Статика твердого тела

Задание С3

Дано:

P1=13,0 kH

M=30,0 kH*M ;

MB - ? 

Решение:

I система

P2=9,0 kH Σx=0;

RA*cos30o – XIC=0;

q=3,0 kH/M Σy=0;

RA*cos60o – P1 – YIC=0

ΣMC=0;

M+P1*3-2,5*RA=0;

;

;

Проверка

ΣMA=0;

;

;

-26 - 4+30=0;

0=0; верно.

II система

Σx=0;

;

;

Σy=0;

;

;

;

ΣMB=0;

;

;

;

;

Проверка

ΣMC=0;

;

;

;

0=0; верно.

Дано:

R=20cм; r=10cм; R=30cм; ; x=6cм; ; x=356cм; t=2c; t=5c.

Определить

1)                Уравнение движения груза;

2)                -?

3)                -?

Решение:

1) Уравнение движения груза 1 имеет вид:

                                       (1)

Коэффициенты  могут быть определены из следующих условий:

при t=0 x=6cм,                       (2)

при t=2c                     x=356cм.           (3)

Скорость груза 1:

                                        (4)

Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты

с=6см,      с=5,     с

Таким образом, уравнение движения груза

1

2) Скорость груза 1

                             (6)

Ускорение груза 1

3) Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза  и угловые скорости колёс  и .

В соответствии со схемой механизма:

 откуда

или с учетом (6) после подстановки данных:

Угловое ускорение колеса 3:                  

Скорость точки М, её вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

Результаты вычислений для заданного момента времени  приведены в табл. 1.

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 1.

Таблица 1

В 20. Д – 1

Дано: VA = 0, a = 45°, f = 0,3, d = 2 м, h = 4 м.

Найти: ℓ и t.

Решение: Рассмотрим движение камня на участке ВС. На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекции на оси X , Y: = 0 ,  = G ,

Дважды интегрируем уравнения: = С1 , = gt + C2 ,

x = C1t + C3 , y = gt2/2 + C2t + C4 ,

Для определения С1, C2 , C3, C4 , используем начальные условия (при t = 0): x0 = 0 , y0 = 0 , = VB×cosa, = VB×sina ,

Отсюда находим:

= С1 , Þ C1 = VB×cosa, = C2 , Þ C2 = VB×sina

x0 = C3 , Þ C3 = 0 , y0 = C4 , Þ C4 = 0

Получаем уравнения:

= VB×cosa , = gt + VB×sina

x = VB×cosa×t, y = gt2/2 + VB×sina×t

Исключаем параметр t :

y = gx2 + x×tga ,

2V2B×cos2a

В точке С x = d = 2 м , у = h = 4 м. Подставляя в уравнение d и h , находим VB :

V2B = gx2 = 9,81×4 = 19,62 , Þ VB = 4,429 м/с

2×cos2a×(y - x×tga) 2×cos245°×(4 - 2tg45°)

Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1:

= G×sina - F , (F = f×N = fG×cosa) Þ = g×sina - fg×cosa,

Дважды интегрируя уравнение, получаем:

= g×(sina - f×cosa)×t + C5 , x1 = g×(sina - f×cosa)×t2/2 + C5t + C6 ,

По начальным условиям (при t = 0 x10 = 0 и = VA = 0) находим С5 и С6:

C5 = 0 , C6 = 0,

Для определения ℓ и t используем условия: в т.B (при t = t) , x1 = ℓ , = VB = 4,429 м/с. Решая систему уравнений находим:

= g×(sina - f×cosa)×t Þ 4,429 = 9,81×(sin45° - 0,3×cos45°)×t , Þ t = 0,912 с

x1 = g×(sina - f×cosa)×t2/2 ℓ = 9,81×(sin45° - 0,3×cos45°)×0,9122/2 = 2,02 м .

Дано:

АВ=20 см.

АС=6 см.

 см/с

a=15 cм/c

Найти: , , a, a, ,

Решение:

ОА=ОВ=14,1 см.

=0,7=

СP=см.

=

= 

 см/с

a=15 см/,

т.к. ползуны двигаются по направляющим и совершают только поступательное движение.

 см/

 см/

9,85 см/

 см/с

Ответ:

 см/с

 см/с

9,85 см/

=15 см/

Статика твердого тела

I. Плоская система сил система произвольно расположенных сил

Определение реакций опор твердого тела

На схеме показаны три способа закрепления бруса. Задаваемая нагрузка и размеры (м) во всех трех случаях одинаковы.

Р = 10 кН, q = 4 кН/м, исследуемая реакция YA

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором исследуемая реакция Ya имеет наименьший модуль.

Дано: схемы закрепления бруса ( а, б, в): Р = 10 кН; q = 4 кН/м.

Определить реакции опор для того способа закрепления, при котором реакция YA имеет наименьшее числовое значение.

Решение

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями (рис. 2): в схеме а — XА, YА, YВ в схеме б — Y’А, Y’В и RC , в схеме в — Y”А , RC , RD. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей

Q = q • 4 = 16 кН.

Чтобы выяснить, в каком случае реакция YA является наименьшей, найдем ее для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций

Для схемы а

Из первого уравнения подставляем YB во второе, получаем:

 8,67 кH

Для схемы б

Из первого уравнения подставляем Y’B во второе, получаем:

13 кН

Для схемы в

Из первого уравнения подставляем RD во второе, получаем:

5 кН

Таким образом, реакция YA имеет наименьшее числовое значение, при закреплении бруса по схеме в.

Определим остальные опорные реакции для этой схемы.

В схеме а:

В схеме б:

8 кН

В схеме в:

Определить реакции опор для способа закрепления бруса, при котором Ма имеет наименьшее числовое значение.

Дано:

Р=20

М=10 кН* q М

q=2 кН/м

Ма = ?

Решение

1. Даны три исходные схемы закрепления бруса мысленно в схемах отбросим связи в точках опор, заменяя их реакциями связей.

2. Равномерно-распределённую нагрузку «q» заменяем равнодействующей «Q» и приложим её в центре действия нагрузки «q» , получим

Q=q*L

Q=2*2=4кН.

3. Для каждой схемы составим минимальное число уравнений равновесия для определения исследуемой реакции.

Cоставим уравнения равновесия:

Ma(fr)=0 ; Ma+M-4P*cos45-3Q=0

Отсюда Ma будет

Ma=-M+P*sin45-3Q=-10+56+12=58kH*м

Ya=.58kH*м

Мa(Fk)=0; Ма -4P*sin45+M-3Q-2Xв=0

F(кх)=0; - Хв+Р*cos45=0 Xв=14кН       

Отсюда Ма будет:

Ма=4Р*sin45+3Q+2Xв-M=56+12+28=86кН*м

 Ма=86кН

Ma(Fk)=0; Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0

F(кх)=0; Rc*cos45+Pcos45=0 Rc=20кН

Отсюда Ма будет:

Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м

Таким образом, исследуемая наименьшая реакция будет при закреплении бруса по схеме в). Найдём все реакции.

Составим для этой схемы три уравнения равновесия:

 Fкх=0    Rc*cos45+Pcos45=0

 Fкy=0 Ya-P*cos45-Q+Rc*cos45=0

 Ма(Fк)=0 Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0

Rc=20кН

Yа= P*cos45+Q-Rc*cos45=7+4-14=3кН

Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м

Ответ: Ма=26кН.