8) E=(r/3e0)´R

Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.

ER¹ER              ER>ER      (скачок)

вн      сн                 вн      сн

Завис. Е(r)

При eср<eш

Методика применения теор. Гаусса универсальна и применима для реш. любой задачи.

Применение теор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме.

1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости:

Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s (s = dQ/dS - заряд  приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр.

плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно  построим цилиндр,

основание параллельно плоскости.

Полный поток сквозь цилиндр

равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности  равен sS. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=sS/e0 ,

откуда Е=sS/2e0. Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния.

2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных  заряженных пластин.

     Слева и справа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри между пластин Е=s/e0.

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Если r>R, то внутрь поверхности попадает

весь заряд и по теор. Гаусса

4pr2E=Q/e0 , откуда

E=(1/4pe0)´Q/r2 (r ³ R)

Если r¢<R, то замкнутая поверхность  не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы электростатич. поле отсутствует, т.е. Е=0.

4) Поле объемно заряженного шара.

Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r (r=dQ/dV - заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в 4) т.е. Е=(1/4pe0)´Q/r2

Внутри же   будет    другая.

 Сфера радиуса r¢<R охватывает заряд Q¢=(4/3)p(r¢)3q. Поэтому по теор. Гаусса: 4p(r¢)2Е= Q¢/e0=(4/3)p(r¢)3´re0

, получим: E=(1/4pe0)´(Q/R3)r¢ (r¢£ R).

5) Поле равномерно зар. без-

кон. цилиндра.

Безкон. цилиндр радиуса  R заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dl - заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность 2prlЕ ,  где l -высота. По теореме    Гаусса,    для    r>R

2plЕ=t(l/e0) , от сюда Е=(1/2pe0)(t /r)    (r ³ R).

Если r<R , Е=0.

Теор. Гаусса в дифференциальной форме.

В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр. конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применять затруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формы теор. Гаусса.

Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно r¹const

В общем случае r =f(x,y,z)

Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. r(x,y,z). В т. А D(x,y,z)  D - смещение в т. А.

Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор. Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства в окрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям.

Предполагаем что внутри DV в окрестностях т. А. r =const

       _   _

1) ѓDdS=rDV        DV®0

      S

Нах. предел отношения потока через поверхность куба. на DV при DV®0.

               _    _

2) lim ( ѓDdS/DV)=r     (в т. А)

   DV®0      S

             _    _                _

  lim ( ѓDdS/DV)=div D

 DV®0     S                          (дивергенция)

В   математике   показ.   что 

      _                   

div D=(¶Dx/¶x)+(¶Dy/¶y)+

  +(¶Dz/¶z)

_    _      _       _                 _

D=iDx+jDy+kDz    divD - скалярная вел.

Перепишем 2) в окончательном виде.

           _

3) div D=r - теор. Гаусса в дифр. форме.

Дивергенция электрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этой точке.

Из 3) очевидно  если r>0

                         _

(+ зар) div D>0 - исток расхождения.   Если  r<0  ( - зар)

      _

div D<0 вхождение линий.

Из3) важное следствие:

Источником поля явл. электрич. заряд.

Теор. Остроградскрго Гаусса.

Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV.

          _

4) div DdV=r dV

проинтегрируем 4) по объему

             _

5) òdiv DdV=òr dV

      v                            v

              _  _

òr dV=òDdS

v                   s

             _           _   _

6) òdiv DdV=ѓDdS   - Остр. Г.

       v                            s

          согласован «

В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора.

Работа сил. электростатич. поля.

          Потенциал поля.

Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу.

Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории.

q - созд. поле.

+q0 -перемещ. в поле заряда q.

Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке dl.

0) dA=Fldl =Fcos adl =Fdr

r - тек. расст. между q иq0.

Найдем полную работу.

         2              2

А=òdA=òFdr 

        1             1

Поскольку F­­dr   cosa¢=1

        _ _

Fdr=Fdr

             r 2_ _

1) A=òFdr 

             r 1

Воспользуемся для получ. втор.  формулы  связью  между

_     _       _   _        _     _

Е и F.     E=F/q0     E=q0E

                           _   _

2) dA=q0Eldl =q0Edl =

=q0Ecos adl

интегрируем 2) лев. и прав. часть

                    2 _ _

3) A=q0òEdl

                     1

Получим еще одну формулу.

