Физические основы специальной теории относительности

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Г. Г. Дмитренко

dmitrenko@front.ru

Рассмотрены исходные мотивы и физический смысл преобразований Лоренца. Показано, что эти преобразования происходят из уравнений распространения света в направлении движения источника излучения, выражают соотношения виртуальных пространственных интервалов – пакетов световых волн и соответствующих им временных и частотных параметров, и не имеют никакого отношения к пространственно-временным координатам каких-либо систем отсчета.

Введение

Вопрос о том, каким образом специальная теория относительности (СТО) оказалась в анналах истории мировой науки, остается открытым на протяжении уже нескольких десятилетий. Этот вопрос возникает у каждого здравомыслящего человека, когда он обращается к вытекающим из этой теории следствиям – весьма необычным и парадоксальным, с позиции нашего повседневного опыта, с точки зрения здравого смысла и объективных законов природы. И каждый раз он волей-неволей обращается к преобразованиям Лоренца, которые, при внимательном рассмотрении, оказываются некорректно преобразованными уравнениями Допплера и не имеют никакого отношения к пространственно-временным координатам тех систем отсчета, относительно которых рассматривается процесс распространения света в пространстве. И каждый раз, когда какой-нибудь «специалист» в области СТО начинает логически последовательно, как ему кажется, излагать физический смысл конкретных формул, которыми руководствуется эта самая СТО, то это уже начинает раздражать. Становится как-то неловко от понимания того, что вас начинают водить за нос. Появляется какое-то смешанное ощущение: толи вы оказались в палате вполне определенного учреждения, толи – в ситуации первоапрельского розыгрыша, когда серьезные люди с серьезной миной на лице излагают вам заведомо неверную информацию и при этом многозначительно переглядываются между собой.

Прежде чем говорить об основах СТО, следует заметить, что в арсенале СТО имеется, как будет показано ниже, два комплекта преобразований. Один из них, известный как «преобразования Лоренца», соответствует ситуации распространения света в направлении движения источника излучения, а другой – ситуации распространения света в противоположном направлении. Для удобства обращения, мы обозначили эти комплекты преобразований № 1 и № 2, соответственно. Официальная версия СТО построена в основном на первом комплекте преобразований, поскольку соответствующие ему уравнения распространения света, написанные в терминах пространственных интервалов, пакетов световых волн, напоминают уравнения Галилея. Второй комплект преобразований официальной наукой вообще не рассматривается, его как бы нет в природе. Я подозреваю, что даже не все приверженцы СТО догадываются о существовании второго, неофициального, комплекта преобразований. В этот «большой секрет для маленькой компании» посвящены, по-видимому, только «действительные члены» релятивистского сообщества.

На мой взгляд, «преобразования Лоренца» правильнее называть преобразованиями СТО или преобразованиями Эйнштейна. Сам Лоренц никогда не предпринимал попыток насильственной коррекции уравнений Допплера, не рассматривал процесс распространения света в контексте принципа относительности и принципа постоянства скорости света относительно движущегося источника света, и не говорил о замедленном течении времени в движущейся системе координат. Он всего лишь высказал предположение о возможном сокращении линейных размеров тел в направлении их движения в связи с отрицательными, как считают некоторые исследователи, результатами опыта Майкельсона-Морли. В соответствии с этим предположением среднее время прохождения светом пространственного интервала l, ориентированного параллельно вектору движения, в оба конца, становится равным времени течения этого процесса в направлении, перпендикулярном вектору движения: , где .

Насильственная коррекция уравнений Допплера, под предлогом приведения их в соответствие с принципом относительности и принципом постоянства скорости света, и введение в физику положения о замедленном течении времени в движущейся системе координат – это проделки Эйнштейна, который на всякий случай предложил назвать придуманные им формулы «преобразованиями Лоренца», возложив тем самым всю ответственность за свои неуклюжие математические манипуляции на плечи Лоренца. Он так и пишет: «В дальнейшем мы будем их называть преобразованием Лоренца» [1, стр. 154]. Мы же в дальнейшем будем их называть преобразованиями СТО.

Замысел преобразований СТО

Как известно, процесс распространения света в пространстве описывается уравнениями Допплера, а преобразования Галилея описывают процесс перемещения в пространстве двух систем отсчета, пространственно-временные координаты которых никаким боком не связаны с уравнениями распространения света относительно этих систем. Оба процесса самодостаточны и не нуждаются во взаимном согласовании. Однако находится человек, который выдвигает тезис о том, что эти процессы – суть некого единого явления природы, для описания которого требуется особая система взглядов и свой математический аппарат. Этим человеком является Эйнштейн, а особой системой взглядов – СТО.

В основе СТО лежит, с одной стороны, предположение о том, что если все физические процессы протекают в покоящейся и движущейся системах координат одинаковым образом, в чем, собственно, и заключается смысл так называемого принципа относительности, то и процесс распространения света должен подчиняться этому принципу, а с другой стороны, – тезис о том, что «скорость распространения света в пустоте относительно обеих систем координат равна с» [2, стр. 71]. Это, если можно так выразиться, суть официально принятого толкования исходных позиций СТО, на основе которых были якобы выведены соответствующие преобразования пространственно-временных координат. При этом мотивы совмещения принципа относительности с принципом постоянства скорости света никак не оговорены.

В действительности же оба заявленных Эйнштейном принципа в СТО не работают. Фактически Эйнштейн попытался волевым путем привести уравнения распространения света в движущейся системе координат к такому виду, когда среднее время прохождения светом некоторого пространственного интервала l в направлении его движения в оба конца становится равным времени течения этого процесса по нормали к вектору движения . Соответственно, и средняя величина оптической длины света вдоль оси  становится равной оптической длине света вдоль осей : . В итоге, как казалось Эйнштейну, выдвинутое Лоренцем и Фитцджеральдом предположение о возможном сокращении линейных размеров движущихся тел в направлении их движения в пропорции  оказывается, как бы, закономерным следствием СТО. А чтобы вовсе спутать карты, Эйнштейн решил выдать преобразованные уравнения Допплера за уравнения пространственно-временных координат, по отношению к которым преобразования Галилея оказываются всего лишь предельным случаем малых скоростей.

