Меню
Поиск



рефераты скачать Решение обратной задачи динамики

В прикладных задачах параметрической оптимизации не всегда используются интегральные квадратичные оценки, порядок которых равен порядку дифференциального уравнения оптимизируемой системы. Очень часто параметрический синтез проводят по квадратичным оценкам первого и второго порядка. В таких случаях параметры системы определяются из условия, чтобы выходная переменная x(t) приближалась к решению дифференциального уравнения первого или соответственно второго порядка.

Таким образом, требование оптимальности системы по переходному процессу в смысле минимума интегральной квадратичной оценки  равносильно требованию, чтобы выходная переменная системы в ее свободном движении изменялась в соответствии с решением однородного дифференциального уравнения порядка m.

В последнее время при анализе и синтезе систем автоматического управления широкое применение нашли спектральные методы, которые базируются на спектральных характеристиках сигналов, что значительно упрощает решение задач теории управления с использованием ЭВМ. Ниже рассмотрим теоретические основы применения спектральных методов при решении задач теории управления.

Применение спектрального метода для решения обратных задач динами


Рассмотрим решение спектральным методом обратной задачи динамики в следующей постановке.

Известна система автоматического управления (регулирования), которая может быть как стационарной, так и нестационарной, и работа которой описывается следующим дифференциальным уравнением:


 (2.1)


где

 - сигнал на выходе системы;

 - сигнал на входе системы;

 - коэффициенты дифференциального уравнения, являющиеся функциями времени.

При этом неизвестны некоторые параметры настройки системы управления, которые необходимо определить в процессе решения задачи. Обозначим множество этих параметров через  где  - их число. Тогда коэффициенты дифференциального уравнения будут зависеть от  и, следовательно можно записать;


 (2.2)


Задан эталонный сигнал на интервале  или его спектральная характеристика, который необходимо получить на выходе системы (2.2). В общем случае могут быть заданы ненулевые начальные условия:


 (2.3)


Для заданных дифференциального уравнения (2.2), эталонного выходного сигнала  и начальных условий (2.3) необходимо определить входной сигнал  и искомые сигнала на выходе получили бы сигнал, максимально параметры настройки  такими, что при подачи на вход системы автоматического управления найденного входного в известном смысле приближенный к эталонному.

В качестве меры близости реального сигнала на выходе системы (2.2), (2.3) к эталонному сигналу  на интервале  примем следующий функционал


  (2.4)

Неизвестный входной сигнал будем искать в форме его спектрального разложения в ряд по некоторому базису ортонормированных функций ;



где коэффициенты , неизвестны и их необходимо определить.

Следовательно входной сигнал будет зависеть от времени  и от множества параметров  Тогда дифференциальное уравнение (2.2) можно записать в следующей виде


 (2.5)


Интегрируя уравнение  раз с учетом начальных условий, получим


 (2.6)


Воспользовавшись справедливым для любой непрерывной функции тождеством



равенство (2.6) можно переписать в виде


 (2.7)


Интегрируя полученное равенство (2.7) по частям и применяя формулы



получим


 (2.8)


где



Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования :


 (2.9)


где



Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция  в выражении (2.9) представляет собой полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий (2.3) и от множества  искомых параметров настройки системы автоматического управления (регулирования). Перепишем , изменив порядок суммирования



Введем следующие обозначения:



Тогда полином  можно записать следующим образом



где - вектор-столбец начальных условий; - вектор-столбец полиномов .

Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису .

Имеем


, (2.10)


где  - спектральная характеристика выходного сигнала , элементы которой определяются из соотношения


 (2.11)


где  - квадратная матрица размерностью , элементы которой определяются из выражения



Подставив полученные разложения (2.10) и (2.11) в левую часть уравнения (2.9) и учитывая, что , где - единичная, в силу ортонормированности базисных функций, получим

 (2.12)


где  - матрица спектральной характеристики инерционной части системы размерностью .

Сделаем аналогичные преобразования для правой части уравнения (2.9).


, (2.13)


где  - спектральная характеристика сигнала на входе системы, элементы которой определяются из соотношения


 (2.14)


где  - квадратная матрица размерностью  спектральной характеристики форсирующей части системы, элементы которой определяются из выражения


 (2.15)


где  - матрица размерностью  элементы которой определяются из соотношения



Подставляя разложения (2.13), (2.14) и (2.15) в (2.9) и делая соответствующие преобразования, получим


 

 (2.16)


Таким образом, уравнение (2.9) с учетом (2.12) и (2.16) можно переписать в следующем виде


 (2.17)


Рассмотрим теперь функционал (2.4). Имеем



Так как , то последние выражение можно записать в следующем виде


 (2.18)


или



где


. (2.19)


Здесь спектральная характеристика эталонного сигнала  или задана или, в случае задании эталонного сигнала , определяется из выражения


, .


