(9)

                                                                                                                                             (10)

                                                                                                                                                  (11)

             Совокупность уравнений (1) – (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения:

                                                                                                                              (12)

                                                                                                                                                            (13) (первая пара) и

                                                                                                                 (14)

                                                                                                                                    (15)

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.

          Уравнение (12) получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3). Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования по произвольному объёму V с последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объём V.

2. Граничные условия

         При решении задач электродинамики, учитывается, что все макроскопические тела ограничены поверхностями. При переходе через эти поверхности физические свойства макроскопических тел изменяются скачком и поэтому также скачком могут изменяться электромагнитные поля, создаваемые этими телами. Другими словами векторные функции  и  являются кусочно-непрерывными функциями координат, т.е. они непрерывны вместе со своими производными внутри каждой однородной области, но могут претерпевать разрывы на границах раздела двух сред. В связи с этим представляется удобным решать уравнения Максвелла (1) - (4) в каждой области, ограниченной некоторой поверхностью раздела отдельно, а затем полученные решения объединять с помощью граничных условий.

         При нахождении граничных условий удобно исходить из интегральной формы уравнений аксвелла. Согласно уравнению (4) и теореме Остроградского-Гаусса:

                                                      ,                                                (16)

где Q – полный заряд внутри объёма интегрирования.

          Рассмотрим бесконечно малый объём в виде цилиндра с высотой h и площадью основания S, расположенный в средах 1 и 2 (рис. 2).

                                                                              Соотношение (16) в этом случае можно записать виде:

                                 (17)

                                                                                       здесь  - нормаль к границе раздела  двух сред, направленная  из  среды 2  в среду 1.  Знак «минус»  во втором слагаемом обусловлен тем, что  внешняя нормаль  поверхности интегрирования  в среде 2 направлена противоположно  нормали   в среде 1. Пусть основание  цилиндра стремится к границе раздела двух сред. Так как площадь боковой стремится к нулю, то , и поэтому (17) приобретёт вид:

                                                                                                                               (18)

где  и  - значения нормальных составляющих вектора  по разные стороны поверхности раздела; - поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества. Если поверхность раздела не заряжена, то в формуле (18) необходимо положить =0. Пользоваться понятием поверхностной плотности удобно тогда, когда избыточные (сторонние) заряды расположены в очень тонком слое вещества d, а поле рассматривается на расстояниях  от поверхности r>>d. Тогда из определения объёмной плотности заряда  следует:

  = d = .

           Если учесть, что , а  - поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:

где , а величина , которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.

            Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора :

                                                                                                                                       (19)

         Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов  и . Чтобы  получить  условия  для  тангенциальных составляющих  можно использовать  уравнения  (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль  к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника  (рис. 3).  

         Используя теорему Стокса, получим:

         Перепишем это уравнение в виде:

                                                                                                            (20)

          Здесь    и - значения вектора  соответственно в средах 1 и 2,  - единичный вектор, касательный к поверхности раздела,  - нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.

           Пусть теперь  при малом, но фиксированном l. Тогда ,  и соотношение (20) примет вид:

и после сокращения на l имеем:

здесь . Вектор , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде . Тогда

предыдущее выражение можно записать, как

.

Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и

вектора , то имеем

                                                                                                                               (21)

         В граничном условии (21)  присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить  =0. Учитывая, что , а  есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где .

           Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора  :

                                                                                                                                 (22)

           Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора  (22) и нормальной составляющей вектора  (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора  при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора , если имеются поверхностные токи (21).

             Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (0) и уравнение (4), из которых следует:

Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:

                                                                                                                         (23)

Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:

.

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:

;           

                                                                                                                                                              (24)

;            

где  - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.

3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

         Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).

          В случае стационарных электрических и магнитных полей ( и)  система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему

уравнений электростатики:

                                           ,      ,                                          (25)

и уравнений магнитостатики:

                                          ,     ,     ,                                (26)

а граничные условия остаются те же.

4. Пример

         В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле  . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при =0 имеют вид:

                                                   ,      ,                                                  (27)       

          Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению

                                                                                                                                        (28)

причём  = -, -. В однородном диэлектрике =const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа  =0.

            Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:

                                                                   при r=R                                                        (29)

Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала

                                                                         =                                                                   (30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на  рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением  , находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция  непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент  направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора  также непрерывны.

          Для решения поставленной  задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .

           Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал  должен удовлетворять условию

    при .

        Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :

   ,

   .

Здесь потенциал нормирован так, чтобы  при . Так как  , то из условия на бесконечности находим .

          Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем

    =0    при (l=0),

         при (l=1),

       при (l>1).

Из этих уравнений находим

,   .

Все остальные коэффициенты равны нуля, если .

Таким образом, решение задачи имеет вид:

                                                                                                                     (30)

Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:

                                                                                                               (31)

                                                                                                                         (32) 

где  - объём сферы.

           Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью

                                                                                                                   (33)

Полная напряжённость внутри шара

                                                                                                      (34)

Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.

5. Приложение.

1. Формула Остроградского – Гаусса.

          Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X,  f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:

где  и  - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.

         Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть dσ - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на  dσ. Так как dσdx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:

        ,

где dV – часть  объёма V,  вырезаемого из него поверхность  цилиндра. Пусть  dS1 и  dS2  эле -ментарные   площадки,   вырезаемые  тем   же цилиндром  на  поверхности   S,  а  1  и  2 –                                                                                                                        

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S.  Тогда:

dσ =  d2 2х  = - d1 1х,

а поэтому:

или короче:   где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

                                                                                                                           (35)

        Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.

        Возьмём теперь произвольный вектор  и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:

и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:

или:          

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:

         Смысл её заключается в том, что полный поток вектора  через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

         Если объём V бесконечно мал, то величина div внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V→ 0, получим:

         Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.    

2. Формула Стокса.

          По определению ротор (вихрь) некоторого вектора :

                                                                                                                         (36)

          Зная ротор вектора  в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора  по контуру, ограничивающему , может быть представлена в виде.

                                                                                                             (37)

где  - положительная нормаль к элементу поверхности.

            Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем , и тогда получим циркуляцию вектора  по контуру , ограничивающему S:

                                              .

Осуществив предельный переход, при котором все  стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:

                                                                                          (38)

Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора  по произвольному контуру  равна потоку вектора  через произвольную поверхность S , ограниченную данным контуром.

6. Список использованной литературы

1. Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988. – 280 с.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. – 688 с.
3. Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.

Страницы: 1, 2