Бозе-Эйнштейновский конденсат

Квантовая механика, представляющая собой один из важней­ших разделов современной теоретической физики, была создана сравнительно недавно — в 20-х годах нашего столетия.

Ее основной задачей является изучение поведения микро­частиц, например электронов в атоме, молекуле, твердом теле, электромагнитных  полях и т. д.

В истории развития каждого раздела теоретической физики следует различать несколько этапов: во-первых, накопление экс­периментальных фактов, которые нельзя было объяснить с по­мощью существующих теорий, во-вторых, открытие отдельных полуэмпирических законов и создание предварительных гипотез и теорий и, в-третьих, создание общих теорий, позволяющих с единой точки зрения понять совокупность многих явлений.

По мере того как с помощью теории Максвелла—Лоренца объяснялось все большее число явлений микромира (проблема излучения, распространения света, дисперсия света в средах. движение электронов в электрическом и магнитном полях и т.д.). постепенно стали накапливаться и такие экспериментальные факты, которые не укладывались в рамки классических представлений.

При этом для построения теории равновесного электромагнит­ного излучения, фотоэффекта и эффекта Комптона необходимо было ввести предположение о том, что свет наряду с волновыми должен обладать также и корпускулярными свойствами. Это было учтено в теории квантов Планка—Эйнштейна. Дискретная структура света нашла свое описание с помощью введения по­стоянной Планка h=6,62*IO'27 эрг-сек. Теория квантов была с успехом также использована при построении первой квантовой теории атома—теории Бора, которая опиралась на планетарную модель атома, следовавшую из опытов Резерфорда по рассеянию альфа-частиц различными веществами. С другой стороны, целый ряд экспериментальных данных, та­ких, как дифракция, интерференция пучка электронов, говорили нам о том, что электроны наряду с корпускулярными проявляют также и волновые свойства

Первым обобщающим результатом тщательного анализа всех предварительных теорий, а также экспериментальных дан­ных, подтверждающих как квантовую природу света, так и вол­новые свойства электронов, явилось волновое уравнение Шредингера (1926), позволившее вскрыть законы движения электронов и других атомных частиц и построить после открытия вто­ричного квантования уравнений Максвелла—Лоренца сравни­тельно последовательную теорию излучения с учетом квантовой природы света. С появлением уравнения Шредингера ученые, исследовавшие атом, получили в свои руки такое же мощное оружие, какое в свое время было дано астрономам после появ­ления основных законов механики Ньютона, включая закон все­мирного тяготения

Поэтому не удивительно, что с появлением уравнения Шредингера многие факты, связанные с движением электронов внутри атома, нашли свое теоретическое обоснование.

Однако, как оказалось в дальнейшем, теория Шредингера описывала далеко не все свойства атомов; с ее помощью нельзя было, в частности, правильно объяснить взаимодействие атома с магнитным полем ,а тaкжe построить теорию сложных атомов. Это было связано главным образом с тем обстоятельством, что в теории Шредингера не учитывались релятивистские и спиновые свойства элек­трона.

Дальнейшим развитием теории Шреденгера явилась реляти­вистская теория Дирака. Уравнение Дирака позволило описать как релятивистские, так и спиновые эффекты электронов При этом оказалось, что если учет релятивистских эффектов в атомах с одним электроном приводит к сравнительно небольшим коли­чественным поправкам, то при изучении строения атомов с не­сколькими электронами учет спиновых эффектов имеет решаю­щее значение. Только после того как были приняты во внимание спиновые свойства электронов, удалось объяснить правило за­полнения электронных оболочек в атоме и дать периодическому закону Менделеева строгое обоснование.

С появлением уравнения Дирака принципиальные вопросы, связанные со строением электронной оболочки атома, можно было считать в основном разрешенными, хотя углубление наших знаний в развитии отдельных деталей должно было продол­жаться. В связи с этим следует заметить, что в настоящее время подробно изучается влияние так называемого электромагнитного и электронно-позитронного вакуумов, а также влияние магнитных моментов ядер и размеров ядер на энергетические уровни атомов.