Воспольз. 1) в котор. подставим ур. Fкл.

         r2

A=òk(q0´q/r2)dr  

        r1

A=q0((kq/r1) - (kq/r2))

Из 4)  

5) A=q0(j1 - j2)

Работа при перемещении зар. q0 электростатич. силами равно  произв. вел.  этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке.

Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными , поле электростатическое явл. потенциальным полем.

Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q0 из данной т. в котор.

 j1 = j  в бесконечность j2=j¥=0.

Из 5)  А¥=q0j

6) j = А¥/q0

Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика.        Дж/Км=В

Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля.

Потенциальный характер поля.

Рассм. перемещ. зар. q0 в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0.

Возмем для работы форм. 3)

                       _  _

q0ѓEldl=q0ѓEdl =0

     L                       L

q0 ¹ 0                               

         _

1) ѓEldl=0  - циркуляция Е

        L        _

Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0.

Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.

Если циркул. не =0 то поле не потенциально.

Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории.

               Лекция.

Вычисление разности потенциала по напряж. поля.

             2

1)A=q0òEldl

                   1

  2)A=q0(j1 - j2)

                2

  j1 - j2=òEldl   Связь между

                        1            разностью потенциала и напряженностью поля.

Вычислим разность потенциала для бесконеч. , равномер. заряженной нити с линейной плотностью t .

Пример:

t =dq/dl  [ Кл/м]

t1, t2      e=1

(j1 - j2) - ?

El=Er        dl=dr

                     r2                r2

j1 - j2=òErdr=òEdr

                    r1                 r1

E=(t/2pe0r) напряженность поля в точке на расст. r от нити.                 2

j1 - j2=(t/2pe0)òdr/r

                         1

j1 - j2=(t/2pe0)´ln(r2/r1)

Пример 2:

Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар).

Сфера R , q=1

1) r<R  2) r>R

Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2pe0=q/r2

Внутри (r<R)

Е=0

                    r2                r2

j1 - j2=òErdr=òEdr=

                   r1                r1

=(q/4pe0)òdr/r2=(1/4pe0)(q/r1) -

- (1/4pe0)(q/r2)

из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри.

r>R j =(1/4pe0)(q/r)

Внутри напряженность поля =0

поэтому j1 - j2=0

j1=j2=jR=(1/4pe0)(q/R)

j =const

Нарис. графики.

Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме.

Градиент потенциал.

Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q0 на dl по произвол. траектории.

dA=q0Eldl

В силу  потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии.

dA= - q0 dj = - П

Eldl = - dj   

3) El= - (dj /dl )

Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому  направлению.

4) Ex= - (dj /dx)

    Ey= - (dj /dy)   Ez= - (dj /dz)

  _        _            _

  E= - ( i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+

     _

  +k (¶/¶z))´j

_

E= -grad        Напряженность

                       поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке.

Градиент  сколяр. фукции явл. вектором.

Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала.

Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.

Пусть точечный заряд q0 перемещается в доль эквипотенцеала j =const , dl - на эквипотенцеали.

dA=q0Eldl   dA=0  т.к. Dj =0

El=Ecosa          q0Ecosa dl =0

q0¹0  E¹0  dl¹0  cosa=0  a=900

Проводники в электрич. поле.

Электроемкость проводников.

         Конденсаторы.

          Энергия поля.

§1  Условия равновесия заряда на проводнике. Электростатич. защита.

Внесем в электрич. поле напряженностью E0  тело.

При внесении проводника все электроны окажутся в электростатич поля.

В нутри проводника за короткое время призойдет разделение эл. зарядов (электростатич индукция) с накоплением их на концах.

_                           _     _

E0 - внешнее       E' ­¯E0

_

E' внутри проводника

_    _     _            _    _

Е=E0+E'=0        E'=E0

E - результ. поле в нутри проводника.

В результате рассмотренныых процессов.

Усл. равновес. заряда.

1)Напр. поля во всех точках внутри проводника Е=0 .