Однако надежды автора СТО на возможность теоретического обоснования предположения Лоренца и Фитцджеральда оказались, как будет показано ниже, тщетными, а положение СТО о сокращении линейных размеров движущихся тел – следствием примитивной по содержанию и лукавой по исполнению, интерпретацией соответствующих уравнений.

Техника преобразований уравнений Допплера

Как известно, скорость распространения света в движущейся системе координат различна в трех направлениях – в направлении движения системы, в направлении, противоположном направлению ее движения, и в направлении, перпендикулярном вектору движения. Соответственно, и время прохождения светом одного и того же пространственного интервала l в этих направлениях различно:

– в направлении движения ,

– в противоположном направлении ,

– в направлении, перпендикулярном вектору движения, .

Понятно, что для воплощения в жизнь идеи Эйнштейна необходимо ввести в уравнения Допплера некий коэффициент пропорциональности , который удовлетворял бы требованиям:

где t – время прохождения светом покоящегося стержня l,  – время прохождения светом движущегося стержня l по нормали к вектору движения,  – средняя величина между временем прохождения светом движущегося стержня l в направлении его движения и временем прохождения светом того же стержня в направлении, противоположном направлению движения,  – относительная скорость света по нормали к вектору движения,  – средняя относительная скорость света, соответствующая времени .

Приведение уравнений распространения света в соответствие с требованием (1) можно выполнить, в принципе, тремя способами: в терминах оптической длины света, в терминах обычных параметров света и в терминах пакета световых волн. Первоначально Эйнштейн в своей первой основной статье по СТО [3] попробовал выполнить эту операцию путем рассмотрения процесса распространения света в терминах оптической длины света. Спустя несколько лет он вновь возвращается к этому вопросу и решает задачу уже в терминах пакета световых волн [4]. По-видимому, ему кто-то намекнул на то, что его первый опыт далек от совершенства, содержит элементы вольного обращения с некоторыми понятиями и противоречив по исполнению.

Первая попытка Эйнштейна преобразовать уравнения Допплера

Наверное, каждый, кто читал статью [3], испытал неприятное чувство неудовлетворенности от прочитанного вследствие запутанного стиля изложения материала и отсутствия четко сформулированной задачи. Это ощущение усиливается постоянными ссылками втора на принцип относительности и принцип постоянства скорости света, которые остаются только на уровне деклараций, поскольку полученные им формулы находятся в явном противоречии с этими принципами. Вот небольшой фрагмент из этой статьи:

«Пусть из начала координат (движущейся) системы k в момент времени  посылается луч света вдоль оси X в точку х' и отражается оттуда в момент времени  назад, в начало координат, куда он приходит в момент времени ; тогда должно существовать соотношение

,

или, выписывая аргументы функции  и применяя принцип постоянства скорости света в покоящейся системе, имеем

.

Если х' взять бесконечно малым, то отсюда следует:

Необходимо заметить, что мы могли бы вместо начала координат выбрать всякую другую точку в качестве отправной точки луча света, и поэтому только что полученное уравнение справедливо для всех значений х', у, z.

Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z при наблюдении из покоящейся системы всегда распространяется со скоростью , то аналогичное рассуждение, примененное к этим осям, дает .

Так как  – линейная функция, то из этих уравнений следует , где а – неизвестная пока функция ?(?) (далее эта функция опускается ввиду того, что она равна единице) и ради краткости принято, что в начале координат системы k при  также и .

Пользуясь этим результатом, легко найти величины . С этой целью (как этого требует принцип постоянства скорости света в сочетании с принципом относительности) нужно с помощью уравнений выразить то обстоятельство, что свет при измерении в движущейся системе также распространяется со скоростью c. Для луча света, вышедшего в момент времени  в направлении возрастающих , имеем

Но относительно начала координат системы k луч света при измерении, произведенном в покоящейся системе, движется со скоростью , вследствие чего . Подставив это значение t в уравнение для , получим

.

Рассматривая лучи, движущиеся вдоль двух других осей, находим , причем ; следовательно,  и . Подставляя вместо  его значение (имеется в виду , получаем:

Мы не станем обсуждать вопрос о том, следует ли выражение  из приведенных выше уравнений, а раскроем его физический смысл, приняв во внимание, что :

.

По-моему, это есть не что иное, как средняя величина между временем прохождения светом пространственного интервала  в направлении его движения и временем прохождения светом того же интервала в противоположном направлении:

.

Величина  – это половинка разницы между временем прохождения светом пространственного интервала  в направлении его движения и временем прохождения светом того же интервала в противоположном направлении:

.

Очевидно, что время  может быть найдено и путем сложения данной половинки с временем прохождения светом пространственного интервала  в направлении, противоположном направлению движения:

.

Теперь становится понятно, что в данной работе процесс распространения света рассматривается в терминах оптической длины света, поскольку равенство  выражает оптическую длину света – некий виртуальный пространственный интервал, который проходит свет за время . А время , как мы только что выяснили, – это средняя величина между временем распространения света в направлении движения какого-нибудь пространственного интервала l и временем течения этого процесса в обратном направлении, т.е. некая абстрактная величина, не имеющая конкретного физического содержания в движущейся системе координат.

Наличие в приведенных выше уравнениях параметра  говорит о том, что Эйнштейн де-факто заменил понятие пространственного интервала понятием пространственной координаты. Далее он совершает недопустимый, с физической точки зрения, шаг – заменяет пространственный интервал  выражением , которое не имеет никакого отношения к процессу распространения света.

В результате этого маневра и с учетом того, что  и , это выражение преобразовано по странной схеме: пространственная координата х заменена произведением , а время  t – отношением :

Даже если закрыть глаза на неправомерность вставки , то математически строгое преобразование (что называется, по полной программе) приводит к совсем другому результату, а именно – к времени прохождения светом пространственного интервала в направлении, противоположном направлению его движения:

.

Данное противоречие обусловлено заведомо (умышлено) неправильно составленными выражениями  и . Здесь вместо пространственного интервала  должен находиться пространственный интервал :

поскольку время  следует рассчитывать относительно покоящейся системы координат. Следовательно, нет никакой необходимости придумывать новые обозначения  для , соответственно. Математически грамотное выражение для среднего значения между временем прохождения светом пространственного интервала l в направлении его движения и временем течения этого процесса в обратном направлении имеет вид:

,

где  – время прохождения светом пространственного интервала l в направлении движения,  – половинка разницы между  и временем прохождения светом того же интервала в противоположном направлении :

,

а  – средняя величина между временем прохождения светом пространственного интервала l в направлении движения и временем прохождения светом того же интервала в обратном направлении: .

