата для циркулярного поглинання пластини може бути записана (Еванс 1976) у формі, точно аналогічній (3.4), (3.5), де тепер l - позитивний коефіцієнт демпфування пропорційний швидкості, який з’єднує вертикальну конфронтуючу силу прикладену ззовні на диску та вертикальній швидкості диску. Крім того:

де т - маса диску, a33 (w) його частотно-залежні коливання доданої маси, і

c = pа2rg

коефіцієнт відновленої плавучості, відповідно до припущення, що диск на поверхні є частиною круглого циліндра з кінцевою довжиною, який знаходиться над поверхнею. Коефіцієнт B (w) = b33 (w) - частотно-залежний коефіцієнт демпфування для примусового коливального руху вертикальних коливань диска з одиничною амплітудою швидкості.

Тепер, оскільки прийнято, що диск лежить на вільній поверхні, його масу можна ігнорувати порівняно з його доданою масою, яка в свою чергу може бути безрозмірною, використовуючи запис а33 (w) = 2pа3rm3 (w) таким чином, що:

Подібно

B (w) = 2pа3r w l3 (w),

де l3 (w) - безрозмірний коефіцієнт демпфування.

Вертикальні коливання доданої маси і коефіцієнти демпфування для круглого доку на поверхні були визначені МакКамом (1961), хоча, здається, що на його рис. 6 і 7 є типографська помилка в позначенні ординат; асимптотичний результат m3 ~ 2/3p при ka®¥ разом з іншою інформацією пропонує, що значення дані для m3 та l3 повинні бути зменшені фактором 2p. З цим виправленням, знайдено, що А(w) зникає один раз тільки при ka = 2,1, в той час як B (w) завжди позитивне. Ефект цих розходжень на klmах та lmах /2a показується пунктирами на рис. 4 і 5.

Можна помітити з рис. 4, що у діапазоні 0 < ka < 4, який охоплює діапазон практичного інтересу для пристроїв хвильової енергії, головне розходження в klmaх відбувається для ka > 2, де значення розподілу тиску починають зменшуватися, досягаючи нуля при значенні ka = 3,82 відповідно до першого нуля B (ka) для цього випадку. Поки B (ka) не рівне нулю для твердого поверхневого доку, не відбувається ніякого зниження в klmах в цьому випадку. Те ж саме правильне для відношення ширини захвата на рис. 5; фактично для діапазону відношення довжини хвилі / діаметр від 1,5 до 4 розходження у двох відношеннях ширини захвату - маленькі.

Подібні розходження, які відбуваються у випадку двовимірної смуги також розглянуті МакКамом (1961). У цьому випадку с=2аrg в (4.1) і А(w) зникає для ka(=w2а/g) = 1,42 порівняно зі значенням 1,3, який передбачили Фалько та Сарменто (1980).

Висновок

Було розглянуто ряд задач, які стосуються поглинання енергії хвилі коливальними однорідними поверхневими розподілами тиску. Показано, що використовуючи лінеаризовану теорію водної хвилі можна отримати загальні вирази для середньої потужності поглинання довільною системою розподілів тиску в позначеннях: матриця повних провідностей відносного об’єму потоку, з метою застосування тиску для системи, вимушений об’єм потоку через набігаючий та розсіюваний потенціали, і (прийняті лінійними) характеристики тиск - об’єм потоку потужно-злетного механізму.

Далі показано, що під досягнутим імпедпнсом розуміють максимальну середню потужність поглинання можна визначити виключно, вирішуючи задачу лінійної хвильової дифракції, яка звичайна для корабельної гідродинамічної теорії без посилання до розподілів тиску. З нових результатів випливає, що необхідний коефіцієнт демпфування для даних розподілів тиску до вимушеного об’єму потоку виникає з задачі дифракції. Більшість цих результатів отримано в додатку.

У імовірнішому випадку недосконалої відповідності, показано, що для окремих розподілів тиску в двох або трьох вимірах, існують умови для резонансу, які додають розмір розподілу тиску до довжини набігаючої хвилі. Порівняння з резонансними умовами для твердих пристроїв хвильової енергії показує, що відбуваються тільки невеликі розходження при значеннях ka у межах практично необхідного діапазону, припускається, що використання таких твердих моделей пристроїв, які залежать від представлення поверхневого тиску для їх дії, забезпечить задовільні результати. Для більшого ka, однак, відбуваються істотні розходження, і це буде важливо в нелінійних задачах, де розглядаються високочастотні компоненти Фур’є. Взагалі, однак, в майбутньому може не виправдатись використання теорії твердого тіла краще ніж існуючої теорії для таких пристроїв, оскільки на додаток до більш точно опису фізичної ситуації, вона також має перевагу у створенні простіших задач з граничними значеннями, які необхідно вирішити.