Одной из характерных особенностей первого этапа теории элементарных частиц, получившей название квантовой теории поля, является описание взаимной превращаемости элемен­тарных частиц. В частности, по теории Дирака было предска­зано возможное превращение гамма-квантов в пару электрон-позитрон и обратно, что затем было подтверждено экспери­ментально

Таким образом, если в классической теории между светом и электронами было два различия а) свет—волны, электроны— частицы, б) свет может появляться и поглощаться, число же электронов должно оставаться неизменным, то в квантовой ме­ханике со свойственным ей корпускулярно-волновым дуализмом было стерто первое различие между светом и электронами. Од­нако в ней, так же как и в теории Лоренца, число электронов должно было оставаться неизменным .Только после появления квантовой теории поля, описывающей взаимную превращаемость элементарных частиц, было фактически стерто и второе раз­личие

Поскольку одной из основных задач теоретической физики является изучение реального мира и прежде всего простейших фору его движения, определяющих также и более сложные яв­ления, то естественно, что все эти вопросы всегда связаны с филосовскими  вопросами и, в частности, с вопросом позна­ваемости микромира, поэтому не удивительно, что многие крупные физики, сделав­шие важнейшие открытия в области физики, пытались вместе с тем интерпретировать эти открытия с той или иной философской точки зрения. Благодаря таким взглядам был открыт эффект Бозе-Эйнштейновской конденсации.

К 1920 физики были уже довольно хорошо знакомы с двойственной природой света: результаты одних экспериментов со светом можно было объяснить, предполагая, что свет представляет собой волны, а в других он вел себя подобно потоку частиц. Поскольку казалось очевидным, что ничто не может быть в одно и тоже время и волной, и частицей, ситуация оставалась непонятной, вызывая горячие споры в среде специалистов. В 1923 французский физик Л.де Бройль в опубликованных им заметках высказал предположение, что столь парадоксальное поведение, может быть, не является спецификой света, но и вещество тоже может в одних случаях вести себя подобно частицам, а в других подобно волнам. Исходя из теории относительности, де Бройль показал, что если импульс частицы равен p, то «ассоциированная» с этой частицей волна должна иметь длину волны l = h/p. Это соотношение аналогично впервые полученному Планком и Эйнштейном соотношению E = hn между энергией светового кванта Е и частотой n соответствующей волны. Де Бройль показал также, что эту гипотезу можно легко проверить в экспериментах, аналогичных опыту, демонстрирующему волновую природу света, и настойчиво призывал к проведению таких опытов. Заметки де Бройля привлекли внимание Эйнштейна, и к 1927 К.Дэвиссон и Л.Джермер в Соединенных Штатах, а также Дж.Томсон в Англии подтвердили для электронов не только основную идею де Бройля, но и его формулу для длины волны. В 1926 работавший тогда в Цюрихе австрийский физик Э.Шрёдингер, прослышав о работе де Бройля и предварительных результатах экспериментов, подтверждавших ее, опубликовал четыре статьи, в которых представил новую теорию, явившуюся прочным математическим обоснованием этих идей.

Такая ситуация имеет свой аналог в истории оптики. Одной уверенности в том, что свет есть волна определенной длины, недостаточно для детального описания поведения света. Необходимо еще написать и решить выведенные Дж.Максвеллом дифференциальные уравнения, подробно описывающие процессы взаимодействия света с веществом и распространение света в пространстве в виде электромагнитного поля. Шрёдингер написал дифференциальное уравнение для материальных волн де Бройля, аналогичное уравнениям Максвелла для света. Уравнение Шрёдингера для одной частицы имеет вид