Причина замены пространственного интервала  пространственной координатой , а последней – выражением , с одной стороны, и некорректного преобразования выражения , с другой, очевидна: Эйнштейну необходимо было зачем-то привязать уравнения распространения света к пространственным координатам, что само по себе абсурдно, а затем уже заняться преобразованием этих уравнений сообразно поставленной задаче. Эти преобразования сводятся к делению величины  на коэффициент  без каких-либо пояснений. Создается впечатление, что данное действие выполнено из личных побуждений автора – просто ему так захотелось. Скрытая же причина этого действия содержится в требовании (1), которое никак не оговорено в данной работе. Так появляются известные преобразования СТО:

Теперь посмотрим на уравнения, которые следуют из математически корректных преобразований. Как было показано выше, выражение  следует заменить выражением . В релятивистской редакции оно принимает вид , т.е. , что и отражает замысел преобразований СТО в виде негласно сформулированного требования (1). Заметим, что время  – это не собственное время движущейся системы координат, а средняя величина от времени прохождения светом пространственного интервала l в оба конца. В самом деле, если это выражение развернуть в обратном порядке, то получим половинку от суммы двух временных интервалов:

.

Здесь, в скобках, как будет показано ниже, первое слагаемое  – это время прохождения светом движущегося стержня l  в направлении его движения, а второе слагаемое – время прохождения светом того же стержня в обратном направлении. Величины этих параметров не противоречат элементарной логике: время распространения света вдоль некоторого пространственного интервала в направлении его движения, как и в рамках классической механики, должно быть больше такового в противоположном направлении. При желании эти параметры можно, вслед за Эйнштейном, привязать к пространственным координатам и получить лишенные физического смысла выражения:

Далее, если положить , что в СТО означает соблюдение принципа постоянства скорости света, то выражения (3) могут быть преобразованы в нечто похожее на соотношения пространственных координат:

Из этих уравнений только (3-2) и (4-2) могут претендовать на преобразования СТО. Но эти уравнения отвечает ситуации распространения света в направлении, противоположном направлению движения штрихованной системы координат, что не согласуется с исходными намерениями Эйнштейна рассматривать процесс распространения света «в направлении возрастающих », т.е. в направлении движения источника излучения.

Физический смысл преобразований Эйнштейна

Действительный физический смысл выражений (4) состоит в том, что в свернутом виде они определяют соотношения виртуальных пространственных интервалов – оптических длин света  в соответствующих направлениях движущейся системы координат. При распространении света в направлении движения источника излучения оптическая длина света увеличивается в пропорции , а в обратном направлении – уменьшается в пропорции . Средняя величина для этих параметров составляет . Иными словами, присущая процессу распространения света асимметрия, относительно движущегося источника излучения, сохраняется и в рамках релятивистской механики, что находится в явном противоречии с декларируемыми в СТО принципом относительности и принципом постоянства скорости света.

Теперь обратимся к авторскому пониманию выражения (4-2). Вот что пишет Эйнштейн: «Рассмотрим твердый шар радиуса R, находящийся в покое относительно движущейся системы k, причем центр шара совпадает с началом координат системы k. Уравнение поверхности этого шара, движущегося относительно системы  со скоростью V, имеет вид

Уравнение этой поверхности, выраженное через x, y, z, в момент времени t = 0 будет . Следовательно, твердое тело, которое в покоящемся состоянии имеет форму шара, в движущемся состоянии – при наблюдении из покоящейся системы – принимает форму эллипсоида вращения с полуосями

В то время как размеры шара (а следовательно, и всякого другого твердого тела любой формы) по осям Y и Z от движения не изменяются, размеры по оси X сокращаются в отношении , и тем сильнее, чем больше V » [3, стр. 18].

Приведенный отрывок, на мой взгляд, – образец математического невежества. В нем присутствуют, как минимум, три ошибки (я бы сказал заведомо ложные положения):

1. Поскольку процедура преобразования касается процесса распространения света, причем в терминах оптической длины света, то твердое тело радиусом R не имеет никакого отношения ни к этому процессу, ни к процедуре его коррекции. В данном случае речь идет о той виртуальной поверхности радиусом , которая образуется светом за время прохождения им определенного пространственного интервала R.

2. В момент времени t = 0, когда V = 0, никакой сферической поверхности света еще не существует, ни в покоящейся, ни в движущейся системах координат: . Следовательно, выражение , которое, по мнению Эйнштейна, обозначает размер полуоси эллипсоида твердого шара, а на деле – эллипсоида света в направлении движения источника излучения, в принципе некорректно: подстановку V = 0 следует делать не только в числителе выражения , но и в знаменателе. Тогда .

3. К моменту времени  в покоящейся системе координат образуется сферическая волна света радиусом . К этому времени, в движущейся системе координат образуется асимметричный эллипсоид вращения с полуосями в виде оптических длин света, рассчитанных относительно некоторого реального пространственного интервала R. Оптическая длина света в направлении движения составляет величину , в противоположном направлении – величину , а в направлении, перпендикулярном вектору движения, – величину .

Таким образом, в движущейся системе координат мы имеем дело не с твердым шаром, а с виртуальным асимметричным эллипсоидом вращения с оговоренными выше полуосями. При этом в направлении движения системы, размеры эллипсоида по оси Х увеличиваются, а не уменьшаются, и не в пропорции , а в пропорции , и тем сильнее, чем больше V. Кстати, эта форма эллипсоида справедлива как при наблюдении из покоящейся системы координат, так и при наблюдении из движущейся системы координат.

Совершенно очевидно, что «оптическая длина света L», «длина физического тела l» и «пространственная координата x» – это совершенно разные понятия и ставить между ними знак равенства недопустимо по определению и некрасиво с точки зрения научной этики. Поэтому приведенные выше уравнения не имеют никакого отношения ни к пространственным координатам, ни к длинам физических тел – речь идет об оптической длине света.

