Взаимодействие тел и законы Ньютона

Взаимодействие тел

Примеров взаимодействия тела можно привести сколько угодно. Когда вы, находясь в лодке, начнёте за веревку подтягивать другую, то и ваша лодка обязательно продвинется вперед. Действуя на вторую лодку, вы заставляете ее действовать на вашу лодку.

Если вы ударите ногой по футбольному мячу, то немедленно ощутите обратное действие на ногу. При соударении двух бильярдных шаров изменяют свою скорость, т.е. получают ускорение оба шара. Все это проявление общего закона взаимодействия тел.

Действия тел друг на друга носят характер взаимодействия не только при непосредственном контакте тел. Положите, например, на гладкий стол два сильных магнита с разными полюсами навстречу друг другу, и вы тут же обнаружите, что начнут двигаться навстречу друг другу. Земля притягивает Луну (сила всемирного тяготения) и заставляет ее двигаться по криволинейной траектории; в свою очередь Луна также притягивают Землю (тоже сила всемирного тяготения). Хотя, естественно, в системе отсчёта, связанной с Землей, ускорение земли, вызываемое этой силой, нельзя обнаружить непосредственно, оно проявляется в виде приливов.

Выясним с помощью опыта, как связаны между собой силы взаимодействия двух тел. Грубые измерения сил можно произвести на следующих опытах:

1 опыт. Возьмем два динамометра, зацепим друг за друга их крючки, и взявшись за кольца, будем растягивать их, следя за показаниями, обоих динамометров.

Мы увидим, что при любых растяжениях показания обоих динамометров будут одинаковы; значит, сила, с которой первый динамометр действует на второй, равна силе, с которой второй динамометр действует на первый.

2 опыт. Возьмем достаточно сильный магнит и железный брусок, и положим их на катки, чтобы уменьшить трение о стол. К магниту и бруску прикрепим одинаковые мягкие пружины, зацепленными другими концами на столе. Магнит и брусок притянутся друг к другу и растянут пружины.

Опыт показывает, что к моменту прекращения движения пружины оказываются растянутыми одинаково. Это означает, что на оба тела со стороны пружин действуют одинаковые по модулю и противоположные по направлению силы.

Так как магнит покоится, то сила равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой действует на него брусок.

Точно также равны по модулю и противоположны по направлению силы, действующие на брусок со стороны магнита и пружины.

Опыт показывает, силы взаимодействия между двумя телами равны по модулю и противоположны по направлению и в тех случаях, когда тела движутся.

3 опыт. На двух тележках, которые могут катиться по рельсам, стоят два человека А и В. Они держат в руках концы веревки. Легко обнаружить, что независимо от того, кто натягивает веревку, А или В или оба вместе, тележки всегда приходят в движение одновременно и притом в противоположных направлениях. Измеряя ускорения тележек, можно убедиться, что ускорения обратно пропорциональны массам каждой из тележек (вместе с человеком). Отсюда следует, что силы, действующие на тележки, равны по модулю.

Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета

В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный еще Галилеем: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Первый закон Ньютона показывает, что покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое их инертностью.

Соответственно первый закон Ньютона называют законом инерции, а движение тела в отсутствии воздействий со стороны других тел – движением по инерции.

Механическое движение относительно: его характер для одного и того же тела может быть различным в разных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Например, космонавт, находящийся на борту искусственного спутника Земли, неподвижен в системе отсчета, связанной со спутником. В то же время по отношению к Земле он движется вместе со спутником по эллиптической орбите, т.е. не равномерно и не прямолинейно.

Естественно поэтому, что первый закон Ньютона должен выполняться не во всякой системе отсчета. Например, шар, лежащий на гладком полу каюты корабля, который идет прямолинейно и равномерно, может прийти в движение по полу без всякого воздействия на него со стороны каких-либо тел. Для этого достаточно, чтобы скорость корабля начала изменяться.