Таким образом, задача определения входного сигнала  (точнее множества ) и множества  неизвестных параметров настройки системы управления (2.2), (2.3) сводиться к задаче безусловной минимизации функционала (2.18) по элементам множеств  и , т.е.


.



Практическая часть

 

Результаты расчётов:

1. Интервал исследования


tmin = 0.000000e+000, c;

tmax = 7.000000e+000, c;

Nt = 512;


2. Формирование системы функций Уолша


Оператор интегрирования Ai

Columns 1 through 6


3.5000 1.7500 0 0.8750 0 0

-1.7500 0 0.8750 0 0 0

0 -0.8750 0 0 0 0.4375

-0.8750 0 0 0 0.4375 0

0 0 0 -0.4375 0 0

0 0 -0.4375 0 0 0

0 -0.4375 0 0 0 0

-0.4375 0 0 0 0 0


Columns 7 through 8


0 0.4375

0.4375 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0


Оператор дифференцирования Ad


0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0


3. Операторы левой линейной части


Оператор Aw1

Columns 1 through 6


0.0046 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0046 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0046 0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0046

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000


Columns 7 through 8


-0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0.0046 0.0000

-0.0000 0.0046


Оператор Aw2

Columns 1 through 6


0.0073 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0073 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0073 0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0073

-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000


Columns 7 through 8


-0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000

0.0000 0.0000

0.0073 0.0000

-0.0000 0.0073


Оператор Aw3

Columns 1 through 6


1.5139 0.0561 -0.0561 0.0561 -0.0537 0.0537

-0.0561 1.4016 0.1682 0.0561 -0.0537 -0.1610

-0.0561 -0.1682 1.2894 0.0560 -0.0536 0.2686

-0.0561 0.0561 -0.0560 1.1774 0.3758 0.0536

-0.0537 0.0537 -0.0536 -0.3758 1.0700 0.0513

-0.0537 -0.1610 -0.2686 0.0536 -0.0513 0.9674

-0.0537 -0.1612 0.1610 0.0537 -0.0514 -0.1541

-0.0537 0.0537 -0.0537 0.0537 -0.0514 0.0514


Columns 7 through 8


-0.0537 0.0537

0.1612 0.0537

0.1610 0.0537

-0.0537 0.0537

-0.0514 0.0514

0.1541 0.0514

0.8646 0.0514

-0.0514 0.7617


Оператор Aw4

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0


Оператор левой части Aw_l

1.0e-004 *


Columns 1 through 6


0.5089 0.0190 -0.0189 0.0189 -0.0181 0.0181

-0.0190 0.4710 0.0568 0.0189 -0.0181 -0.0544

-0.0189 -0.0568 0.4331 0.0189 -0.0181 0.0907

-0.0189 0.0189 -0.0189 0.3952 0.1269 0.0181

-0.0181 0.0181 -0.0181 -0.1269 0.3590 0.0173

-0.0181 -0.0544 -0.0907 0.0181 -0.0173 0.3243

-0.0182 -0.0545 0.0544 0.0181 -0.0174 -0.0521

-0.0182 0.0182 -0.0181 0.0181 -0.0174 0.0174


Columns 7 through 8


-0.0182 0.0182

0.0545 0.0182

0.0544 0.0181

-0.0181 0.0181

-0.0174 0.0174

0.0521 0.0174

0.2896 0.0174

-0.0174 0.2548


4. Операторы правой линейной части


Оператор Aw5

1.0e+005 *

Columns 1 through 6


7.7999 0.0001 -0.0001 0.0001 -0.0001 0.0001

-0.0001 7.7997 0.0003 0.0001 -0.0001 -0.0002

-0.0001 -0.0003 7.7994 0.0001 -0.0001 0.0004

-0.0001 0.0001 -0.0001 7.7992 0.0006 0.0001

-0.0001 0.0001 -0.0001 -0.0006 7.7991 0.0001

-0.0001 -0.0002 -0.0004 0.0001 -0.0001 7.7989

-0.0001 -0.0003 0.0002 0.0001 -0.0001 -0.0002

-0.0001 0.0001 -0.0001 0.0001 -0.0001 0.0001


Columns 7 through 8


-0.0001 0.0001

0.0003 0.0001

0.0002 0.0001

-0.0001 0.0001

-0.0001 0.0001

0.0002 0.0001

7.7988 0.0001

