Величина этой силы может быть записана в виде:

где              и             - массы двух частиц,                - расстояние между ними, а               - гравитационная постоянная, которая может быть измерена экспериментально и для всех тел имеет одно и то же численное значение.

          Это выражение определяет величину силы тяготения, с которой одна частица действует на другую, находящуюся от нее на расстоянии              . Для двух не точечных, но однородных тел это выражение правильно описывает взаимодействие, если          - расстояние между центрами тел. Кроме того, если протяженные тела малы по сравнению с расстояниями между ними, то мы не намного ошибемся, если будем рассматривать  тела как точечные частицы (как это имеет место для системы Земля - Солнце).

          Если нужно рассмотреть силу гравитационного притяжения, действующую на данную частицу со стороны двух или нескольких других частиц, например силу, действующую на Луну со стороны Земли и Солнца, то необходимо для каждой пары взаимодействующих частиц воспользоваться формулой закона всемирного тяготения, после чего векторно сложить силы, действующие на частицу.

          Величина постоянной             должна быть очень мала, так как мы не замечаем никакой силы, действующей между телами обычных размеров. Сила, действующая между двумя телами обычных размеров, впервые была измерена в 1798г. Генри Кавендишем - через 100 лет после того, как Ньютон опубликовал свой закон. Для обнаружения и измерения столь невероятно малой силы он использовал установку, показанную на рис. 3.

          Два шарика закреплены на концах легкого горизонтального стержня, подвешенного за середину к тонкой нити. Когда шар, обозначенный буквой А, подносят близко к одному из подвешенных шаров, сила гравитационного притяжения заставляет закрепленный на стержне шар сдвинуться, что приводит к небольшому закручиванию нити. Это незначительное смещение измеряется с помощью узкого пучка света, направленного на зеркало, укрепленное на нити так, что отраженный пучок света падает на шкалу. Проделанные ранее измерения закручивания нити под действием известных сил позволяют определить величину силы гравитационного взаимодействия, действующей между двумя телами. Прибор такого типа применение в конструкции измерителя силы тяжести, с помощью которого можно измерить весьма небольшие изменения силы тяжести вблизи горной породы, отличающейся по плотности от соседних пород. Этот прибор используется геологами для исследований земной коры и разведки геологических особенностей, указывающих на месторождение нефти. В одном из вариантов прибора Кавендиша два шарика подвешиваются на разной высоте. Тогда они будут по разному притягиваться близким к поверхности месторождением плотной горной породы; поэтому планка при надлежащей ориентации относительно месторождения будет слегка поворачиваться. Разведчики нефти заменяют теперь эти измерители силы тяжести инструментами, непосредственно измеряющими небольшие изменения величины ускорения силы тяжести g о которых будет сказано позже.

Кавендиш не только подтвердил гипотезу Ньютона о том, что тела притягивают друг друга и формула                          правильно описывает эту силу. Поскольку Кавендиш мог с хорошей точностью измерить величины                                   , ему удалось также рассчитать величину  постоянной              . В настоящее время принято считать, что эта постоянная равна

Схема одного из опытов по измерению          показана на рис.4.

К концам коромысла весов подвешены два шарика одинаковой массы. Один из них находится над свинцовой плитой, другой - под ней. Свинец (для опыта взято 100 кг свинца) увеличивает своим притяжением вес правого шарика и уменьшает вес левого. Правый шарик перевешивает левый. По величине отклонения коромысла весов вычисляется значение            .

          Открытие закона всемирного тяготения по праву считается одним  из величайших триумфов науки. И, связывая этот триумф с именем Ньютона, невольно хочется спросить, почему именно этому гениальному естествоиспытателю, а не Галилею, например, открывшему законы свободного падения тел, не Роберту Гуку или кому-либо из других замечательных предшественников или современников Ньютона удалось сделать это открытие?

          Дело здесь не в простой случайности и не в падающих яблоках. Главным определяющим было то, что в руках Ньютона были открытые им законы, применимые к описанию любых движений. Именно эти законы, законы механики Ньютона, позволили с полной очевидностью понять, что основой, определяющей особенности движения, являются силы. Ньютон был первым, кто абсолютно ясно понимал, что именно нужно искать для объяснения движения планет, - искать нужно было силы и только силы. Одно из самых замечательных свойств сил всемирного тяготения, или, как их часто называют, гравитационных сил, отражено уже в самом названии, данном Ньютоном: всемирные. Все, что имеет массу - а масса присуща любой форме, любому виду материи, - должно испытывать гравитационные взаимодействия. При этом загородиться от гравитационных сил невозможно. Для всемирного тяготения нет преград. Всегда можно поставить непреодолимый барьер для электрического, магнитного поля. Но гравитационное взаимодействие свободно передается через любые тела. Экраны из особых веществ, непроницаемых для гравитации, могут существовать только в воображении авторов научно-фантастических книг.

