Углеродные нанотрубки
Государственный комитет Российской
Федерации
по высшему образованию
Российский Государственный
Авиационный
Технологический Университет
имени К.Э. Циолковского - (МАТИ)
____________________________________________________
Отчет о практике
Тема: “Углеродные нанотрубки”
Руководитель: Городцов В.А.
Выполнили студенты:
Кузнецов В.Ю.
Шапиро Р.А.
Москва 1998г.
Введение
В
настоящее время технология достигла критической точки своего развития, когда
применение микрообъектов уже невозможно. Нужно переходить на новый -
наноуровень. В связи с этим возникла необходимость получения транзисторов,
проволок с размерами примерно от 1 до 20 нанометров. В 1985г. была найдено
решение этой проблемы - открыты нанотрубки, а с 1990г. научились получать их в
объемах, достаточных для изучения.
В
этой работе перед нами была поставлена задача разобраться в природе углеродных
нанотрубок, рассмотреть некоторые их свойства и возможные методы применения.
И
хотя пока существует множество проблем и трудностей с получением и изучением
физико-химических свойств, ясно одно - за нанотехнологиями будущее.
Рассмотрение
фуллеренов и нанотрубок невозможно, если не разобраться в природе этих явлений.
Для начала рассмотрим состав фуллеренов и нанотрубок.
Углерод
- химический элемент, символ С, атомный номер 6, атомная масса 12.011. Обычными
формами существования углерода в свободном состоянии является алмаз и графит,
встречаются в природе. Основными отличиями в строении алмаза и графита -
кристаллическая решетка.
Рис. 1. Структура
кристаллической решетки алмаза.
|
Алмаз. Структура кристаллической решетки показана на рис. 1.
Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдр, в центре и
четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Атомы, расположенные в
вершинах тетраэдра, образуют центр нового тетраэдра и, таким образом, также
окружены каждый еще четырьмя атомами и т.д. Координационное число углерода в
решетке алмаза, следовательно, равно четырем. Все атомы углерода в
кристаллической решетке расположены на одинаковом расстоянии (154 пм) друг от
друга. Каждый из них связан с другими неполярной ковалентной связью и образует
в кристалле, каких бы размеров он ни был, одну гигантскую молекулу.
Графит. Структура кристаллической решетки графита показана на
рис. 2. Кристаллы графита построены из параллельных друг другу плоскостей, в
которых расположены атомы углерода по углам правильных шестиугольников.
Расстояние между соседними атомами углерода (сторона каждого шестиугольника)
143 пм, между соседними плоскостями 335 пм. Каждая промежуточная плоскость
несколько смещена по отношению к соседним плоскостям, как это видно на
рисунке. Каждый атом углерода связан с тремя соседними в плоскостях атомами
неполярными ковалентными связями. Каждый атом углерода в атомной решетке
графита связан с тремя соседними атомами углерода, тремя sp2—sp2
общими электронными парами, расположенными в соответствии с sp2 -
гибридизацией, под углами в 120 град, т. е. каждые четыре связанных
между собой атома углерода в графите расположены в центре и вершинах
равностороннего треугольника. Четвертые валентные электроны каждого атома
располагаются между плоскостями и ведут себя подобно электронам металла, чем и
объясняется электрическая проводимость графита в направлении плоскостей. Связь
между атомами углерода, расположенными в соседних плоскостях, очень слабая
(межмолекулярная, или ван-дер-ваальсова), хотя отчасти, благодаря присутствию
электронов проводимости, похожа на металлическую. В связи с такими
особенностями кристаллы графита легко расслаиваются на отдельные чешуйки даже
при малых нагрузках.
Рис. 2. Структура кристаллической решетки
графита.
|
Уникальная
способ-ность атомов углерода соединяться между собой с образованием прочных и
длинных цепей и циклов привела к возникновению громадного числа разнообразных
соедине-ний углерода, изучаемых органической химией.