-0.0001 7.7987


Оператор Aw6

Columns 1 through 6


0.4328 0.3246 0.0812 0.1623 0.0203 0

-0.3246 -0.2164 0 -0.0812 0 0.0203

0.0812 0 -0.0541 0 0 0

-0.1623 -0.0812 0 -0.0541 0 0

0.0203 0 0 0 -0.0135 0

0 0.0203 0 0 0 -0.0135

0.0406 0 -0.0203 0 0 0

-0.0812 -0.0406 0 -0.0203 0 0


Columns 7 through 8


0.0406 0.0812

0 -0.0406

-0.0203 0

0 -0.0203

0 0

0 0

-0.0135 0

0 -0.0135


Оператор Aw7

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0


Оператор Aw8


0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0


Оператор правой части Aw_r

1.0e+004 *

Columns 1 through 6


5.7888 3.1355 0.0242 1.5557 0.0216 -0.0216

-3.1355 -0.4822 1.5073 -0.0242 0.0216 0.0647

0.0242 -1.5073 -0.4338 -0.0241 0.0214 0.6817

-1.5557 -0.0242 0.0241 -0.3856 0.6388 -0.0214

0.0216 -0.0216 0.0214 -0.6388 -0.3425 -0.0191

0.0216 0.0647 -0.6817 -0.0214 0.0191 -0.3043

0.0217 -0.7248 -0.0647 -0.0216 0.0192 0.0576

-0.7683 -0.0217 0.0216 -0.0216 0.0192 -0.0192


Columns 7 through 8


0.0217 0.7683

0.7248 -0.0217

-0.0647 -0.0216

0.0216 -0.0216

0.0192 -0.0192

-0.0576 -0.0192

-0.2659 -0.0193

0.0193 -0.2272


5. Спектральная характеристика входного сигнала


Оператор Cu

1

0

0

0

0

0

0

0



6. Расчет выходного сигнала


Нулевое приближение

Eeps = 3.400702e+000;

14-ое приближение:

Eeps = 4.293157e-010;

Elapsed time is 120.625000 seconds.>>


График выходного сигнала при нагрузке  = 573



На рисунках 1 и 2 представлены результаты анализа системы с использованием метода матричных операторов и с использованием функций Уолша для входного сигнала и для сравнения приведены графики требуемого выходного сигнала, а также сигнала, который может обеспечить данная система при значении нагрузки  = 573.


Листинг программ:

 

Программа анализа электрогидравлического следящего привода (рулевой машинки как отдельного элемента системы самонаведения) с использованием спектрального метода (базис функций Уолша)


close all;

clear all;

clc;

warning off;

tic;


1.                Параметры системы и интервал исследования

 

egsp_data;

fprintf('-------------------------------------------------------------\n');

fprintf('1. Интервал исследования\n');

fprintf('------------------------\n');

fprintf('tmin = %e, c;\n',tmin);

fprintf('tmax = %e, c;\n',tmax);

fprintf('Nt = %i;\n',Nt);

fprintf('\n');



2.                Формирование системы базисных функций

 

settime(T);

setsize(Nt);

Ai = mkint;

Ad = inv(Ai);

Ae = eye(Nt);

fprintf('-------------------------------------------------------------\n');

fprintf('2. Формирование системы функций Уолша\n');

fprintf('-------------------------------------\n');

%pr_matrix(Ai,'Оператор интегрирования Ai');

disp('Оператор интегрирования Ai');

disp(Ai(1:8,1:8));

%pr_matrix(Ad,'Оператор дифференцирования Ad');

disp('Оператор дифференцирования Ad');

disp(Ad(1:8,1:8));


3.                Расчет операторов левой линейной части

 

fprintf('-------------------------------------------------------------\n');

fprintf('3. Операторы левой линейной части\n');

fprintf('---------------------------------\n');

% оператор ПФ W1(s) - электрической части

Aw1 = inv(RS*(Ty*Ae+Ai))*(Ky1*KU*Ai);

%pr_matrix(Aw1,'Оператор Aw1');

disp('Оператор Aw1');

disp(Aw1(1:8,1:8));

% оператор ПФ W2(s) - электромагнитного преобразователя и часть расходов

Aw2 = inv(CS*(Tem^2*Ae+2*Tem*dzem*Ai+Ai^2))*(KFi*Kqh*Ai^2);

%pr_matrix(Aw2,'Оператор Aw2');

disp('Оператор Aw2');

disp(Aw2(1:8,1:8));

