Теоретическая физика: механика

|“Согласовано” |“Утверждено” |
|Преподаватель Джежеря Ю.И. |Методист ____________________|
|___________ | |
| | |

План-конспект занятия

По теоретической физике

Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61

Филатова Александра Сергеевича

Дата проведения занятия: 20.12.2000

Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»

Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-
Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.

Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

Канонические преобразования

Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:

[pic] (1)

Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по "малым" [pic], то будем получать малое [pic], если же по "большим" [pic], то и получать будем соответственно [pic].

Функция Гамильтона-Якоби

При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:

[pic] (2)

Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:

[pic] (3)

Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: [pic].

Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби (3), находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы).
Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:

[pic] (4)

Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.

Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (4) уравнения Г.-
Я. (3) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.

Константы [pic] будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты

[pic] (5) тоже будут константы, поскольку

[pic] (6)

Выражая из уравнения (5) координаты [pic] в виде функций от [pic], мы и получим закон движения:

[pic] (7)

Решение задачи на нахождение зависимости (7) существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата
[pic] может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом [pic] и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.

Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:

1. составить функцию Гамильтона;

2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;

3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла

[pic];

4. Составить систему s уравнений[pic], и получить закон движения

[pic];

5. По необходимости найти закон изменения импульсов: [pic]. Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам [pic], а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.

Примеры решения задач

№11.14 [4] Как известно, замена функции Лагранжа [pic] на

[pic], (1.1) где [pic] – произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа.
Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.

Решение:

Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную функции [pic] через частные:

[pic] (1.2)

Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:

[pic] (1.3)

[pic] (1.4)

Распишем [pic], используя представление штрихованной функции Лагранжа
(1.2):

[pic] (1.5)

Подставляя формулы (1.5) и (1.2) в выражение для штрихованной функции
Гамильтона (1.4), получим:

[pic] (1.6)

Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость
(1.3), получим:

[pic] (1.7)

Или

[pic] (1.8)

Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:

[pic] (1.9)

Следовательно,

[pic] (1.10)

Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа (1.1).

Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа (1.1) не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [3] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид:

[pic] (1.11)

Учитывая условие (1.10) на временную часть производящей функции, окончательно получим:

[pic] (1.12)

Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона (1.7) соответствующей замене функции Лагранжа (1.1).

Задача. Система, состоящая из двух шариков массами [pic], соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины - [pic]. Произвести каноническое преобразование и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции

[pic].

Решение:

Составим функцию Гамильтона системы:

[pic] (2.1)

Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:

[pic] (2.2)

Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле (2.2) заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение:

[pic] (2.3)

Значение смещения пружины [pic] от положения равновесия будет определяться следующим образом:

[pic] (2.4)

Подставив выражения (2.3) и (2.4) в формулу (2.1), получим вид функции
Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:

[pic] (2.5)

Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения.

В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию.

[pic] (2.6)

Новая координата [pic] совпадает со значением смещения пружины от положения равновесия.

[pic] (2.7)

Новая координата [pic] совпадает со значением положения центра масс системы.

[pic] (2.8)

[pic] (2.9)

Сложив оба уравнения, получим:

[pic] (2.10)

Соответственно

[pic], (2.11) где

[pic], (2.12)

– приведенная масса.

Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:

[pic], (2.13) где

[pic], (2.14)

– суммарная масса системы.

Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая – движение системы как целого в поле сил тяжести.

№9.21 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки.

Решение:

1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:

[pic] (3.1)

2. Запишем уравнение Г.-Я.:

[pic] (3.2)

3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.

[pic] (3.3)

Используем начальное условие:

[pic] (3.4)

Тогда подставляя вид функции S (3.3) в уравнение Г.-Я. (3.2), последнее примет вид:

[pic] (3.5)

Откуда

[pic] (3.6)

Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:

[pic] (3.7)

4. Закон движения определяется из канонического преобразования:

[pic] (3.8)

Откуда сам закон движения:

[pic] (3.9)

5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом:

[pic] (3.10)

Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом.

Домашнее задание:

№11.2 [4] Найти производящую функцию вида [pic], приводящую к тому же каноническому преобразованию, что и [pic].

Решение:

[pic] (4.1)

[pic] (4.2)

№9.38 [3] Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция
[pic], порождающая каноническое преобразование к постоянным импульсам и координатам.

№9.23 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол ( с горизонтом.

№12.1 a) [4] Найти траекторию и закон движения частицы в поле [pic]

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.:

«Наука», 1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике»,

- М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.:

«Наука», 1986 г., - 448 с.

6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

-----------------------

Х

m2

m1