         =d /dx

где m – масса частицы, Е – ее полная энергия, V(x) – потенциальная энергия, а y – величина, описывающая электронную волну. В ряде работ Шрёдингер показал, как можно использовать его уравнение для вычисления энергетических уровней атома водорода. Он установил также, что существуют простые и эффективные способы приближенного решения задач, не поддающихся точному решению, и что его теория волн материи в математическом отношении полностью эквивалентна алгебраической теории наблюдаемых величин Гейзенберга и во всех случаях приводит к тем же результатам. П.Дирак из Кембриджского университета показал, что теории Гейзенберга и Шрёдингера представляют собой лишь две из множества возможных форм теории. Вскоре Дирак добился неожиданно крупного успеха, продемонстрировав, каким образом квантовая механика обобщается на область очень больших скоростей, т.е. приобретает вид, удовлетворяющий требованиям теории относительности. Постепенно стало ясно, что существует несколько релятивистских волновых уравнений, каждое из которых в случае малых скоростей можно аппрокcимировать уравнением Шрёдингера, и что эти уравнения описывают частицы совершенно разных типов. Например, частицы могут иметь разный «спин»; это предусматривается теорией Дирака. Кроме того, согласно релятивистской теории, каждой из частиц должна соответствовать античастица с противоположным знаком электрического заряда. В то время, когда вышла работа Дирака, были известны только три элементарные частицы: фотон, электрон и протон. В 1932 была открыта античастица электрона – позитрон. На протяжении нескольких последующих десятилетий было обнаружено много других античастиц, большинство из которых, как оказалось, удовлетворяли уравнению Дирака или его обобщениям. Созданная в 1925–1928 усилиями выдающихся физиков квантовая механика не претерпела с тех пор в своих основах каких-либо существенных изменений.

Волны де Бройля. Помимо волновых, были также обнаружены и корпускулярные свойства. Соотношения, связывающие волновые характеристики (частота w и длина волны l ) с корпускулярными (энергия e  и импульс р ), установленные Эйнштейном (1905) для кванта света

e =hw=hu

т. е. частицы с массой покоя, равной нулю, были обобщены фран­цузским физиком де Бройлем (1924) на частицы с отличной от нуля массой покоя. Другими словами, де Бройль предположил, что дуализм волна — частица должен быть свойствен не только свету, но и электронам и вообще любым частицам.

 Соответствующая частота и волновое число по гипотезе де Бройля должны определяться соотношениями, подобными эйнштейновским, т. е. длина дебройлевской волны движущихся частиц будет равна

l=2ph/p , где р – импульс частиц 

Теория квантов Планка, постулаты Бора, а затем и гипотеза Бройля были важнейшими этапами в процессе развития теоретических основ физики микрочастиц.

Фундаментальный шаг в этом направлении был сделан Шредингером (1926). Он предложил описывать движение микроча­стиц (например, электронов) с помощью волнового уравнения.

Уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера, по существу представляет собой постулат нерелятивистской квантовой механики.

История открытия уравнения Шрёдингера в этом смысле весьма поучительна. Титаны физики убедились в том, что электрон не занимает определённого положения в атоме и не может двигаться там по какой-либо траектории.

Взамен этого они пока что усвоили довольно туманную идею о том, что при движении в атоме электрон "расплывается". Эту расплывчатую идею Шрёдингеру удалось выразить весьма точно на однозначном языке формул.

Уравнение Шрёдингера, как и всякий глубокий закон природы, нельзя вывести строго из более простых законов. Его можно только угадать.

Шрёдингер впоследствии признался, что и сам не вполне понимает, как ему удалось это сделать. Но после того, как уравнение угадано, надо ещё научиться им пользоваться: надо знать, что означают все символы в уравнении и какие явления в атоме они отображают. Всё последующее поколение физиков тем и занимается до настоящего времени.