Теплопроводность
графита, измеренная в направлении плоскости слоев, в пять раз больше
теплопроводности, изме-ренной в поперечном направлении; электричес-кая
проводимость в плоскостном направлении в десять тысяч раз превышает
проводимость в поперечном направ-лении.
Электронная
конфи-гурация атома углерода такова: 1s2 2s2 2p2.
Следовательно, его четыре внешних электрона не одинаковы — они соответствуют
различным орбиталям; два электрона не спарены. В связанном состоянии
(валентном) один из электронов 2s переходит на р-орбиталь (для этого
понадобится около 96 ккал/моль) так, что состояние атома может быть
выражено: 1s2 2s 2p3. В результате мы получим
атом с тремя 2р и одним 2s-электроном: 2s2px2py2pz.
Возможны несколько
видов гибридизации: sp, sp2 и sp3.
Рис. 3. Схема гибритизации
электронных состояний:
а - образование двух sp-гибритных
облаков
б - образование трех sp2-гибритных
облаков
в - образование четырех sp3-гибритных
облаков
|
При
гибридизации типа sp смешиваются атомные орбитали s и р. При
этом орбитали, например, рy и рz не меняются, а орбитали рx и s дают гибридную
форму. Так как гибридная функция может иметь вид s+p или s-р, то
получаются две орбитали, направ-ленные диамет-рально противопо-ложно друг другу
(рис. 3а).
Если
происхо-дит гибридизация s и двух р-функций, например рx и ру (рz остается
неизменной), то получаются три тригональные атом-ные орбитали типа sp2.
Эти орбитали на схеме имеют вид клеверного листа (рис. 3б). Этот вид гибридных
орбита-лей оказался очень важным для описания двойных связей.
При
гибридизации типа sp3 смешиваются все атомные орбитали s и р. При
этом все орбитали дают гибридную форму. Гибридные орбитали имеют отчетливую
направленность: орбитали атома углерода направлены к углам тетраэдра, в центре
которого помещается атом углерода. Схематически усиление направленности —
ориентация электронного облака — показано на рисунке 3в. Очевидно, что это есть
следствие ослабления частей атомных орбиталей, имеющих разные знаки, и усиление
частей атомных орбиталей, имеющих одинаковые знаки.
Получение нанотрубок. Наиболее широко распространенный метод
получения углеродных нанотрубок использует термическое распыление графитового
электрода в плазме дугового разряда, горящей в атмосфере He. Этот метод,
лежащий также в основе наиболее эффективной технологии производства фуллеренов,
позволяет получить нанотрубки в количестве, достаточном для детального
исследования их физико-механических свойств. В дуговом разряде постоянного
тока с графитовыми электродами при напряжении 15 - 20 В, токе в несколько
десятков ампер, межэлектродном расстоянии в несколько миллиметров и давлении He
в несколько сот Торр происходит интенсивное термическое распыление материала
анода. Продукты распыления содержат, наряду с частицами графита, также
некоторое количество фуллеренов, осаждающихся на охлажденных стенках разрядной
камеры, а также на поверхности катода, более холодного по сравнению с анодом.
Рассматривая этот катодный осадок с помощью электронного микроскопа обнаружили,
что в нем содержатся протяженные цилиндрические трубки длиной свыше микрона и
диаметром в несколько нанометров, поверхность которых образованна графитовыми
слоями. Трубки имеют куполообразные наконечники, содержащие, подобно молекулам
фуллеренов, шести- и пятиугольники.
Как
отмечалось выше, структурно графит, из которого их получают, состоит только из
шестиугольников. Рассмотрим теперь вопрос, откуда в составе данных наноструктур
появляются пятиугольники. Для этого необходимо обратиться к одной из теорем
топологии, которая дает ответ на вопрос: какими фигурами можно «покрыть» сферу,
запаянную и не запаянную трубки. Далее приведем доказательство данной теоремы и
некоторые ее следствия.