Дана стаття тільки намагається відкрити теорію поглинання енергії розподілами тиску і зрозуміло, що виникає ряд задач, які необхідно вирішити. Найбільший недолік теорії - притуплення характеристик турбіни і кожного розподілу тиску. Насправді, це більш схоже на квадрати у формулі (Фрай та Джеферс 1979). Потрібно дослідити припущення про незжимаємість прикладеного об’єму повітря. І ці пункти були описані Фалькао та Сарменто (1980), і здається імовірним, що, використовуючи відповідні розклади ряду Фур’є, вони могли б бути включеними в існуючу загальну теорію.

Подальший напрямок вивчення повинен застосувати загальну теорію до типового пристрою Каймея, для того щоб отримати значення оптимальної ширини захвата і тисків камери. Можливо, суттєвішим було б затримати таке застосування, поки теорія не продовжена, щоб включити справжні нелінійні характеристики турбіни.

Автор бажає підтвердити численні корисні обговорення з Доктором Томасом та містером Томасом, з Університету Брістоля, і також подякувати їм за допомогу в обчисленні представлених результатів. Ця робота формує частину із триваючої програми дослідження, підтриманої S.E.R.C. грант GR/B76720.

Додаток

Взаємні відношення, які включають розподіли тиску

Формула (2.14) пропонує, за аналогією з теорією для ряду твердих енергопоглинаючих тіл, відношення:

дотримується між елементами матриці демпфування B та елементами дифракційної хвилі викликаної вектором об’єму потоку qd. На додаток, в цьому додатку отримані подальші відношення до (А1), які відповідають вільно-поверхневим розподілам тиску. Метод диференціювання витікає безпосередньо з використанням Ньюмана (1976), для того, щоб отримати відповідні результати для твердого тіла. В деякій мірі вони представлені тут, оскільки вони, здається, нові, і можуть мати застосування в інших контекстах, таких як вивчення транспортних засобів з повітряною подушкою.

Що стосується основної частини статті, потенціал y (x, y, z) задовольняє:

На більших відстанях y поводиться подібно потенціалу відбігаючої хвилі. Ми маємо:

не залежний від часу, складний об’єм потоку через Sі і з (2.11):

де

Нехай

де yj задовольняє (А2), (А3), (А6) і

З (А7), (А8), (А10) витікає, що

таким чином, щоб, зокрема:

В результаті, припускаємо що:

Дифракційний потенціал рівний:

де

що задовольняє ¶fd/¶z = 0 на SB, фіксованих твердих поверхнях, і

Також

та ф0 і фS задовольняють (А5).

Тепер, якщо f і y - будь-які дві досить регулярні гармонічні функції в даній області:

де поверхневий інтеграл взятий над замкнутою поверхнею, яка включає область. Зокрема, розглянемо поверхневий інтеграл:

де інтегрування по і-й та j-й внутрішній вільній поверхні, а також по твердій границі SB. Тепер поверхня інтегрування (А20) може бути закрита більшим, вертикальним круглим циліндром Sc, який охоплює всі вільні поверхні та тверді границі і тягнеться від вільної поверхні вниз. Починаючи з y і , y j поведінка подібна убігаючій хвилі на більших відстанях, не дає додаткового внеску в (А20), отримується з інтегралу по Sc. Також, немає внеску від інтегралу по SF або по Sk, k = 1, ..., N, k ¹і, k ¹ j. Отже з (А19) витікає, що:

Снову внесок в (А20) від Su зникає на підставі умови (А3) і таким чином з (А20), (А11): показує що

На цій стадії зручно, слідуючи Ньюману (1976), ввести функцію Коші:

Оскільки y і та exp {- ik (x cosq + y sin q) + kz} - гармонічні функції, які задовольняють (А5), з (А19) витікає, що Hі(q) може бути записане як негативн величина того ж підінтегрального виразу проінтегрованого по Sc. Це дозволяє поведінку y і в далекій області, яка дана в (А15) використати для отримання:

де

.