Система отсчета, по отношению к которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, покоится или движется равномерно и прямолинейно, называется инерциальной системой отсчета. Содержание первого закона ржание первого закона Ньютона сводится по существу к двум утверждениям: во первых, что все тела обладают свойством инертности и, во вторых, что существуют инерциальные системы отсчета.

Любые две инерциальные системы отсчета могут двигаться друг относительно друга только поступательно и притом равномерно и прямолинейно. Экспериментально установлено, что практически инерциальна гелиоцентрическая система отсчета, начало координат которой находится в центре масс Солнечной системы (приближенно – в центре Солнца), а оси проведены в направлении трех удаленных звезд, выбранных, например, так, чтобы оси координат были взаимно перпендикулярны.

Лабораторная система отсчета, оси координат которой жестко связаны с Землей, не инерциальна главным образом из-за суточного вращения Земли. Однако Земля вращается столь медленно, что максимальное нормальное ускорение точек ее поверхности в суточном вращении не превосходит 0,034м/.поэтому в большинстве практических задач лабораторную систему отсчета можно приближенно считать инерциальной.

Инерциальные системы отсчета играют особую роль не только в механике, но также и во всех других разделах физики. Это связано с тем, что, согласно принципу относительности Эйнштейна, математическое выражение любого физического закона должно иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Сила

Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического действие на рассматриваемое тело со стороны других тел. Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при трении, при давлении тел друг на друга), так и между удаленными телами. Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действия одних частиц на другие, называются физическим полем, или просто полем.

Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством создаваемых ими гравитационных и электромагнитных полей (например, притяжении планет к Солнцу, взаимодействие заряженных тел, проводников с током и т.п.). Механическое действие на данное тело со стороны других тел проявляется двояко. Оно способно вызывать, во-первых, изменение состояния механического движения рассматриваемого тела, а во-вторых, - его деформацию. Оба эти проявления действия силы могут служить основой для измерения сил. Например, измерения сил с помощью пружинного динамометра основанного на законе Гука для продольного растяжения. пользуясь понятием силы в механике обычно говорят о движении и деформации тела под действием приложенных к нему сил.

При этом, конечно, каждой силе всегда соответствует некоторое тело, действующее на рассматриваемое с этой силой.

Сила F полностью определена, если заданы ее модуль, направление в пространстве и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Поле, действующее на материальную точку с силой F, называется стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени t, т.е. если в любой точке поля сила F не зависит явно от времени:

Для стационарности поля необходимо, чтобы создающие его тела покоились относительно инерциальной системы отсчета, используемой при рассмотрении поля.

Одновременное действие на материальную точку M нескольких сил  эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей, или результирующей, силой и равной их геометрической сумме.

Она представляет собой замыкающую многоугольника сил

Масса. Импульс

В классической механике массой материальной точки называется положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности этой точки. Под действием силы материальная точка изменяет свою скорость не мгновенно, постепенно, т.е. приобретает конечное по величине ускорение, которое тем меньше, чем больше масса материальной точки. Для сравнения масс  и  двух материальных точек достаточно измерить модули  и  ускорений, приобретаемых этими точками под действием одной и той же силы:

= 

Обычно массу тела находят путем взвешивания на рычажных весах.

В классической механике считается, что:

а) Масса материальной точки не зависит от состояния движения точки, являясь ее неизменной характеристикой.

б) Масса – величина аддитивная, т.е. масса системы (например, тела) равна сумме масс вех материальных точек, входящих в состав этой системы.

в) Масса замкнутой системы остается неизменной при любых процессах, происходящих в этой системе (закон сохранения массы).

Плотностью ρ тела в данной его точке M называется отношение массы dm малого элемента тела, включающего точку M, к величине dV объема этого элемента:

ρ=

Размеры рассматриваемого элемента должны быть столь малы, чтобы изменением плотности в его пределах можно было во много раз больше межмолекулярных расстояний.

