Розрахунок розгалуженого електричного кола

ЗАВДАННЯ № 1

Розрахувати розгалужене електричне коло методом рівнянь Кіргофа та методом контурних струмів

При виконанні необхідно:

1)                визначити струми на всіх ділянках кола;

2)                визначити напруги на ЕРС;

3)                перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою балансу потужностей;

4)                побудувати потенційну діаграму для будь-якого контура електричного кола (до контура входять 2 ЕРС, при чому один із зажимів береться як заземлений, тобто його потенціал рівний 0 ).

Розрахунок

В схемі 6 віток зі струмами І1, І2, …, І6, довільний напрямок яких вказано стрілками.

Підставляємо ці вирази в п’яте та шосте рівняння та спрощуємо їх:

I3 (r3+r1в) + (-І2 + І3)r5 + (І1 + І3 )r6 = E1

I2r2 + (І1 + І2)∙(r4+r2в)+ (І2 - І3)r5 = E2

Звідси:

I1r6 - І2r5 + І3 (r3+r1в+r5+r6) = E1

І1(r4+r2в) +І2 (r2+r2в+ r4+r5) = E2

Підставляємо в четверте рівняння системи та в два останні рівняння числові значення опорів та спростивши їх отримуємо систему трьох рівнянь:

I1∙(-5) + I2∙8 + I3 ∙4 = 100

I1∙6 - I2∙8 + I3 ∙(3+1+8+6) = 100

I1∙(2+1) + I2∙(8+1+2+8) - I3 ∙8 = 60

або

I1∙(-5) + I2∙8 + I3 ∙4 = 100

I1∙6 + I2∙(-2) + I3 ∙18 = 100

I1∙3 + I2∙19 + I3 ∙(-8) = 60

Записуємо цю систему в матричній формі:

∆1 = -3240

∆2 = 19840

∆3 = 25220

Визначаємо струми:

I1 = ∆1 / ∆ = - 1,1747 А;

I2 = ∆2 / ∆ = 7,2145 А;

I3 = ∆3 / ∆ = 9,1443 А;

З виразів (1), (2), (3) знаходимо решту струмів:

І4 = 6,0398 А

І5 = 1,9298 А

І6 = 7,9696 А

б) Методом контурних струмів:

В незалежних контурах направляємо в одному напрямку ( за годинниковою стрілкою) фіктивні контурні струми I11,I22 , I33 і складаємо для їх знаходження систему рівнянь, записавши їх в загальному вигляді:

r11I11 + r12I22 + r13I33 = E11

r21I11 + r22I22 + r23I33 = E22         (4)

r31I11 + r32I22 + r33I33 = E33

Визначаю власні опори контурів:

r11 = r1 + r2 + r3 + r1в = 17 Ом;

r22 = r3 + r1в + r5 + r6 = 18 Ом;

r33 = r2 + r4+ r2в + r5 = 19 Ом.

Опори взаємні для двох контурів , при однакових напрямках контурних струмів , беруться зі знаком "-":

r12=r21= -(r3+r1в) = -4 Ом;

r13=r31= -r2 = -8 Ом;

r23=r32= -r5 = -8 Ом.

Контурні ЕРС:

Е11 = Е1 = 100 В;

Е22 = - Е1 = - 100 В;

Е33 = - Е2 = - 60 В.

Записуємо систему рівнянь (4) в матричній формі з числовими коефіцієнтами:

∆11 = 3240

∆22 = -21980

∆33 = -16600

Визначаємо контурні струми:

I11 = ∆11 / ∆ = 1,1747 А;

I22 = ∆22 / ∆ = - 7,9695 А;

I33 = ∆33 / ∆ = - 6,0398 А;

Знаходимо силу струмів кожної з віток кола через контурні струми:

I1 = -І11 = - 1,1747 А;

I2 = І11 –І33= 7,2145 А;

I3 = І11 –І22 = 9,1443 А;

I4 = –І33 = 6,0398 А;

I5 = І33 –І22 = 1,9298 А;

I6 = –І22 = 7,9695 А;

2. Визначити напруги на ЕРС.

U1 = E1 – I3∙r1в = 100 – 9,1443∙1 ≈ 90,8587 В;

U2 = E2 – I4∙r2в = 60 – 6,0398∙1 ≈ 53,9602 В.

3. Перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою баланса потужностей.

Баланс потужностей грунтується на законі збереження енергії:

Потужність яку генерують джерела ЕРС дорівнюють сумі потужностей ,споживаних колом та потужностей втрат.

Знаходимо потужність яку генерують джерела:

PE = І3E1 + І4E2 = 9,1443 ∙ 100 + (- 6,0398 ∙ 60) = 1277 Вт.

Знаходимо потужність , яку споживає коло:

PR = І12r1 + І22r2 + І32r3 + І42r4 + І52r5 + І62r6 = (-1,1747)²∙ 5 +7,2145²∙ 8 + + 9,1443²∙ 3 + (-6,0398)²∙2 + 1,9298²∙ 8 + 7,9695²∙6 = 1157 Вт.

Потужність втрат на внутрішніх опорах джерел ЕРС:

P∆R = І32r1в + І42r2в = 9,1443²∙1 + (-6,0398)²∙1 = 120 Вт.

Умова балансу потужностей виконується:

PR+Р∆R = 1157 + 120 = 1277 = PE

Отже, можна зробити висновок, що розрахунок кола виконаний правильно.

4. Побудувати потенційну діаграму для контура a-e-d-b-f-c-a, який включає в себе обидва джерела ЕРС.

Приймаємо потенціал вузла а , як нульовий: φа =0.

Тоді потенціали решти точок контура:

φе = φа – I3r3 = 0- 9,1443∙3 = - 27,4329 B;

φd = φe + U1 = - 27,4329 + 90,8587 = 63,4258 B;

φb = φd – I5r5 = 63,4258 - 1,9298∙8 = 47,9874 B;

φf = φb - U2 = 47,9874 – 53,9602 = - 5,9728 B;

φс = φf + I4r4 = - 5,9728 - 6,0398∙2 = 6,0168 B;

Перевірка:

φа = φс+ I1r1 = 6,0168 + (-1,1747)∙5= 0

Повний опір контуру:

rпов = r3 +r5 + r4 + r1в + r2в = 15 Ом.

Вибираємо масштаби mφ= 10 В/см, mR= 2 Ом/см та будуємо потенційну діаграму