Якщо, тепер R®¥, з методу стаціонарної фази випливає, що:

таким чином, що функція Коші безпосередньо пов’язана з розсіювальною амплітудою потенціалу y і в далекій області.

Тепер, прямою підстановкою:

з ф0 дано (А16).

Ми можемо замінити ф0 - фd - фs. Але поверхневий інтеграл, який включає фs зникає, якщо, використовуючи (А19), ми заміняємо його негативним поверхневим інтегралом по Sj та Sc, ми знаходимо, що внеску від кожного y і та фs немає, і задовольняє умови (А5) і (А6).

Ми залишились з :

Маючи на увазі (А24), ми бачимо, що об’єм потоку через Sі через плюс дифрагованої області набігаючої хвилі пропорційний поведінці розсіяному потенціалу в далекій області в напрямку, протилежному до такої сукупності набігаючих хвиль, внаслідок однорідного коливального розподілу тиску через Sі. Цей результат відповідає відношенням Хакінда для руху твердих тіл (Ньюман 1976, рівняння (45).

Далі, ми розглядаємо:

де * позначає сполучений комплекс. Оскільки y і , y*j задовольняють (А3) ми маємо:

де використані (А11), (А13), (А22).

Знову: де використані (А15) і (А24).

Отже:

де використано (А25) і зроблена проста заміна змінної інтегрування. Тут

Pw=1/4w-1rg2A2 .

Окрім цих тривимірних результатів також можна отримати важливі двовимірні взаємовідношення для розподілів тиску. Рівняння (А2) - (А14) залишаються тими ж самими, але тепер (А15) потрібно замінити:

де рух відбувається в площині (x, z) . Подібно (А16) стає:

і функція Коші тепер визначена тільки для кутів b рівних 0 чи p. Попередній аргумент рухається маленькими кроками і результати в двовимірній області відповідають (А24), (А25), (А26) є:

Рівняння для Hі (0) в (А32) відповідають набігаючій хвилі gАw-1 exp [- ikx + kz] з x=+¥, з qdі (p) , які відповідають об’єму потоку через Sі .

З (А31) і (А32) випливає, що:

Показує, що цьому у двовимірній області також вимушений потік через Sі за допомогою набігаючої та дифрагованої області пропорційний амплітуді випромінюваного потенціалу в далекій області в напрямку, в якому прибуває набігаюча хвиля. В (А34) qdi - об’єм потоку в одиниці ширини поверхневого тиску. Подальші відношення між властивостями рішення yі задачі потужності випромінювання та фd, рішенням дифракційної задачі в і дво- та тривимірних областях також можна отримати використанням функцій Коші та теореми Гріна. Зокрема, нові відношення, доведені Ньманом (1976), рівняння (48), (49)), переносяться на розподіли тиску без змін. Вони не подані тут, оскільки метод доведенняу ідентичний і вони не є необхідними в існуючому контексті.

З цього випливає, що всі результати, які зв’язують властивості вимушеного руху твердого тіла в даному способі (Ньюман 1976), або ряд незалежно коливающихся твердих тіл (Срокоз 1979), відповідають задачі дифракційного розсіювання області набігаючої хвилі таким тілом або тілами, мають аналогію в поверхневих розподілах тиску. Відповідність буде, якщо тверді тіла прийняті як тонкі горизонтальні пластини, які роблять одиничні вертикальні коливання у вільній поверхні. Хоча вимагається, щоб к дорівнювало нулю в (А11) у цьому випадку, це не торкається результатів, які отримані за допомогою теореми Гріна. Відповідність завершується відзначенням, що вертикальна захоплююча сила на Sі, тільки iwpk-1qdi, тобто пропорційна об’єму потоку через Sі.

Отримані деякі загальні результати для ефективності використання енергії системою однорідних осцилюючих поверхневих розподілів тиску. Результати, основані на класичній лінійній теорії водної хвилі, показують близькі аналогії з теоріями для систем поглинання коливальних твердих тіл, а також запропоновано і доведено безліч нових взаємовідношень для розподілів тиску. Деякі прості приклади, які ілюструють загальні результати даються у порівнянні з відповідними результатами для твердих тіл.

Страницы: 1, 2