Отдельно следует остановиться на происхождении и принятой в СТО интерпретации выражения . Как только что мы видели, оно было получено путем некорректного, частичного, преобразования выражения  на момент времени t = 0, когда V = 0. В других работах Эйнштейна, например в [1, стр. 155; 2, стр. 73], оно выводится из уравнения (4-2) по схеме расчета пространственного интервала:

.

Совершенно очевидно, что этот прием, т.е. по развернутому варианту выражения (4-2), недопустим – он исключает из рассмотрения параметр Vt. Математически грамотный расчет следует осуществлять по схеме

.

В действительности же выражение  является производным от среднего времени , которое было заложено в исходное требование (1), если закрыть глаза на допущенное Эйнштейном отождествление понятий «оптической длины света» и «длины физического тела». По существу, оно выражает абстрактный пространственный интервал, который существует на оси  только применительно к среднему времени . В то же время – это реальная оптическая длина света относительно стержня l, ориентированного перпендикулярно вектору его движения. Поэтому формально выражение  обозначает то обстоятельство, что оптическая длина света вдоль движущегося стержня больше таковой у покоящегося стержня в указанной пропорции. У Эйнштейна же понятие оптической длины света отождествляется (толи по глупости, толи намеренно) с понятием длины физического тела. В контексте этого недоразумения выражение , как и полуось  в приведенном выше отрывке статьи [3], должно, казалось бы, обозначать то обстоятельство, что длина движущегося стержня больше длины покоящегося стержня. Но, вопреки здравому смыслу, в СТО это выражение интерпретируется совсем наоборот. Сам автор СТО, обращаясь к выражению , пишет: «Это означает следующее. Если стержень в покое обладает длиной , то при движении со скоростью V вдоль своей оси он будет обладать с точки зрения несопутствующего наблюдателя меньшей длиной , тогда как для сопутствующего наблюдателя длина стержня, как и прежде, равна » [5, стр. 420]. Примерно в таком же ключе это выражение интерпретируется всеми сторонниками СТО, в частности А. Н. Матвеевым [6, стр. 111], М. Борном [7, стр. 241-242], У. И. Франкфуртом [8, стр. 75], М.-А. Тоннела [9, стр. 132] и другими. Такая вот странная логика у релятивистов.

Мне представляется, что придуманное Эйнштейном нелепое, к тому же поставленное с ног на голову, объяснение физического смысла простого соотношения оптических длин света в искусственно созданной, виртуальной системе координат – это плод его неудержимого стремления найти «научное» подтверждение такому же нелепому предположению Лоренца о сокращении линейных размеров физических тел в направлении их движения. Эйнштейн так и пишет: «Легко видеть, что гипотеза Г.А.Лоренца и Фитцджеральда, выдвинутая для объяснения опыта Майкельсона, получается как следствие теории относительности» [5, стр. 420].

На самом деле, «следствием теории относительности» является увеличение длины движущегося стержня, если исходить из выражения . Но самое интересное заключается в том, что предположение Лоренца о сокращении линейных размеров движущихся тел в направлении их движения не противоречит тому обстоятельству, что оптическая длина света, рассчитанная по среднему времени прохождения светом «обрезанного» стержня (туда и обратно)

всё равно больше, чем в покоящейся системе координат в пропорции (по Эйнштейну это длина покоящегося стержня, который находится в штрихованной системе координат). Просто в классической механике, без операции обрезания, эта длина еще больше и составляет , что в  раз превышает величину . При этом никому в голову не приходит мысль о том, что выражение  можно рассматривать как аналог длины движущегося стержня.

Таким образом, избранный Эйнштейном в работе [3] способ вывода преобразований пространственно-временных координат основан на волевом решении – приравнять среднюю относительную скорость распространения света и оптическую длину света в движущейся системе координат вдоль оси  к соответствующим величинам в направлении, перпендикулярном вектору движения. Что касается отождествления Эйнштейном понятий «оптической длины света» и «длины физических тел», то это уже выходит за рамки адекватного восприятия им окружающей действительности.

Вторая попытка Эйнштейна преобразовать уравнения Допплера

Спустя 12 лет Эйнштейн наконец-таки обратил внимание на ошибочность вывода преобразований СТО с позиции оптической длины света и написал приложение к статье [4], в котором вывод преобразований построен уже на пакетах световых волн. Но и в этой работе не обошлось без противоречий и волевых приемов. Вот небольшой фрагмент из данной работы.

«Световой сигнал, распространяющийся в положительном направлении оси Х, движется в соответствии с уравнением , или  (1). Так как этот же световой сигнал распространяется и относительно (движущейся системы координат) с той же скоростью с, то его движение относительно  будет описываться уравнением  (2). Пространственно-временные точки (события), удовлетворяющие уравнению (1), должны удовлетворять также уравнению (2). Это, очевидно, будет иметь место в том случае, если вообще выполняется соотношение  (3), где  – некоторая постоянная. В самом деле, согласно соотношению (3), обращение в нуль выражения  означает обращение в нуль и .

Совершенно аналогичное рассуждение, примененное к световым лучам, распространяющимся в отрицательном направлении оси Х, приводит к условию  (4). Складывая и вычитая соотношения (3) и (4) и при этом вводя для удобства вместо постоянных  и , новые постоянные , , получаем

Наша задача была бы решена, если бы были известны постоянные а и b; последние определяются из следующих соображений. Для начала координат системы  все время , следовательно, согласно первому уравнению (5), имеем . Обозначая через V скорость, с которой начало координат системы  движется относительно , находим  (6).

Далее, из принципа относительности ясно, что с точки зрения системы  длина некоторого единичного масштаба, покоящегося относительно , должна быть точно такой же, как и длина такого же масштаба, покоящегося относительно , с точки зрения . Чтобы знать, как ведут себя точки оси , с точки зрения системы , нам надо лишь сделать «моментальный снимок» системы  из системы ; это значит, что вместо t (время системы ) мы должны подставить некоторое определенное значение его, например, . Тогда из первого уравнения (5) получим . Следовательно, две точки оси , расстояние между которыми при измерении в системе  равно 1 ( ), на нашей моментальной фотографии находятся на расстоянии  (7). Но если моментальный снимок делается из системы  ( ), то, исключая t из уравнений (5) при помощи равенства (6), получаем

Отсюда заключаем, что две точки на оси , находящиеся на расстоянии, равном единице (относительно ), на нашей моментальной фотографии разделены расстоянием

Так как, согласно сказанному выше, обе моментальные фотографии должны быть идентичны, то  в соотношении (7) должно быть равно  в соотношении (7а), так что получаем

Равенства (6) и (7б) определяют постоянные а и b. Подставляя выражения для а и b в уравнения (5), получаем первое и четвертое уравнения, приведенные в § 11:

 (9) и

Итак, мы получили преобразование Лоренца для событий на оси . Оно удовлетворяет условию » [4, стр. 588-590].