Пусть
на сфере (или гомеоморфной ей поверхности) начерчен связный граф G, имеющий В
вершин и Р ребер и разбивающий сферу на Г областей (граней); тогда справедливо
равенство В-Р+Г=2 (1). Это теорема Эйлера.
Перед
доказательством этой теоремы стоит вспомнить некоторые определения.
Конечным
графом G называется фигура, состоящая из конечного числа дуг. В нем имеется
конечное число вершин, и некоторые из этих точек соединяются непересекающимися
дугами (ребрами графа). Связным графом называется граф, любые две вершины
которого можно соединить кривой, проходящей по ребрам графа.
Контуром
в графе называется замкнутая цепочка ребер, объединение которых представляет
собой линию, гомеоморфную окружности.
Деревом
называется связный граф, не содержащий ни одного контура.
Индекс
точки называется число дуг, сходящихся в данной точке.
Также
следует доказать следующую теорему:
Для
любого дерева, имеющего В вершин и Р ребер, справедливо соотношение
В-Р=1. (2)
Для
доказательства проведем индукцию по числу ребер Р. При Р=1 (дерево имеет одно
ребро и две вершины) соотношение (2) справедливо. Предположим, что для любого
дерева, имеющего n ребер, соотношение (2) уже доказано, и пусть G - дерево,
имеющее n+1
ребро.
Так как граф G связен, то его можно получить из некоторого связного графа G`
добавлением одного ребра r.
Действительно,
любой связный граф может быть получен следующим образом: мы берем одно ребро,
затем присоединяем к нему еще одно ребро так, чтобы снова получился связный
граф, затем присоединяем еще одно ребро (так, чтобы снова получился связный
граф) и т.д. Это возможно, если удастся его вычертить «одним росчерком». А это,
в свою очередь, возможно, если разрешить «проходить» каждое ребро ровно два
раза.
* * *
Докажем,
что любой связный граф можно вычертить «одним росчерком», если разрешить
проходить каждое ребро точно два раза.
Если
проходить граф описанным выше способом, то его можно сопоставить с графом, у
которого приходится по два ребра на каждое ребро исходного графа, т.е. индекс
каждой вершины в два раза больше, чем у исходного. Полученный граф имеет
вершины с четными индексами, а значит этот граф является уникурсальным (его
можно «нарисовать одним росчерком»).
* * *
Граф
G` содержит n ребер и
тоже не содержит контуров, т.е. является деревом. По предположению индукции для
дерева G`
соотношение (2) справедливо, и потому в G` имеется n+1 вершина.
Заметим теперь, что только один конец добавляемого ребра r является
вершиной графа G` (в противном случае, взяв в G` простую
цепочку, соединяющую a и b, и добавив к этой цепочке ребро r, мы
получили бы контур в графе G). Следовательно, при добавлении ребра r в графе G появляется
одно новое ребро и одна новая вершина. Иначе говоря, граф G имеет n+2 вершины и n+1 ребро, и
потому соотношение (2) для него справедливо. Проведенная индукция доказывает
равенство (2) для любого дерева.
Теперь
можно приступить к доказательству теоремы Эйлера. Для ее доказательства выделим
из графа G максимальное его дерево G*, обозначим
за k - число
«перемычек» (т.е. ребер графа G, не содержащихся в G*). Т.к.
граф G* является
деревом, то он не содержит ни одного контура, а, следовательно, он определяет
на сфере лишь одну область (грань), и потому для него соотношение (1)
справедливо. Далее, добавляя одну «перемычку», число ребер увеличивается на
единицу, число вершин остается прежним, т.к. G* -
максимальное дерево, т.е. оно содержит все вершины графа G; число
граней увеличится на единицу за счет разбиения одной грани на две. Отсюда
видно, что добавление одной «перемычки» не меняет соотношения (1). Значит и
добавление k перемычек его не изменит. Т.е. граф G удовлетворяет
соотношению (1).