          Итак, гравитационные силы вездесущи и всепроникающи. Почему же мы не ощущаем притяжения большинства тел? Если подсчитать, какую долю от притяжения Земли составляет, например, притяжение Эвереста, то окажется, что лишь тысячные доли процента. Сила же взаимного притяжения двух людей среднего веса при расстоянии между ними в один метр не превышает трех сотых миллиграмма. Так слабы гравитационные силы. Тот факт, что гравитационные силы, вообще говоря гораздо слабее электрических, вызывает своеобразное разделение сфер влияния этих сил. Например, подсчитав, что в атомах гравитационное притяжение электронов к ядру слабее, чем электрическое в              раз, легко понять, что процессы внутри атома определяются практически одними лишь электрическими силами. Гравитационные силы становятся ощутимыми, а порой и грандиозными, когда во взаимодействии фигурируют такие огромные массы, как массы космических тел: планет, звезд и т.д. Так, Земля и Луна притягиваются с силой примерно в 20 000 000 000 000 000 тонн. Даже такие далекие от нас звезды, свет которых годы идет от Земли, притягиваются с нашей планетой с силой, выражающейся внушительной цифрой, - это сотни миллионов тонн.

          Взаимное притяжение двух тел убывает по мере их удаления друг от друга. Мысленно проделаем такой опыт: будем измерять силу, с которой Земля притягивает какое-либо тело, например, двадцатикилограммовую гирю. Первый опыт пусть соответствует таким условиям, когда гиря помещена на очень большом расстоянии от Земли. В этих условиях сила притяжения (которую можно измерять с помощью самых обыкновенных пружинных весов) практически будет равна нулю. По мере приближения к Земле появится и будет постепенно возрастать взаимное притяжение, и, наконец, когда гиря окажется на поверхности Земли стрелка пружинных весов остановится на делении «20 килограммов», поскольку то, что мы называем весом, отвлекаясь от вращения земли, есть ни что иное, как сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные на ее поверхности(см. ниже). Если же продолжить эксперимент и опустить гирю в глубокую шахту, это уменьшит действующую на гирю силу. Это видно хотя бы из того, что если гирю поместить в центр земли, притяжение со всех сторон взаимно уравновесится и стрелка пружинных весов остановится точно на нуле.

          Итак, нельзя просто сказать, что гравитационные силы убывают с увеличением расстояния - нужно всегда оговаривать, что сами эти расстояния при такой формулировке принимаются много большими, чем размеры тел. Именно в этом случае прав сформулированный Ньютоном закон о том, что силы всемирного тяготения убывают обратно пропорционально квадрату расстояния между притягивающимися телами. Однако остается неясным, что это - быстрое или не очень быстрое изменение с расстоянием? Означает ли такой закон, что взаимодействие практически ощущается лишь между ближайшими соседями, или же оно заметно и на достаточно больших расстояниях?

          Сравним закон убывания с расстоянием гравитационных сил с законом, по которому уменьшается освещенность по мере удаления от источника. Как в одном, так и в другом случае действует один и тот же закон - обратная пропорциональность квадрату расстояния. Но ведь мы видим звезды, находящиеся от нас на таких огромных расстояниях, пройти которые даже световой луч, не имеющий соперников в скорости, может лишь за миллиарды лет. А ведь если до нас доходит свет от этих звезд, значит должно, хотя бы очень слабо, чувствоваться их притяжение. Следовательно, действие сил всемирного тяготения простирается, непременно убывая, практически на неограниченные расстояния. Радиус их действия равен бесконечности. Гравитационные силы - это дальнодействующие силы. Вследствие дальнодействия гравитация связывает все тела во вселенной.

          Относительная медленность убывания сил с расстоянием на каждом шагу проявляются в наших земных условиях: ведь все тела, будучи перемещенными с одной высоты на другую, меняют свой вес крайне незначительно. Именно потому, что при относительно малом изменении расстояния - в данном случае до центра Земли - гравитационные силы практически не изменяются.

          Высоты, на которых движутся искусственные спутники, уже сравнимы с радиусом Земли, так что для расчета их траектории учет изменения силы земного притяжения с увеличением расстояния совершенно необходим.

Итак, Галилей утверждал, что все тела, отпущенные с некоторой высоты вблизи поверхности Земли будут падать с одинаковым ускорением g (если пренебречь сопротивлением воздуха). Сила, вызывающая это ускорение называется силой тяжести. Применим к силе тяжести второй закон Ньютона, рассматривая в качестве ускорения a ускорение свободного падения g. Таким образом, действующую на тело силу тяжести можно записать как:

Fg=mg

Эта сила направлена вниз, к центру Земли.

Т.к. в системе СИ g = 9,8, то сила тяжести, действующая на тело массой 1кг, составляет                           .

Применим формулу закона всемирного тяготения для описания силы тяжести - силы тяготения между землей и телом, находящимся на ее поверхности. Тогда m1 заменится на массу Земли m3 , а r - на расстояние до центра Земли, т.е. на радиус Земли r3. Таким образом получим:

Где m - масса тела, находящегося на поверхности Земли. Из этого равенства следует, что:

Иными словами ускорение свободного падения на поверхности земли g определяется величинами m3 и r3.