Таковы некоторые общие свойства волновых процессов, описы­ваемых группой волн получившее название соотношения неопределенности Гейзенберга .  Пока лишь укажем, что соотноше­ние неопределенностей в квантовой теории является проявлением корпускулярно-волнового дуализма. Согласно соотношению не­определенностей всегда имеют место неточности или ошибки в теоретическом предсказании координаты и импульса, причем вся­кая локализация частицы связана с неизбежным размазыванием ее импульса. Очевидно, что это обстоятельство делает невозмож­ным предвычислить классическую траекторию движения микро­частиц, т. е. квантовая теория вскрывает принципиально новые свойства микрообъектов, не укладывающихся в рамки обычных классических представлений движения материальных точек.

Первая интерпретация связи между корпускулой и волной была предложена Шредингером. Согласно его гипотезе, частица должна представлять собой образование из волн, причем плот­ность распределения такого сгустка волн в пространстве равна .

Таким образом, по Шредингеру, волновая функция  связана непосредственно со структурой микрочастицы. Однако такая ин­терпретация волновой функции оказалась несостоятельной.

Действительно, хотя теоретически всегда возможно с по­мощью суперпозиции волн образовать волновой пакет с протя­женностью в пространстве порядка радиуса частицы (например, электрона), однако, фазовая скорость каждой монохроматической волны,

образующей волновой пакет, различ­на. Благодаря этому волновой пакет с течением времени начнет расплываться.

Корпускулярно-волновой дуализм, столь очевидный в эксперименте, создает одну из самых трудных проблем физической интерпретации математического формализма квантовой механики. Рассмотрим, например, волновую функцию, которая описывает частицу, свободно движущуюся в пространстве. Традиционное представление о частице, помимо прочего, предполагает, что она движется по определенной траектории с определенным импульсом p. Волновой функции приписывается длина волны де Бройля l = h/p, но это характеристика такой волны, которая бесконечна в пространстве, а потому не несет информации о местонахождении частицы. Волновую функцию, локализующую частицу в определенной области пространства протяженностью Dx, можно построить в виде суперпозиции (пакета) волн с соответствующим набором импульсов, и если искомый диапазон импульсов равен Dp, то довольно просто показать, что для величин Dx и Dp должно выполняться соотношение

DxDp ³ h/4p.

Этим соотношением, впервые полученным в 1927 Гейзенбергом, выражается известный принцип неопределенности: чем точнее задана одна из двух переменных x и p, тем меньше точность, с которой теория позволяет определить другую.

Соотношение Гейзенберга могло бы рассматриваться просто как недостаток теории, но, как показали Гейзенберг и Бор, оно соответствует глубокому и ранее не замечавшемуся закону природы: даже в принципе ни один эксперимент не позволит определить величины x и p реальной частицы точнее, чем это допускает соотношение Гейзенберга. Гейзенберг и Бор разошлись в интерпретации этого вывода. Гейзенберг рассматривал его как напоминание о том, что все наши знания по своему происхождению – экспериментальные и что эксперимент неизбежно вносит в исследуемую систему возмущение, а Бор рассматривал его как ограничение точности, с которой само представление о волне и частице применимо к миру атома.

БОЗОНЫ И ФЕРМИОНЫ.

Одним из принципиальных различий между частицами является различие между бозонами и фермионами. Все частицы делятся на эти два основных класса. Одинаковые бозоны могут налагаться друг на друга или перекрываться, а одинаковые фермионы – нет. Наложение происходит (или не происходит) в дискретных энергетических состояниях, на которые квантовая механика делит природу. Эти состояния представляют собой как бы отдельные ячейки, в которые можно помещать частицы. Так вот, в одну ячейку можно поместить сколько угодно одинаковых бозонов, но только один фермион.

В качестве примера рассмотрим такие ячейки, или «состояния», для электрона, вращающегося вокруг ядра атома. Электрон по законам квантовой механики не может обращаться по любой эллиптической орбите, для него существует только дискретный ряд разрешенных «состояний движения». Наборы таких состояний, группируемые в соответствии с расстоянием от электрона до ядра, называются орбиталями. В первой орбитали имеются два состояния с разными моментами импульса и, следовательно, две разрешенные ячейки, а в более высоких орбиталях – восемь и более ячеек.

Страницы: 1, 2