Из
теоремы Эйлера можно получить несколько интересных следствий.
Обозначим
через n3 число
треугольных граней выпуклого многогранника, через n4 - число
его четырехугольных граней и т.д. Тогда соотношение один можно переписать так:
В=2+Р-(n3+n4+n5+...). (3)
Т.к. каждое из
ребер «принадлежит» ровно двум граням, то можно записать следующую формулу:
Р= (4)
В каждой вершине же
сходится минимум три грани, т.е. каждой грани «принадлежит» максимум вершин, отсюда вытекает
неравенство:
(5)
Объединяя
(3), (4) и (5), получим
Умножая полученное на 6 и
приводя подобные, получим:
причем равенство
возможно только в том случае, когда в вершине сходятся три грани. В нашем
случае, для идеальных фулеренов и для нанотрубок, запаянных с обоих концов это
выполнено. Отсюда видно, что в состав них может входить ровно 12
пятиугольников.
Вторым
следствием теоремы Эйлера является так называемая эйлерова характеристика
поверхности.
Пусть Q —
поверхность, которая допускает разбиение на многоугольники; это означает, что
на поверхности можно «нарисовать» граф, разбивающий ее на конечное число
кусков, гомеоморфных кругу. Обозначим число вершин и ребер графа через В и Р, а
число многоугольников, на которые Q разбивается этим графом,— через Г. Число
X (Q) = В - Р + Г (6)
называется
эйлеровой характеристикой поверхности Q. Строго говоря, число (6) определяется
не самой поверхностью Q, а выбором ее разбиения на многоугольники. Однако
теорема Эйлера показывает, что для поверхности Q, гомеоморфной сфере, эйлерова
характеристика не зависит от выбора разбиения на многоугольники: Х(Q)=2.
Докажем, что и для любой поверхности Q ее эйлерова характеристика Х(Q) не
зависит от выбора разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью.
В самом деле, пусть
на, поверхности Q «нарисованы» два графа G1, G2, каждый из
которых задает разбиение на многоугольники. Числа вершин, ребер и граней
разбиения, определяемого графом G1, обозначим через B1, Р1,
Г1, а соответствующие числа для разбиения, определяемого графом
G2,— через В2,
Р2, Г2. Вообще говоря, графы G1 и G2 могут
пересекаться в бесконечном числе точек. Однако, «пошевелив» граф G1,
мы сможем добиться того, чтобы G1 и G2
пересекались лишь в конечном числе точек.
Далее,
если граф G1 G2 несвязен,
то, «пошевелив» графы G1, G2,
можно
добиться того, чтобы они имели общие точки и, следовательно, их объединение
было связным. Итак, мы можем предполагать, что графы G1 и G2
пересекаются лишь в конечном числе точек и имеют связное объединение G1G2. Считая
новыми вершинами все точки пересечения графов G1 и G2, а также
все вершины этих графов, мы найдем, что G1G2 является
конечным связным графом (его ребрами являются куски ребер графов G1
и G2, на
которые они разбиваются вершинами графа G1G2).
Обозначим
через В и Р число вершин и ребер графа G1G2, a через Г —
число граней, на которые он разбивает поверхность Q. Идея состоит в
том, чтобы доказать равенства
(7)
из которых
и будет следовать, что B1-P1+Г1=B2-P2+Г2.
Оба равенства (7) доказываются одинаково; докажем первое.
Пусть
М - некоторый многоугольник («грань»), определяемый графом G1.
Обозначим число вершин и ребер графа G1G2,
расположенных внутри М (не на контуре), через В' и Р', а число вершин (а
значит, и ребер) этого графа, расположенных на контуре многоугольника М, через q. Далее,
число граней, определяемых графом G1G2 и
содержащихся в М, обозначим через Г'. На рис. 4 имеем В'=4, Р'=12, Г'=9, q=15.
Страницы: 1, 2
|