Некорректность построений заключается в том, что в момент времени , когда , имеет место равенство . Поэтому определение  и  возможно лишь в области , где , так как при распространении света «в положительном направлении оси Х» , а «в отрицательном направлении оси Х»  (см. табл. 1). Следовательно, приравнивание выражений (7) и (7а) – это математически запрещенный прием для процесса распространения света в области . Отсюда налицо очевидное противоречие между выражениями , (8) и (9):

по выражению : , откуда ,

по выражению (8): , откуда ,

а по выражению (9): , откуда .

В свою очередь, исходное требование  , в котором волевым решением принято  и , дает , откуда . Таким образом, мы видим, что и вторая попытка Эйнштейна совместить принцип относительности с принципом постоянства скорости света оказалась сплошным недоразумением.

Преобразование уравнений Допплера по методу А. Н. Матвеева и М. Борна

Более изящный, как может показаться, вывод преобразований СТО приведен в учебнике А. Н. Матвеева [6]. На первый взгляд, эта процедура не вызывает сомнений и создается впечатление, что речь идет действительно о каких-то преобразованиях пространственно-временных координат двух систем отсчета, одна из которых считается условно покоящейся, а другая – движущейся, либо в сторону возрастающих значений х, либо в противоположную сторону.

Однако при внимательном рассмотрении этого вопроса обнаруживается, во-первых, что эти манипуляции не связаны с пространственными координатами, а во-вторых, что эти манипуляции являются, мягко говоря, математически некорректными. Дабы не отправлять читателя к первоисточнику, приведем небольшую выдержку из этого учебника, в которой заключен основной смысл исходных позиций релятивистской механики.

«Пусть в момент времени, когда начала координат совпадают, и когда часы, находящиеся в началах координат, показывают время , из них испускается световой сигнал. Распространение света в штрихованной и нештрихованной системах координат описывается равенствами: , в которых учтено, что в обеих системах скорость света имеет одно и то же значение с» [6, стр. 104]. Далее эти равенства подставляются в уравнения Галилея, а последние приводятся в соответствие с принципом относительности.

Подвох состоит в том, что равенства  математически некорректны: здесь  – это пространственные координаты покоящейся и движущейся систем отсчета, а  – это величины, имеющие двойственный физический смысл. С одной стороны, как мы только что видели у Эйнштейна [3], под этими величинами понимается оптическая длина света, и вовлечение их в этом качестве в процедуру преобразований приводит к противоречивому результату. С другой стороны, их можно рассматривать как виртуальные пространственные интервалы, которые определяют протяженность пакета световых волн в соответствующих обстановках.

Так, длину пакета световых волн в покоящейся системе координат можно выразить в виде , где  – длина волны,  – период излучения,  – собственная частота излучения источника света, n – любое целое число. В движущейся системе координат этот же пакет равен  в направлении движения источника света и  в направлении, противоположном направлению движения источника света. Поэтому равенства , как уравнения распространения света, являются математическим абсурдом, а как требование постоянства скорости света – откровенным лукавством.

Действительным уравнением распространения света в покоящейся системе координат является выражение , которое для пакета световых волн можно записать в виде . Распространение света в движущейся системе координат описывается, как известно, тремя уравнениями:

- в направлении движения источника света – уравнением ,

- в противоположном направлении – уравнением ,

- в направлении, перпендикулярном вектору движения, – уравнением .

Для пакета световых волн интересующее нас уравнение  следует записать в виде , принимая во внимание, что  и .

Предпринятая Матвеевым и Борном подстановка равенств  в уравнение Галилея  дает выражение , которое, как мы только что видели, является производным от уравнения распространения света в направлении движения источника излучения , и означает то обстоятельство, что процесс распространения света в процедуре вывода преобразований СТО рассматривается в терминах пространственных интервалов пакетов световых волн, а не в терминах оптической длины света, как в работе [3].

Другое фигурирующее в преобразованиях [6] выражение  является производным от уравнения распространения света в ситуации приближения приёмника к неподвижному источнику излучения  или . В самом деле, последнее уравнение можно записать также в виде , что идентично . Тогда для пакета волн последнее выражение принимает вид . Совершенно очевидно, что выражение  нельзя отождествлять с уравнением Галилея , потому что параметр  в уравнении распространения света – это регистрируемый приёмником пакет периодов излучения, который в уравнении Галилея отсутствует за ненадобностью.

 Принципиальное отличие уравнений  и  от уравнений Галилея заключается в том, что, во-первых, первые относятся к процессу распространения света и не содержат в себе пространственных координат, а вторые – к механическому процессу перемещения одной системы отсчета относительно другой. Во-вторых, фигурирующие в них значки «штрих» имеют разный смысл. В преобразованиях Галилея значок «штрих» над символом х означает принадлежность данной координаты к движущейся системе отсчета, причем масштаб параметров х и  в обеих системах одинаков. В уравнениях Допплера этим значком отмечаются величины тех или иных параметров с точки зрения приёмника света, т.е. измеренные им величины, а сам приёмник может находиться как в состоянии покоя, так и в состоянии движения.

В частности, уравнение  выражает то обстоятельство, что, с точки зрения покоящегося наблюдателя (приёмника), который, кстати сказать, расположен далеко от начала координат, в области бесконечно больших величин х, пространственный интервал пакета световых волн, образующихся движущимся (к приёмнику) источником излучения, меньше такого же пакета волн, генерируемых покоящимся источником излучения в указанной пропорции, поскольку в направлении движения источника света частота на приёмнике увеличивается в пропорции , а длины волн уменьшаются в пропорции .