Тело называется однородным, если во всех его точках плотность одинакова. Масса однородного тела равна произведению его плотности на объем:

m=ρV

Масса неоднородного тела:

m =dV,

где ρ – функция координат, а интегрирование проводится по всему объему тела. Средней плотностью (ρ) неоднородного тела называется отношение его массы к объему: (ρ)=m/V.

Центром масс системы материальных точек называется точка С, радиус-вектор  которой равен:

где  и  – масса и радиус-вектор i-й материальной точки, n – общее число материальных точек в системе, а m= - масса всей системы.

Скорость центра масс:

Векторная величина , равная произведению массы  материальной точки на ее скорость , называется импульсом, или количеством движения, этой материальной точки. Импульсом системы материальных точек называется вектор p, равный геометрической сумме импульсов всех материальных точек системы:

импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость центра ее масс:

Второй закон Ньютона

Основным законом динамики материальной точки является второй закон Ньютона, который говорит о том, как изменяется механическое движение материальной точки под действием приложенных к ней сил. Второй закон Ньютона гласит: скорость изменения импульса ρ материальной точки равна действующей на нее силе F, т.е.

, или

где m и v – масса и скорость материальной точки.

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то под силой F во втором законе Ньютона нужно понимать геометрическую сумму всех действующих сил – как активных, так и реакций связей, т.е. равнодействующую силу.

Векторная величина F dt называется элементарном импульсом силы F за малое время dt ее действия. Импульс силы F за конечный промежуток времени от  до  равен определенному интегралу:

где F, в общем случае, зависит от времени t.

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на нее силы:

dp = F dt и ,

где  – значение импульса материальной точки в конце () и в начале () рассматриваемого промежутка времени.

Поскольку в ньютоновской механике масса m материальной точки не зависит от состояния движения точки, то

Поэтому математическое выражение второго закона Ньютона можно также представить в форме

где  – ускорение материальной точки, r – ее радиус-вектор. Соответственно формулировка второго закона Ньютона гласит: ускорение материальной точки совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению этой силы к массе материальной точки.

Касательное и нормальное ускорение материальной определяются соответствующими составляющими силы F

,

где  – модуль вектора скорости материальной точки, а R – радиус кривизны ее траектории. Сила , сообщающая материальной точке нормальное ускорение, направлена к центру кривизны траектории точки и потому называется центростремительной силой.

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил , то ее ускорение

где . Следовательно, каждая из сил, одновременно действующих на материальную точку, сообщает ей такое же ускорение, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил).

Дифференциальным уравнением движения материальной точки называется уравнение

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат это уравнение имеет вид

, ,

где x, y и z – координаты движущейся точки.

Третий закон Ньютона. Движение центра масс

Механическое действие тел друг на друга проявляется в виде их взаимодействия. Об этом говорит третий закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами, которые численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Если  – сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й, а  – сила действующая на k-ю материальную точку со стороны i-й, то, согласно третьему закону Ньютона,

Сила  приложены к разным материальным точкам и могут и взаимно уравновешиваться только в тех случаях, когда эти точки принадлежат одному и тому же абсолютно твердому телу.

Третий закон Ньютона является существенным дополнением к первому и второму законам. Он позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной механической системы (системы материальных точек). Из третьего закона Ньютона следует, что в любой механической системе геометрическая сумма всех внутренних сил равна нулю:

где n – число материальных точек, входящих в состав системы, а .

Вектор , равный геометрической сумме все внешних сил, действующих на систему, называется главным вектором внешних сил:

где  – результирующая внешних сил, приложенных к i-й материальной точке.

Из второго и третьего законов Ньютона следует, что первая производная по времени t от импульса p механической системы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе,

.

Это уравнение выражает закон изменения импульса системы.

Так как , где m – масса системы, а  – скорость ее центра масс, то закон движения центра масс механической системы имеет вид

, или ,

где  – ускорение центра масс. Таким образом, центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

Если рассматриваемая система – твердое тело, которое движется поступательно, то скорости  всех точек тела и его центра масс  одинаковы и равны скорости v тела. Соответственно ускорение тела , и основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела имеет вид