% оператор ПФ W3(s) - движения золотника и часть расходов

Aw3 = inv(Kqp1*(Cp+Cg)*(Tz^2*Ae+2*Tz*dzz*Ai+Ai^2))*(Az*Ai^2);

%pr_matrix(Aw3,'Оператор Aw3');

disp('Оператор Aw3');

disp(Aw3(1:8,1:8));

% оператор ПФ W4(s) - местной обратной связи

Aw4 = Az*Ad;

%pr_matrix(Aw4,'Оператор Aw4');

disp('Оператор Aw4');

disp(Aw4(1:8,1:8));

% оператор левой линейной части

Aw34 = inv(Ae+Aw4*Aw3)*Aw3;

Aw_1 = Aw34*Aw2*Aw1;

%pr_matrix(Aw_l,'Оператор левой части Aw_l');

disp('Оператор левой части Aw_l');

disp(Aw_1(1:8,1:8));


4.                Расчет операторов правой линейной части

 

fprintf('-------------------------------------------------------------\n');

fprintf('4. Операторы правой линейной части\n');

fprintf('----------------------------------\n');

% оператор ПФ W5(s) - уравнения расходов

Aw5 = inv(Kqp*(Tg*Ae+Ai))*(Ap*l*Ai);

%pr_matrix(Aw5,'Оператор Aw5');

disp('Оператор Aw5');

disp(Aw5(1:8,1:8));

% оператор ПФ W6(s) - нагрузка

Aw6 = J*Ai^2;

%pr_matrix(Aw6,'Оператор Aw6');

disp('Оператор Aw6');

disp(Aw6(1:8,1:8));

% оператор ПФ W7(s) - трение

Aw7 = Kf*Ad;

%pr_matrix(Aw7,'Оператор Aw7');

disp('Оператор Aw7');

disp(Aw7(1:8,1:8));

% оператор ПФ W8(s) - местная обратная связь

Aw8 = Ap*l*Ad;

%pr_matrix(Aw8,'Оператор Aw8');

disp('Оператор Aw8');

disp(Aw8(1:8,1:8));

% оператор правой линейной части

Aw67 = inv(Ae+Aw7*Aw6)*Aw6;

Aw671 = inv(Ae+Ksh*Aw67)*Aw67;

Aw_r = Kz*inv(Ae+Aw8*Aw671*Aw5)*(Aw671*Aw5);

%pr_matrix(Aw_r,'Оператор правой части Aw_r');

disp('Оператор правой части Aw_r');

disp(Aw_r(1:8,1:8));


5.                Спектральная характеристика входного сигнала

 

fprintf('-------------------------------------------------------------\n');

fprintf('5. Спектральная характеристика входного сигнала\n');

fprintf('-----------------------------------------------\n');

u = zeros(1,Nt)+1;

Cu = fwht(u');

%pr_matrix(Cu,'Cu');

disp('Оператор Cu');

disp(Cu(1:8));


6.                Расчет выходного сигнала методом последовательных приближений

 

fprintf('-------------------------------------------------------------\n');

fprintf('6. Расчет выходного сигнала\n');

fprintf('---------------------------\n');

Cd_old = zeros(Nt,1);

Ce = Cu-Cd_old;

Cx = Aw_1*Ce;

x = iwht(Cx)';

xf = egsp_f(x,xm);

Cxf = fwht(xf');

Cd_new = Aw_r*Cxf;

Ceps = Cd_new-Cd_old;

Eeps = sqrt(Ceps'*Ceps);

fprintf('Нулевое приближение\n');

fprintf('Eeps = %e;\n',Eeps);

d = iwht(Cd_new)';

figure; clf;

plot(t,d);

xlabel('t, c');

ylabel('delta(t)');

Niter = 0;

while Eeps >= 1e-8

Niter = Niter+1;

Cd_old = Cd_new;

Ce = Cu-Cd_old;

Cx = Aw_1*Ce;

x = iwht(Cx)';

xf = egsp_f(x,xm);

Cxf = fwht(xf');

Cd_new = Aw_r*Cxf;

Ceps = Cd_new-Cd_old;

Eeps = sqrt(Ceps'*Ceps);

end

fprintf('%i-ое приближение:\n',Niter);

fprintf('Eeps = %e;\n',Eeps);

d = iwht(Cd_new)';

%my_plot2(t,d,'t, c','delta(t)');

plot(t,d);

xlabel('t, c');

ylabel('delta(t)');

grid on;


toc;


Страницы: 1, 2




Новости
Мои настройки


   рефераты скачать  Наверх  рефераты скачать  

© 2009 Все права защищены.