Уравнение , записанное в виде , выражает то обстоятельство, что, с точки зрения движущегося наблюдателя, регистрируемый им пространственный интервал пакета световых волн меньше такового в ситуации, когда приёмник неподвижен, поскольку при движении приёмника к покоящемуся источнику света уменьшение длины пакета световых волн происходит за счет сокращения периода одной волны в пропорции .

А вот Эйнштейн вывернул бы наизнанку смысл этих выражений и дал бы примерно следующее пояснение к выражению : если пространственный интервал в покое обладает длиной , то при движении со скоростью V он будет обладать с точки зрения несопутствующего наблюдателя большей длиной , тогда как для сопутствующего наблюдателя длина интервала, как и прежде, равна . Нелепость подобного толкования, как и приведенного выше изречения Эйнштейна в отношении длины движущегося «стержня», очевидна и не нуждается в комментариях.

Первый комплект преобразований СТО

Итак, исходными уравнениями для вывода преобразований СТО в [6] были выбраны два уравнения: уравнение распространения света в направлении движения источника излучения , т.е. при движении его к неподвижному наблюдателю, и уравнение распространения света в ситуации приближения приёмника к неподвижному источнику света .

Заметим, что эта пара уравнений как-то не вяжется с кинематикой уравнений Галилея, которые описывают процесс удаления одной системы координат от другой.

Выпишем эти уравнения в двух вариантах: в параметрах процесса распространения света, принимая во внимание, что , и в пространственных интервалах пакетов световых волн, как это сделано в [6]:

и

Далее, вслед за А. Н. Матвеевым, вводим коэффициент пропорциональности  в правые части уравнений для приведения их якобы в соответствие с принципом относительности, поскольку входящие в эти уравнения величины ,  в варианте (5), и ,  в варианте (6) асимметричны. Затем путем умножения левых и правых частей этих уравнений друг на друга находим искомый коэффициент:

откуда ;

откуда .

Казалось бы, процедура согласования исходных уравнений с принципом относительности не вызывает сомнений. Однако при внимательном рассмотрении первого варианта уравнений обнаруживается, что параметр  в уравнении (5-1) не равен параметру  в уравнении (5-2). Следовательно, процедура сокращения параметров  в уравнении (7) некорректна. Аналогичное несоответствие обнаруживается и во втором варианте уравнений. Здесь величина  в уравнении (6-1) не равна величине  в уравнении (6-2). Следовательно, и в этом случае процедура сокращения параметров  в уравнении (8) некорректна.

Физический смысл рассматриваемого приёма согласования уравнений имеет, как и в работе [3], силовой подтекст. Только в данном случае речь идет не об оптической длине света, а о частотах и периодах излучения. Иными словами, для уравнений (5) требуется подобрать такой коэффициент пропорциональности, при котором соблюдалось бы равенство :

,

откуда . Тогда частота излучения на приёмнике становится одинаковой как в ситуации приближения источника света к неподвижному приёмнику:

,

так и в ситуации приближения приёмника к неподвижному источнику света:

.

Точно так же и для уравнений (6) требуется соблюдение равенства пакетов периодов :

,

откуда . Тогда пакет периодов излучения на приёмнике становится одинаковым как в ситуации приближения источника света к неподвижному приёмнику:

,

так и в ситуации приближения приёмника к неподвижному источнику света:

,

что находится в полном согласии с требованием .

Примерно в том же ключе уравнения (6) «приводятся» в соответствие с принципом относительности и Максом Борном [7, стр. 232], с той лишь разницей, что его коэффициент  вводится в левые части уравнений и , а требование (1) принимает вид

Суть от этого не меняется: расчет коэффициентов пропорциональности путем перемножения оговоренных выше уравнений друг на друга математически некорректен, а сами уравнения не нуждаются в этих коэффициентах. Иными словами, уравнения распространения света не могут быть согласованы с принципом относительности, что и следовало ожидать, поскольку сам факт существования в природе эффекта Допплера априори исключает процесс распространения света из списка других процессов, которые протекают одинаковым образом, как в условиях покоящейся системы координат, так и в условиях движущейся системы координат. И не понимать этого могут только очень «зашторенные» люди.

На этом можно было бы закончить анализ преобразований СТО и отправить эти преобразования в корзину, поскольку сама идея согласования уравнений Допплера с принципом относительности нереализуема априори, а процедура вывода преобразований СТО математически некорректна. Но мы сделаем вид, что процедура согласования уравнений выполнена математически грамотно, и продолжим погружение в математические манипуляции СТО с целью установления действительного физического смысла конкретных формул, помня при этом о том, что эти формулы вообще не имеют право на существование.

Из уравнения (5-1), с учетом коэффициента , находим соотношение между собственной частотой источника излучения и частотой на приёмнике:

что в терминах периодов волн означает

Принимая во внимание, что  и , выражения (9) и (10) могут быть преобразованы в соотношения длин волн:

Далее, если учесть, что для пакета световых волн справедливы соотношения

и что в СТО «узаконены» равенства , мы можем формально переписать уравнения (10) и (11) в виде:

и

помня о том, что в данном случае речь идет не о пространственных координатах, а о пространственных интервалах пакетов световых волн и соответствующих им пакетах периодов излучения. И наконец, еще раз принимая во внимание равенства , уравнения (13) и (14) можно развернуть и обнаружить нечто похожее на известные всем преобразования СТО:

Совершенно очевидно, что эти уравнения не являются соотношениями каких-то пространственно-временных координат, как принято считать в СТО. Уравнения (15) выражают соотношение наблюдаемых  и собственных  виртуальных пространственных интервалов, пакетов световых волн, а уравнения (16) – соотношение соответствующих временных параметров этих пакетов покоящегося и движущегося источника излучения в направлении его движения. Отсюда следует простой и ясный вывод: никакого собственного времени в движущейся системе координат, даже в рамках релятивистской механики, не существует. Время абсолютно и едино для всех систем отсчета. В уравнениях (16) время  – это продолжительность пакета регистрируемых приёмником периодов излучения , размер которого естественным образом уменьшается в направлении движения источника света по сравнению с таким же пакетом  в покоящейся системе координат.