2)Поверхность    проводника

    явл.     эквипотенцеальной

   j =const.

                             _

3)  Напр.   поля  Е ^   эквипот.

j =const.

В силу Е=0 проводники люб. формы явл. защитой от электростатич. поля.

Поле у поверхн. заряж. проводника.

Рассм. произаольную форму проводника заряж. по поверх. с поверхностной плотностью s .

Воспольз. теор. Гаусса в интегральной форме.

   _   _

ѓDdS=Sqi

 s

На заряж. поверхности отсечем круг площадью S.

ѓe0EdS=e0EòdS

 s                               s

e0E´S=s´S

в т. А    E=s/e0

D=e0E     D=s

Напр. поля прямопропорц. поверх. плотности заряда проводника в окрестностях этой точке.

Разделение зар. по проводнику завис. от его поверх. (у острых углов заряд больше , напряж. сильнее).

Электроемкость проводника.

Единица электроемкости.

Рассм. проводник произв. формы. В близи этого проводника других проводников нет. такой проводник назв. уединенным проводником.

Будем заряжать уединенный  проводник. При увеличении заряда потенциал прямо пропорционально зависет от Q.

Связь между зарядом Q , потенциалом j , и формой проводника дает электроемкость С=Q/j .

Емкостью уединенного проводника  - назв. физ вел. числ.= величине зар. сообщаемого этому  проводнику при увеличении потенциала на 1В.

В Си 1Ф - фарад.

         1Ф=1Кл/1В

Электроемкость зависет от размеров , формы и диэлектрической проницаемости среды.

С=4pee0R

j =(1/4pee0)´(Q/R)

Уединенные проводники при приближении к ним других проводников свою емкость существенно меняет (уменьш. за счет взаимного влияния электростотич. полей).

                 Лекция.

            Конденсаторы.

      Типы конденсаторов.

Конденсатор - устройство позволяющие получать стабильное значение емкости независящее от окружения.

Создание закрытого поля не влияющего на металлич. предметы достигается за счет двух металлич. разноимен. заряж. электродов.

В зависемости от формы обкладок различают плоские , цилиндрические , сферические конденсаторы.

Расчет емкости конденс. разл. типов.

1)

Дано: s , ½+ s ½=½ - s ½  ,

 e , S , d

C - ?

C=q/j      уедин. проводника

Для конденс. 

1) С= q/Dj =q/U

Dj =U   - напряжние

С=sS/Ed=sS/[(s/ee0)´d]=

=ee0S/d   2)

    Цилиндрич. конденсатор.

R1 , R2 , l , e

½+q  ½=½ - q½

+t , -t

C - ?

Воспользуемся 1)

                  R2

С= tl/(òEdr)     E= t/2pee0r

                 R1

Напряженность поля  произвольной точки располож. между цилиндрами на расст. r от оси определяется только зарядами на внутреннем цилиндре (см. теор. Гаусса). Аналогично для тонкой нити.

                 R2

С= tl/(ò(t/2pee0r)dr=

                 R1

= [tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]

3) C=[tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]

емкость цилиндрич. конденс.

    Сферич. конденсатор.

Сферич. конденс. - две концентрические сферы определ. радиуса.

Дано: e , R1 , R2

½+q  ½=½ - q½

C - ?

Использ. 1)         R2

С=q/= q/Dj =q/(òEdr)=

          R2                            R1

=q/(ò(q/4pee0r2)dr)

          R1

C=q/((q/4pee0)´(1/R1 - 1/R2))

C=4pee0R1R2/(R2 - R1)

Для всех видов конденс. видно что емкость зависит от параметров электродов. Всегда с помещением диэлектрика между электродов емкость увелич.

  Соединение конденсаторов.

     Батареи конденсаторов.

Конденсаторы часто приходится соединять вместе. Часто возник. необходимость соед. их в батареи (когда нужно иметь другую емкость).

1) Последовательное соед. - соед. при котор. отрицательные электроды соед. с полож.

У последовательно соед. Конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , а разность потенциалов на зажимах батареи

               n

Dj =åj i

             i=1

Для любого из рассматриваемых конденс. Dj i=Q/Ci

Страницы: 1, 2, 3, 4