На Луне, на других планетах, или в космическом пространстве сила тяжести, действующая на тело одинаковой массы, будет различна. Например, на Луне величина g представляет всего лишь одну шестую g на Земле, и на тело массой 1 кг действует сила тяжести, равная всего лишь 1,7 Н.

До тех пор, пока не была измерена гравитационная постоянная G, масса Земли оставалась неизвестной. И только после того, как G была измерена, с помощью соотношения удалось вычислить массу земли. Это впервые проделал сам Генри Кавендиш. Подставляя в формулу ускорение свободного падения значение g=9,8м/с и радиуса земли rз=6,38·106 получаем следующее значение массы Земли:

Для силы тяготения, действующей на тела, находящиеся вблизи поверхности Земли, можно просто пользоваться выражением mg. Если же необходимо рассчитать силу притяжения, действующую на тело, расположенное на некотором отдалении от Земли, или силу, вызываемую другим небесным телом(например Луной или другой планетой), то следует использовать значение величины g, вычисленное с помощью известной формулы, в которой r3 и m3должны быть заменены на соответствующее расстояние и массу, можно также непосредственно воспользоваться формулой закона всемирного тяготения. Существует несколько методов очень точного определения ускорения силы тяжести. Можно найти g просто взвешиванием стандартного груза на пружинных весах. Геологические весы должны быть удивительны - их пружина изменяет растяжение при добавлении нагрузки меньше чем в миллионную долю грамма. Превосходные результаты дают крутильные кварцевые весы. Устройство их в принципе несложно. К горизонтально натянутой кварцевой нити приварен рычаг, весом которого нить слегка закручивается:

Для тех же целей применяется и маятник. Еще недавно маятниковые способы измерения g были единственными, и лишь в 60-е - 70-е гг. Их стали вытеснять более удобные и точные весовые методы. Во всяком случае, измеряя период колебания математического маятника, по формуле  можно найти значение g достаточно точно. Измеряя на одном приборе значение g в разных местах, можно судить об относительных изменениях силы тяжести с точностью до миллионных долей.

Значения ускорения свободного падения g в разных точках Земли несколько различаются. Из формулы g = Gm3 можно увидеть, что величина g должна быть меньше, например, на вершинах гор, чем на уровне моря, поскольку расстояние от центра Земли до вершины горы несколько больше. Действительно, этот факт установили экспериментально. Однако формула g=Gm3/r32 не дает точного значения g во всех точках, так как поверхность земли не является в точности сферической: на ее поверхности не только существуют горы и моря, но также имеет место изменение радиуса Земли на экваторе; кроме того, масса земли распределена неоднородно; вращение Земли также влияет на изменение g.

Однако свойства ускорения свободного падения оказались сложнее, чем предполагал Галилей. Выяснить, что величина ускорения зависит от широты, на которой его измеряют:

Величина ускорения свободного падения меняется также с высотой над поверхностью Земли:

Вектор ускорения свободного падения всегда направлен по вертикали вниз, а вдоль отвесной линии в данном месте Земли.

Таким образом, на одной и той же широте и на одной и той же высоте над уровнем моря ускорение силы тяжести должно быть одинаковым. Точные измерения показывают, что весьма часто встречаются отклонения от этой нормы - аномалии тяготения. Причина аномалий состоит в неоднородном распределении массы вблизи места измерения.

Как уже было сказано, сила тяготения со стороны большого тела может быть, представлена как сумма сил, действующих со стороны отдельных частиц большого тела. Притяжение маятника Землей есть результат действия на него всех частиц Земли. Но ясно, что близкие частицы вносят наибольший вклад в суммарную силу - ведь притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния.

Если вблизи места измерения сосредоточены тяжелые массы, g будет больше нормы, в обратном случае g меньше нормы.

Если, например, измерить g на горе или на самолете, летящем над морем на высоте горы, то в первом случае получится большая цифра. Также выше нормы величина g на уединенных океанских островах. Ясно, что в обоих случаях возрастание g объясняется сосредоточением дополнительных масс в месте измерения.

Не только величина g, но и направление силы тяжести может отклоняться от нормы. Если подвесить груз на нитке, то вытянутая нить покажет вертикаль для этого места. Эта вертикаль может отклониться от нормы. «Нормальное» направление вертикали известно геологам из специальных карт, на которых по данным о значениях g построена «идеальная» фигура Земли.

Произведем опыт с отвесом у подножия большой горы. Грузик отвеса притягивается Землей к ее центру и горой - в сторону. Отвес должен отклониться при таких условиях от направления нормальной вертикали. Так как масса Земли много больше массы горы, то такие отклонения не превышают нескольких угловых секунд.

«Нормальная» вертикаль определяется по звездам, так как для любой географической точки вычислено, в какое место неба в данный момент суток и года «упирается» вертикаль «идеальной» фигуры Земли.

Отклонения отвеса приводят иногда к странным результатам. Например, во Флоренции влияние Апеннин приводит не к притяжению, а к отталкиванию отвеса. Объяснение может быть одно: в горах есть огромные пустоты.

Страницы: 1, 2, 3