Понятно, что в обратном порядке свертывание формул (15) и (16) следует проводить, полагая  и , а не  и , поскольку рассматривается процесс распространения света, а не процесс перемещения одной системы координат относительно другой. В противном случае мы получим асимметричный результат. В частности, если свернуть выражение (16-2) при , следуя рекомендации Эйнштейна [3, стр. 19], а не при , как требует «принцип постоянства скорости света», то получим , откуда , что не согласуется с принципом относительности. А свертывание тем же способом выражения (16-1) вообще приводит к неизвестным в СТО соотношениям:

С «пространственными координатами» получается еще более нелепая ситуация, если при свертывании выражений (15) следовать рекомендациям Эйнштейна, т.е. полагать, что  и :

Таким образом, мы видим, что манипуляция выражениями (15) и (16) с использованием вставок  и  дает асимметричный результат (нарушается принцип относительности) и пренебрегает требованием постоянства скорости света в редакции СТО. Но на это почему-то никого не обращает внимания: ни автор СТО, ни его последователи, когда пользуются выражением .

Теперь, вводим коэффициент пропорциональности  в уравнение (5-2) и находим частоту на движущемся приёмнике в ситуации, когда источник света неподвижен:

Как видим, эти соотношения идентичны соотношениям частот при движущемся источнике света (9). Следовательно, и вытекающее из него соотношение периодов излучения будет идентично соотношению (10), которое, при соответствующих подстановках, может быть преобразовано в выражение (13). Что касается соотношений длин волн (11), то их вывод из (17) некорректен, поскольку при неподвижном источнике излучения, длины волн не меняются – процесс распространения света в данной ситуации описывается уравнением . Иными словами, при неподвижном источнике света, перемещение наблюдателя в пространстве, как и в классическом варианте эффекта Допплера, никак не влияет на длины воспринимаемых этим наблюдателем волн.

Таким образом, введение коэффициента пропорциональности  в уравнения Допплера можно рассматривать как некое административное решение, следствием которого является замена регистрируемых приёмником частот  в ситуации (5-1) и  в ситуации (5-2), одним выражением  без какого-либо обоснования. Тогда требование (1) будет реализовано. Но это требование никак не связано с совмещением принципа относительности с принципом постоянства скорости света относительно обеих систем отсчета.

Второй комплект преобразований СТО

Этот комплект преобразований выводится из другой пары уравнений Допплера: уравнения

которое описывает процесс распространения света в направлении, противоположном направлению движения источника излучения, т.е. при удалении последнего от неподвижного приёмника, и уравнения

которое описывает процесс распространение света от неподвижного источника излучения с точки зрения удаляющегося приёмника. В терминах пространственных интервалов пакетов световых волн уравнение (18) принимает вид , а уравнение (19) – вид .

Если мы проделаем с этими уравнениями те же манипуляции, какие были проделаны с рассмотренной выше парой уравнений, не смотря на то, что частота  в уравнении (18) не равна частоте  в уравнении (19), то получим тот же коэффициент пропорциональности , но прямо противоположные (уравнениям первого комплекта) базовые соотношения частот

и периодов излучения

Из  этих соотношений, принимая во внимание (12), нетрудно перейти к соотношениям пространственных и временных интервалов пакетов световых волн:

Последние уравнения, с учетом равенств , могут быть преобразованы в подобие соотношений пространственно-временных координат:

Как можно заметить, в свернутом виде эти уравнения являются антиподами уравнений первого комплекта, что и следовало ожидать, поскольку они моделируют прямо противоположные ситуации процесса распространения света. В обобщенном виде оба комплекта преобразованных уравнений Допплера сведены в таблице 1. Здесь черным цветом оконтурены те выражения, которые составляют суть официальной версии СТО, а синим цветом – те выражения, которые в этой теории считаются уравнениями так называемого релятивистского эффекта Допплера. Более подробно речь о них пойдет ниже.

Два комплекта преобразованных уравнений Допплера

Таким образом, мы установили, что преобразования СТО выведены из уравнений распространения света, в которых длины волн заменены виртуальными пространственными интервалами – пакетами световых волн, а периоды излучения – соответствующими временными пакетами. При этом официальная версия СТО построена на уравнениях распространения света в направлении движения источника излучения, поскольку развернутые варианты новых уравнений напоминают уравнения Галилея. А поскольку в данной ситуации длины волн и периоды их излучения на приёмнике сокращены относительно покоящейся системы координат, то и преобразования СТО отражают ту же тенденцию: . Но это никак не связано с преобразованиями Галилея.

У Эйнштейна же, в первой его работе [3], эти построения были основаны на представлениях об оптической длине света, что привело, естественно, к прямо противоположным соотношениям (3) и (4), поскольку время прохождения светом некоторого пространственного интервала в направлении его движения всегда больше времени течения этого процесса в обратном направлении. Но если оперировать средними величинами в двух подходах, то параметры  и  оказываются идентичными:

Следуя элементарной логике, СТО должна была бы строиться на всех уравнениях первого комплекта, поскольку именно этот комплект формул был выведен из уравнения , которое в преобразованном для пакета волн виде , напоминает уравнение Галилея . Иными словами, помимо уравнений пространственно-временных координат (15) и (16), эта теория должна была бы опираться на уравнение (9) , как выражение «темпа хода движущихся часов», и соответствующий этому уравнению параметр времени . Однако, вопреки здравому смыслу, Эйнштейн принимает очередное нелепое решение: он выбирает для этих параметров два несовместимых между собой выражения:  и . Это противоречие проходит красной нитью через всю канву СТО и вынуждает Эйнштейна, а также и всех популяризаторов данной теории, прибегать к весьма изворотливым приемам интерпретации математически несовместимых формул. Причина «рождения» выражения  элементарно проста  –  оно, в виде раскрытого, с точностью до величин второго порядка, выражения , потребовалось Эйнштейну для еще более нелепого положения СТО об уменьшении частоты источника излучения на вращающемся диске, в контексте так называемого принципа эквивалентности [4, Приложение III].

Эффект Допплера в релятивистской редакции

Надо сказать, что сам факт признания в СТО явления Допплера, пусть даже и в несколько иной математической интерпретации, является вопиющим отступлением от принципа относительности и принципа постоянства скорости света, согласно которым скорость распространения света в движущейся системе координат, относительно ее элементов, должна быть одинакова во всех направлениях и равна скорости света в покоящемся мировом пространстве. Следовательно, ни о каком частотном или волновом смещении света не может быть и речи. Но об этом противоречии сторонники СТО предпочитают помалкивать.

Для наглядного восприятия отличий классического эффекта Допплера от его преобразованного релятивистского варианта, основные ситуации проявления этого феномена сведены в таблице 2. Как можно видеть, для частотного эффекта Допплера в релятивистской редакции нет принципиальных различий между ситуацией, когда источник света неподвижен, а приёмник находится в состоянии движения, и противоположной ситуацией – когда приёмник неподвижен, а источник света находится в состоянии движения. Здесь решающее значение имеет направление вектора движущегося источника света (или приёмника) относительно приёмника (или источника света). При движении источника света к покоящемуся приёмнику, равно как и при движении приёмника к покоящемуся источнику света, частота на приёмнике возрастает в одной и той же пропорции, а в противоположных ситуациях – уменьшается в одной и той же пропорции, что и было заложено в требовании (7) и аналогичном требовании для второго комплекта преобразований. Поэтому в литературе нередки случаи, когда при упоминании эффекта Допплера говорят, что в рамках релятивистской механики не имеет значения, что находится в состоянии движения – источник света или приёмник. При классическом описании эффекта, различия между оговоренными ситуациями существуют – на уровне величин второго и более высших порядков.

Тем не менее, принципиальное отличие ситуаций имеет место быть и в релятивистской механике – волновой эффект, как и в рамках классической механики, возникает лишь в случае перемещения источника излучения, а не приёмника (см. табл. 2).

Эффект Допплера в классической и релятивистской интерпретациях

В свете приведенных в табл. 2 выражений частотного эффекта Допплера, следует обратить внимание читателя на странную позицию Эйнштейна в понимании им же придуманных релятивистских уравнений. В одной из своих работ [2] Эйнштейн приводит оба выражения для частотного эффекта Допплера (в первой, основополагающей, работе [3] дано лишь одно выражение , которое и вошло в справочную литературу [10]) и раскрывает их физический смысл следующим образом:

«1. Если наблюдатель движется со скоростью V по отношению к бесконечно удаленному источнику света частоты v так, что линия «источник света — наблюдатель» образует угол ? со скоростью наблюдателя по отношению к системе координат, покоящейся относительно источника

света, то частота v' света, воспринимаемого наблюдателем, определяется соотношением

.

2. Если источник, испускающий в движущейся вместе с ним системе свет с частотой v0, движется так, что линия «источник света — наблюдатель» образует угол ? со скоростью источника света по отношению к системе, покоящейся относительно наблюдателя, то частота v, воспринимаемая наблюдателем, определяется соотношением

.

Оба эти соотношения выражают принцип Допплера в его общей форме; последнее соотношение позволяет определить, как зависит от скорости движения ионов и от направления наблюдения частота света, испускаемого (или поглощаемого) каналовыми лучами» [2, стр. 77-78]. Очевидно, что при ? = 0:  и . Заметим, что введение  в формулы частотного эффекта некорректно – релятивистские «явления» существуют только в направлении, параллельном вектору движения.

Странным в этой интерпретации является, во-первых, то, что нет пояснения, в каком же направлении ориентирован вектор движения источника света и наблюдателя, т.е. в какой ситуации они находятся: в ситуации сближения или в ситуации удаления одного от другого. Во-вторых, из этих определений следует, что отличие одного выражения от другого обусловлено вовсе не различным направлением вектора движения одного субъекта относительно другого, как это следует из рассмотренных выше преобразований (см. табл. 2), а тем, в каком состоянии эти субъекты находятся – в состоянии движения или покоя.

Спасибо господину Р.Фейнману, который в своих «Фейнмановских лекциях по физике» [11], несколько сгладил неопределенность создавшейся ситуации и пояснил, хотя бы на примере одного выражения , что оно соответствует ситуации сближения источника излучения и приёмника, и справедливо как в отношении движущегося приёмника, так в отношении движущегося источника света. Однако сам способ вывода этого выражения, при внимательном рассмотрении, оказывается логически некорректным.

Суть изложенного в «Лекциях» вывода релятивистского соотношения частот сводится к тому, что в классическом выражении эффекта Допплера для данной ситуации , значение собственной частоты источника света  необходимо заменить выражением , которое, по мнению Р.Фейнмана, выражает частоту движущегося источника света. Однако понятия «движущегося источника света» и «движущегося наблюдателя» в СТО являются абстрактными – они не имеет физического смысла, поскольку не конкретизируются направлением их движения. Эта уловка и позволяет получить искомый результат:

.

Заметим, что выражения  в таблице 2 нет. Как будет показано ниже, это выражение появилось в СТО в результате волевого решения ее автора отождествить данное выражение с выражением , которое, в свою очередь, было получено путем некорректного свертывания выражения   при , о чем говорилось выше.

Волновой эффект Допплера в рамках релятивистской механики Эйнштейном вообще не рассматривался по причине того, по-видимому, что его формулы были преобразованы в соотношения пространственных координат, и выдавать одно и то же уравнение, что называется, под разным соусом, было как-то неловко. Позднее, правда, сторонники СТО вспомнят об одном из выражений волнового эффекта  в связи с необходимостью объяснения явления космологического красного смещения. Мы же вправе проанализировать релятивистские соотношения длин волн, поскольку не считаем их аналогами соотношений пространственных координат.

С учетом новых значений величин  и  для рассмотренных выше ситуаций распространения света, новые значения параметра  оказываются асимметричными:  для ситуации, когда вектор движения источника излучения направлен в сторону приёмника, и  для ситуации, когда вектор движения направлен в противоположную сторону. Отсюда получаем разные выражения величин относительных смещений:

которые, следуя элементарной логике, должны быть одинаковыми. Поэтому принятое в космологии релятивистское выражение для красного смещения  и вытекающее из него выражение для скорости удаляющегося источника излучения  можно рассматривать, мягко выражаясь, как не совсем удачное решение проблемы космологического красного смещения. А если учесть то обстоятельство, что эти выражения базируются на математически некорректных преобразованиях, то они могут быть спокойно отправлены в корзину. Мое понимание физической природы космологического красного смещения изложено на сайте #"Times New Roman" size=3> .

        11. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты. #"Times New Roman">

    #"Times New Roman">        14. Бейзер А. Основные представления современной физики. М.: «Атомиздат», 1973. 548 с.